A. Chauffage d`une maison en hiver

Banque (( Agro - Véto ))
A - 0711
PHYSIQUE
Durée : 3 heures 30 minutes
L’usage d’une calculatrice est interdit pour cette épreuve.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Chaque candidat est responsable de la vérification de son sujet d’épreuve : pagination et impression de
chaque page. Ce contrôle doit être fait en début d’épreuve. En cas de doute, il doit alerter au plus tôt le
chef de centre qui vérifiera et éventuellement remplacera son sujet.
L’épreuve est constituée d’un problème A et d’un exercice B totalement
indépendants. Il sera tenu le plus grand compte dans la notation de la qualité de la rédaction.
A.
Chauffage d’une maison en hiver
Ce problème propose l’étude simplifiée du chauffage hivernal d’une maison dans des conditions
extrêmes. Dans un premier temps, les pertes thermiques à travers les parois sont calculées (I). Puis,
la puissance électrique nécessaire au chauffage est évaluée (II). Enfin, la troisième partie présente
le principe d’un dispositif de préchauffage de l’air, appelé puits canadien.
Les trois parties sont largement indépendantes.
Afin de simplifier l’étude, le seul mode de transfert thermique pris en compte est la diffusion. Dans
tout le problème, la température extérieure, Te , est uniforme et constante. La température intérieure
de la maison, Ti , est uniforme.
La maison comporte une seule pièce qui est modélisée par un parallélépipède rectangle surmonté
d’un toit.
Les éléments considérés dans la maison sont :
• Les murs, la porte et le toit dont la résistance thermique totale est notée Rm ;
• Une seule fenêtre de surface s, dont les propriétés thermiques sont étudiées dans la première
partie.
Les pertes thermiques à travers le sol de la maison sont négligeables.
Données :
Température extérieure
Résistance thermique (mur, porte, toit)
Surface de la fenêtre
Conductivité thermique du verre
Conductivité thermique de l’air
Épaisseur des plaques de verre
◦
Te = 258, 15 K (−15 C)
Rm = 1, 0.10−2 K.W−1
s = 5, 0 m2
λv = 1, 0 W.m−1 .K−1
λa = 2, 0.10−2 W.m−1 .K−1
e = 5, 0 mm
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A.I- Évaluation des pertes thermiques
◦
Dans cette partie, la température intérieure de la maison est constante : Ti = 298, 15 K (25 C). Les
seules pertes considérées sont celles liées à la conduction thermique à travers les murs, la porte, le
toit et la fenêtre. L’étude est réalisée en régime permanent.
A.I.1. Préliminaire : Analogie avec l’électrocinétique.
a) Expliciter brièvement une analogie entre diffusion thermique en régime permanent et électrocinétique. En particulier, préciser l’analogue de la température et de la puissance thermique.
b) Soient deux résistances électriques r1 et r2 en série (figure 1). Démontrer la formule donnant
l’expression de la tension U2 en fonction de r1 , r2 et de la tension totale U .
U2
i
r1
r2
U
Figure 1 : Résistances en série
Ti − Te
, où Pm est la puissance thermique
Pm
à travers les murs, la porte et le toit de la maison, orientée de l’intérieur vers l’extérieur.
a) Pourquoi la résistance thermique est-elle toujours positive ?
b) Application numérique : calculer Pm .
A.I.2. La résistance thermique Rm est définie par Rm =
A.I.3. Soit le conducteur solide cylindrique d’axe Ox, de section S, de conductivité thermique λ et
de longueur ℓ dessiné figure 2. Le conducteur est en régime permanent et la température T (x) à
l’intérieur de ce dernier est supposée n’être qu’une fonction de x. On note T0 = T (0) et T1 = T (ℓ).
Les parois latérales du cylindre sont parfaitement isolées.
T0
T (x)
T (x + dx)
T1
x
O
0
x
x + dx
ℓ
Figure 2 : Conducteur cylindrique en régime permanent
a) Donner la définition du vecteur densité de flux thermique ~th . Énoncer la loi de Fourier.
Commenter le signe de la conductivité thermique.
b) Effectuer un bilan d’énergie sur la portion infiniment petite du conducteur située entre x et
dT
en fonction de T0 , T1 et ℓ.
x + dx. Déduire l’expression de
dx
c) Démontrer l’expression de la résistance thermique du cylindre, Rth , en fonction de ℓ, λ et S.
