Corrigé

Jacki LUCAS
Jean-Marie DELORME
François-Xavier COQ
Lycée POTHIER ORLEANS
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[email protected]
Si vous notez des erreurs, merci de nous les signaler.
2004 CCP MP Physique 2
PARTIE A - OPTIQUE
I – Étude géométrique
1. Les étoiles émettent des faisceaux de lumière parallèle (Ondes électromagnétiques planes), celui provenant
de Ea parallèle à l’axe optique de la lunette, l’autre provenant de Eb faisant un angle θ avec cet axe optique.
2.a. A1 et B1 se trouvent dans le plan focal image de
la lentille L1. A1 B1 = f '1 .tan θ ≈ f '1 .θ
A2 B2 O2 A2
1
1
1
=
=2
et
2.b.
−
=
A1 B1 O2 A1
O2 A2 O2 A1 f '2
1
donnent O2 A1 = − f '2 = 1,25 cm
2
B
3.a. A2 B2 = f '.θ = f '
B2
B1
F’2
O2
A1
A2
A1 B1
donne f’ = 2f’1.
f '1
A1 A2 = O2 A2 − O2 A1 = O2 A1 = 1,25 cm
3.b.
L’encombrement est plus important avec cette association de deux lentilles, mais l’image finale est plus
grande, ce qui permettra de mieux séparer les images des deux étoiles.
4. A2 B2 min = 2 f '1 θ min = 9 μm , ce qui donne θmin = 6,0.10-7 rad = 0,12 seconde d’arc. De même, on aura
θmax = 768*θmin =1,6 minute d’arc.
II – Pouvoir séparateur de la lunette dû à la diffraction
A. Préliminaires
1. Principe de Huygens-Fresnel : La pupille diffractante est équivalente à un ensemble de sources secondaires
émettrices d’ondes sphériques secondaires réparties continûment à la surface de la pupille. L’amplitude
d’une onde sphérique est proportionnelle à la surface dS occupée par la source secondaire, à l’amplitude de
l’onde incidente arrivant sur la source secondaire, à une constante de proportionnalité caractéristique du
dispositif utilisé, à la transmission de la pupille et au déphasage lié à la position relative des points sur la
source secondaire.
Pour une diffraction à l’infini, on supposera que les distances O’M, OP et OO’ sont très grandes par rapport
aux dimensions de l’ouverture, ce qui se traduit également par O’P petit par rapport à OO’ et OM petit par
rapport à OO’.
2. Comme on observe la diffraction à l’infini, placer une lentille convergente permet d’observer la figure de
diffraction dans le plan (π), le plan focal de la lentille L3. On aura XP = α.f’3 et YP = β.f’3 .
3. L’amplitude complexe de l’onde s’écrit :
⎯
⎯→
+ a /2
+b/ 2
2π G G
A'( P) = K1
exp j
(ui − u ). CM dS = K1
z z
−a /2
−b/2
F
GG
GH
2004 CCP MP Physique 2
λ
I
JJ
JK
z z
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F
F ⎯⎯→ ⎯⎯→I I
2π G G G
G
expG j
(u − u ) CO + OM J JJ dS
GG
JJ J
GH λ
H
KK
+ a /2
+b/2
−a/2
−b / 2
i
Lucas – Delorme - Coq
F
F ⎯⎯→I I F 2π G G F ⎯⎯→I I
2π G G G
G
A'( P) = K z
z expGGH j λ (u − u)GGH CO JJJKJJJK expGGGH j λ (u − u)GGGH OM JJJKJJJK dS
F
F
F ⎯⎯→I I
F ⎯⎯→I I
2
π
2
π
G
G
G
G
A'( P) = expGG j
(u − u )G CO J JJ K z
expGG j
(u − u )G OM J JJ dS
z
G
J
GG JJ J
λ
λ
GH JK JK
GH
GH
H KK
1
+ a /2
+b/ 2
−a /2
−b/2
i
i
i
1
+a /2
+b/ 2
−a /2
−b / 2
i
⎯
⎯→
G
G
Comme CO = d x ux + d y u y , on obtient
F
F ⎯⎯→I I
2π G G
2π G G G
G
G I
F
G
A'( P) = expG j
(u − u ). dd u + d u iJ K z
expG j
(u − u ) OM J JJdS , ce qui peut s’écrire :
z
GG JJ J
H λ
K
GH λ
H KK
F 2π (uG − uG).dd uG + d uG iIJ A( P) soit A'( P) = expe jhdd , d ij A( P) avec
A'( P) = expG j
H λ
K
2π G G
G
G
h(d , d ) =
(u − u ). dd u + d u i
λ
i
x x
i
x
y
y
x x
i
x x
y
y
y
1
+a/2
+b / 2
−a /2
−b / 2
i
x
y
y
y
B. Application : diffraction par la lunette
1.a. L’élément diffractant est le carré placé devant la lunette puisqu’il est inclus dans l’ouverture de la lunette.