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A.I.4. La fenêtre est constituée d’une plaque de verre de surface s et d’épaisseur e. La conductivité
thermique du verre est notée λv . Les pertes dues au cadre de la fenêtre sont négligées. La résistance
thermique de la fenêtre est identique à celle d’un cylindre de même section s et de longueur e.
Exprimer la puissance thermique perdue à travers la fenêtre, Pf , en fonction de λv , e, s, Ti et Te .
Réaliser l’application numérique. Commentaire.
A.I.5. Pour réduire cette déperdition d’énergie, la fenêtre simple est remplacée par un double
vitrage composé de deux vitres identiques d’épaisseur e et de surface s, séparées par une épaisseur
2e d’air. La conductivité thermique de l’air est notée λa . La fenêtre double vitrage est schématisée
figure 3. Quatre points A, B, C et D sont placés sur le schéma. A est au niveau de l’interface
extérieur/verre, B au niveau de l’interface verre/air, C au niveau de l’interface air/verre et D au
niveau de l’interface verre/intérieur. Les températures en A et D sont T (A) = Te et T (D) = Ti .
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e
2e
e
Intérieur
A
B
C
D
Ti
Te
Verre
Air
Verre
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000000000000000000000000
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Figure 3 : Schéma de la fenêtre double-vitrage
a) Exprimer puis calculer les valeurs numériques des résistances thermiques RAB , RBC et RCD .
b) Donner la résistance thermique totale RAD en fonction de e, λv , λa et s.
c) Que vaut la puissance thermique perdue à travers la fenêtre
Pf′
Pf′
λa
≈
? Montrer que l’on a
Pf
2λv
et déduire la valeur numérique de Pf′ .
A.I.6. Dans cette question, les températures aux points B et C sont calculées.
a) Exprimer (TB − Te ) en fonction de (Ti − Te ) et des résistances thermiques RAB , RBC et RCD .
b) Réaliser l’application numérique.
c) Au final, quel élément du double-vitrage assure l’essentiel de l’isolation ?
A.I.7. Pour conclure cette partie, montrer que la puissance thermique totale PT , perdue par la
maison équipée d’une fenêtre simple (respectivement PT′ , pour une fenêtre double), s’exprime selon :
(Ti − Te )
R1
(Ti − Te )
=
R2
Fenêtre simple PT =
(1)
Fenêtre double PT′
(2)
où l’on exprimera R1 en fonction de Rm , λv , e et s ; et R2 en fonction de Rm , λa , e et s.
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A.II- Chauffage électrique
À présent, la température à l’intérieur de la maison est une fonction du temps Ti (t). Dans cette
partie, le temps nécessaire au chauffage de la maison et la puissance électrique permettant le
maintien de la température sont évalués. Le chauffage est allumé à l’instant t = 0, la température
intérieure de la maison vaut Ti (0) = Te .
D’un point de vue thermodynamique, le système étudié dans cette partie est composé :
• de la maison elle-même, modélisée par une phase condensée incompressible et indilatable de
capacité thermique totale constante C, d’énergie interne UM ;
CP
• de l’air à l’intérieur assimilé à un gaz parfait, d’énergie interne UG , dont le rapport γ =
CV
entre la capacité thermique à pression constante et la capacité thermique à volume constant
est supposé indépendant de la température. Le nombre de moles de gaz n ne varie pas.
Le système est fermé et son énergie interne totale est notée U .
A.II.1. R désigne la constante des gaz parfaits.
a) La capacité thermique molaire à pression constante, cP m , et la capacité thermique molaire à
volume constant, cV m d’un gaz parfait sont liées par la relation de Mayer : cP m − cV m = R.
Exprimer alors CV , capacité thermique à volume constant totale du gaz, en fonction de n,
R et γ.
b) Le système subit une transformation élémentaire, sa température passant de T à T + dT .
Donner les variations élémentaires des énergies internes dUM et dUG .
c) Quelle propriété de l’énergie interne permet de relier U , UM et UG ? Déduire que dU = βdT ,
où β est une constante que l’on exprimera en fonction de C, n, R et γ.
A.II.2. La maison est chauffée par des radiateurs électriques qui fournissent une puissance de
chauffage totale constante P0 . On admet que les formules (1) et (2), démontrées à la question A.I.7,
restent valables, à condition de remplacer Ti par Ti (t). Au départ, la vitre est doublée, les pertes
thermiques correspondent donc à la formule (2).
a) Effectuer un bilan d’énergie interne entre deux instants infiniment proches t et t + dt. Déduire
dTi Ti
Tif
que Ti vérifie l’équation :
+
=
. Exprimer τ et Tif en fonction de Te , β, R2 et P0 .
dt
τ
τ
b) Déduire l’expression de Ti (t). Au bout de combien de temps peut-on considérer que le régime
permanent est atteint ?
c) Tracer l’allure de la courbe de la fonction Ti (t). Faire apparaı̂tre τ et la tangente à l’origine.
A.II.3. Le kilowattheure (kWh) correspond à l’énergie fournie par une puissance de un kilowatt
pendant une heure. Le prix du kWh est de l’ordre de 10 centimes d’euro. Calculer le coût en
◦
chauffage permettant de maintenir une température intérieure Tif = 298, 15 K (25 C) pendant 200
heures. Comparer à ce qu’il en coûterait sans double-vitrage.
A.II.4. En réalité, le temps de chauffage de la maison avec une puissance P0 est trop long. À partir
de t = 0, le chauffage fournit, dans un premier temps, une puissance P1 = 10P0 . Exprimer le temps
τ ′ nécessaire pour que la température atteigne Tif , en fonction de τ . Sachant que la maison nécessite
une aération quotidienne, que pensez-vous de l’estimation numérique de la question A.II.3 ?
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A.III- Puits Canadien
Le puits canadien est un système de préchauffage passif de l’air utilisant les réserves d’énergie du
sol entourant la maison. En faisant passer l’air dans une canalisation enterrée dans le sol, celui-ci
se réchauffe, ce qui permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage en hiver,
ainsi que les émissions de CO2 qui en résultent. Dans cette partie, un modèle simple de ce dispositif
est étudié.
Une entrée d’air est située à une distance L de la maison. Une pompe à l’intérieur de la maison
permet de faire circuler l’air dans un tuyau de section ST enterré à une profondeur h dans le sol,
◦
la température du sol étant Ts = 283, 15 K (10 C), (figure 4).
Sortie
Te
Intérieur
Entrée d’air
Sol
O
Pompe
h
z
Ts
L
Figure 4 : Principe du puits canadien
Dans la suite, l’étude montre d’abord que la température du sous-sol est peu sensible aux variations
de la température de l’air extérieur. La longueur minimale de canalisation permettant de préchauffer
l’air correctement est ensuite calculée.
A.III.1. On admet qu’en régime non permanent la température à l’intérieur d’un conducteur solide,
de conductivité thermique λ, de masse volumique ρ et de capacité thermique massique c vérifie
(dans le cas où elle ne dépend que d’une variable d’espace z) l’équation ≪de la chaleur≫ :
∂T
∂2T
= Dth 2 ,
∂t
∂z
avec Dth = λa1 ρa2 ca3
(3)
Déterminer les exposants a1 , a2 et a3 , par analyse dimensionnelle.
A.III.2. La température de l’air extérieur (qui est aussi la température à la surface du sol) varie (annuellement) de manière périodique autour de sa valeur moyenne selon : Tsurf (t) = Ts + (∆T ) sin(ωt).
Le sol est un milieu homogène, assimilé au demi-espace z > 0, de masse volumique ρ, de capacité thermique c et de conductivité thermique λ. Lorsque la profondeur devient très importante
(z → +∞), la température tend vers Ts (qui est une constante). La température dans le sol T (z, t)
est une fonction de z et de t qui vérifie l’équation (3), dont la solution est de la forme :
2πt
−z
sin
+ βz
T (z, t) = Ts + A exp
δ1
τ1
Il n’est pas demandé de commenter la forme de cette solution.
a) Exprimer les constantes A, δ1 , τ1 et β en fonction de Dth , ω et ∆T . On utilisera le modèle de
l’équation (3) et on remarquera que T (z = 0, t) = Tsurf (t).
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b) La canalisation est enterrée à une profondeur h = 5δ1 . Estimer, avec un seul chiffre significatif,
le facteur numérique par lequel a été divisée l’amplitude des oscillations de la température
autour de la valeur moyenne, en prenant exp(1) ≈ 3. Conclure.
A.III.3. Les propriétés de l’air qui circule dans la canalisation enterrée sont étudiées dans cette
question. Cette canalisation est un cylindre de section ST et d’axe Ox (figure 5). La température
du sol autour de la canalisation est uniforme et constante et vaut Ts . L’air est toujours considéré
comme un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante cP . On suppose que
la température T (x) est uniforme sur une section droite du tube. L’étude est réalisée en régime
permanent et Dm désigne le débit massique.
Sur le schéma, un élément de longueur dx a été grossi afin de définir la surface de controle Σ qui
est limitée par les parois du cylindre et les sections droites situées en x et x + dx.
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0000000
1111111
x
0
0000000
1111111
000000000000000000000000000000
111111111111111111111111111111
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1111111
000000000000000000000000000000
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000000000000000000000000000000
0000000111111111111111111111111111111
1111111
Σ
x
x + dx
Figure 5 : Canalisation enterrée
L’étude porte sur le système ouvert défini par la surface de contrôle Σ. L’écoulement est supposé :
– lent, de telle sorte que la variation d’énergie cinétique est négligeable ;
– horizontal, l’altitude moyenne ne varie pas.
Le système ne reçoit que du travail des forces de pression, et, du fait du contact avec le sol au
niveau des parois latérales de la canalisation, il reçoit une puissance thermique dont l’expression
est :
δPQ = α dx (Ts − T (x))
où α ne dépend que de la forme et de la nature du matériau constituant la canalisation.
a) Appliquer le premier principe pour un système ouvert et déduire une équation différentielle
d’ordre 1 à laquelle doit satisfaire la fonction T (x).
Dm c P
b) Résoudre cette équation et exprimer T (x) à l’aide de Ts , Te et ℓ0 =
·
α
c) Établir l’expression littérale de la longueur L de canalisation nécessaire à l’obtention d’une
température d’entrée de l’air dans la maison égale à uTS , avec u < 1. L sera exprimée en
fonction de ℓ0 , u, Te et Ts .
A.III.4. Pourquoi le puits permet de réduire fortement la consommation électrique de chauffage ?
Quelle peut être l’utilité du puits en été ?
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B.
Le piège de Paul
Les techniques d’analyse de la matière par spectrométrie de masse occupent une place grandissante,
notamment dans l’étude de composés biologiques. Après ionisation, la matière est injectée dans un
système analyseur, capable de séparer les composants élémentaires en fonction de leurs masses.
L’objet de cette partie est la présentation et l’étude d’un type d’analyseur : l’analyseur à piège à
ions. Le principe repose sur le piégeage de la matière ionisée au voisinage d’une position d’équilibre
stable.
Le composant principal est un piège de Paul, mis au point dans les années 1950 par le physicien
allemand Wolfgang Paul. Ce travail lui vaudra d’être récompensé par une partie du prix Nobel de
physique, en 1989.
Aucune connaissance préalable d’électromagnétisme n’est nécessaire pour l’étude de
ce problème.
Le piège de Paul, dont le schéma est représenté figure 6, est constitué de trois électrodes. Deux
électrodes en forme de coupelles qui sont reliées à la masse d’un générateur et une électrode en
forme d’anneau qui est portée au potentiel électrique U . Du fait de la forme des électrodes et de
la tension électrique, les particules chargées subissent, au voisinage de O, une force qui dérive de
l’énergie potentielle :
Ep (x, y, z) = Φ(ax2 + ay 2 + bz 2 )
(4)
où Φ dépend de la charge de la particule et de la tension U ; et a et b sont deux constantes.
z
Coupelles
Anneau
O
y
U
x
Figure 6 : Piège de Paul
Rappel :
Une force F~ dérive d’une énergie potentielle Ep lorsque
−−→
F~ = −grad Ep
L’expression du gradient en coordonnées cartésiennes dans la base (~ex , ~ey , ~ez ) est donnée :
−−→
∂f
∂f
∂f
~ex +
~ey +
~ez
grad f =
∂x
∂y
∂z
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L’objectif de l’exercice est d’apprécier les conditions de piégeage d’une particule. Dans la suite,
on considère que la particule est complètement piégée si elle se comporte comme un oscillateur
harmonique dans les trois dimensions de l’espace.
Dans tout le problème, l’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
B.I- Préliminaire
B.I.1. Donner trois exemples de forces qui dérivent d’une énergie potentielle.
B.I.2. Proposer un dispositif simple permettant de réaliser un oscillateur harmonique à une dimension.
B.II- Étude d’un mouvement unidimensionnel
−−→
Un point matériel M de masse m se déplace le long d’un axe Ox (donc OM = x ~ex ), au voisinage
du point O. Pour cette étude, la seule force F~ à considérer dérive de l’énergie potentielle :
Ep (x) = Kx2
où K est une constante positive ou négative.
B.II.1. Exprimer F~ en fonction de K et x. Déduire l’équation du mouvement.
B.II.2. Dans le cas où K > 0, montrer que x = 0 est une position d’équilibre stable.
B.II.3. Lorsque K < 0, tracer l’allure de l’énergie potentielle. Comment caractériser la position
x = 0?
B.II.4. Pourquoi estime-t-on que M est piégé lorsque K > 0 et libre pour K < 0 ?
B.III- Étude du régime statique appliqué à une particule de mouvement
tridimensionnel
Dans cette partie, la tension est constante U = U0 et il en est donc de même pour Φ = Φ0 . Le
système étudié est un point matériel M de masse m. La seule force qu’il subit est la force qui
dérive de l’énergie potentielle Ep (x, y, z) (formule (4)).
B.III.1. Montrer que F~ = −(Kx~ex + Ky~ey + Kz~ez ), où F~ est la force que subit M . Exprimer Kx ,
Ky et Kz en fonction de a, b et Φ0 .
B.III.2. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour établir les trois équations du
mouvement.
B.III.3. D’un point de vue dimensionnel, on a [Φ0 ] = M T −2 (Φ0 est le produit d’une masse par
l’inverse d’un temps au carré). Déduire la dimension de a et b.
B.III.4. On admet qu’en conséquence des équations fondamentales de l’électromagnétisme, dans
ce cas statique, a et b doivent vérifier la relation :
2a + b = 0
Que peut-on déduire quant à la possibilité de piéger une particule chargée dans ce dispositif ?
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B.IV- Étude du régime dynamique appliqué à une particule de mouvement tridimensionnel : piégeage
L’idée de Wolfgang Paul est de contourner cette impossibilité de pièger une particule chargée à
l’aide d’un potentiel purement statique, en utilisant un potentiel oscillant de pulsation Ω, de sorte
que Φ = Φ0 cos(Ωt).
r
|Φ0 |
Dans le cas où Ω ≫ ω0 =
, on montre que tout se passe, approximativement, comme si la
m
particule évoluait avec une énergie potentielle effective :
Ep,eff =
mω04 2
x + y 2 + 4z 2
2
16Ω
B.IV.1. Écrire les nouvelles équations différentielles vérifiées par x, y et z.
B.IV.2. Montrer que la particule est piégée. Le mouvement de cette dernière est un mouvement
oscillant sur chacun des axes. Exprimer les pulsations d’oscillation ωx , ωy et ωz sur Ox, Oy et Oz
en fonction de ω0 et Ω.
B.IV.3. À t = 0, la particule est injectée dans le piège en O avec une vitesse ~v = v0 (~ex + ~ez ).
Calculer les trois fonctions x(t), y(t) et z(t).
B.IV.4. Les fonctions x(t) et z(t) sont représentées ci-dessous sur le même graphe (figure 7).
Identifier les deux fonctions.
f (t)
0
t
g(t)
Figure 7 : Graphe des fonctions x(t) et z(t)
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TSVP
B.IV.5. L’allure de la trajectoire de la particule est tracée figure 8. Reproduire cette figure en
identifiant, en le justifiant, les axes Ox et Oz. Conclure quant à l’efficacité du piège.
Figure 8 : Allure de la trajectoire de la particule chargée
Fin du sujet
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