⎯
⎯→
⎯
⎯→
G
G
G G
Pour une incidence normale, ui = uz et donc ui . OM = 0 . Par ailleurs, u . OM = α . x + β . y + γ .0 = α . x + β . y
et α =
XP
Y
et β = P . Comme dS = dx.dy, on obtient l’intégrale suivante pour A(P) :
f '1
f '1
A( P) = K1
z
+a /2
−a /2
FG
H
z
+a/2
−a /2
exp − j
FG
H
exp − j
IJ
K
2πX P
x dx.
λf '1
IJ
K
2πX P
x dx =
λf '1
LM F
N H
z
exp − j
FG
H
+a /2
−a /2
exp − j
2πX P
I OP
KQ
IJ
K
2πYP
y dy
λf '1
+a /2
x
λf ' 1
2πX P
−j
λf '1
FG
H
exp − j
−a /2 =
FG πX aIJ
H λf ' K = a sin cFG πX aIJ
=
2πX
H λf ' K
−j
λf '
F πX aIJ sin cFG πY aIJ .
On obtient donc A( P) = a K sin cG
H λf ' K H λf ' K
−2 j sin
IJ
K
FG
H
πX P
πX
a − exp j P a
λf '1
λf '1
2πX P
−j
λf '1
IJ
K
P
1
g(X)
P
P
1
1
2
1
P
P
1
1
b
FG
H
g
FG
H
1
Re A( P ). A *( P ) , ce qui
2
πYP
1 4 2
2 πX P
a sin c 2
a .
conduit à ε a ( X P , YP ) = a K1 sin c
λf '1
λf '1
2
1.b. L’éclairement vaut ε a ( X P , YP ) =
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IJ
K
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IJ
K
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FG
H
IJ
K
1 2 4
πX P
K1 a et g ( X P ) = sin c 2
a
2
λf '1
1.c. Le centre de la figure de diffraction se situe en O’, image géométrique de Ea. La figure de diffraction est
πX P
a = ±π , soit pour
symétrique puisque la fonction sinc2(X) est une fonction paire. Elle s’annulera pour
λf '1
λf '1
2λf '1
XP = ±
et on obtiendra une tache de largeur
.
a
a
πYP
1.d. Si le carré devient une fente très longue selon l’axe y, alors la fonction sin c 2
a a une valeur quasiλf '1 y
nulle en toute direction, sauf pour YP = 0 où alors la valeur est maximale et vaut 1.
πX P
a et l’éclairement aura alors comme expression
On observera une amplitude A( P) = a x a y K1 sin c
λf '1
On a ε a max =
FG
H
FG
H
1
2
ε a ( X P ) = a x2 a y2 K12 sin c 2
IJ
K
IJ
K
FG πX aIJ et sa forme sera la même que celle obtenue au 1.b.
H λf ' K
P
1
2.a. Pour Eb, on a αi = sinθ, βi = 0 et γi = cosθ. Pour θ faible, αi ≈ θ et γi ≈ 1.
2.b. On obtient
⎯
⎯→
+a/2
+b / 2
+a /2
+b/ 2
2π G G
2π
Ab ( P) = K1
exp j
(ui − u ). OM dS = K1
exp j
θ − α X P − βYP dS ,
F
GG
GH
z z
−a /2
−b / 2
I
JJ
JK
λ
−a /2
−b / 2
FG
H
λ
b
IJ
K
g
ce
qui
FG πa bα − θ g X IJ sin cFG πa βY IJ et l’éclairement s’écrira :
Hλ
K Hλ K
Fπ
I Fπ I
sin c G bα − θ g X J sin c G βY J
Hλ
K Hλ K
conduit à Ab ( P) = a 2 K1 sin c
ε b ( X P , YP ) = ε b max
z z
P
2
P
2
P
P
On obtient la même figure de diffraction que pour l’étoile Ea,
mais elle est centrée sur le point tel que YP = 0 et α = θ, soit
pour XP = f’1.θ.
3.a. Les deux sources sont incohérentes : les éclairements
s’ajoutent.
λf '1
3.b. Le premier minimum apparaît en
(pour Ea) alors que le
a
maximum pour Eb est en f’1.θ. On aura donc ces deux positions
qui coïncident pour θ 1 =
λ
. AN : θ1 = 1,92.10-6 rad = 0,40 seconde d’arc.
a
3.c. La largeur de la tache centrale de diffraction sur l’écran de la caméra sera donc pour une étoile de
2 f '1 θ 1 ≈ 29 μm, soit environ 3 pixels. C’est donc la dimension de l’ouverture, et la diffraction qui
l’accompagne, qui limite le pouvoir séparateur.
III – Interférences
1.a. On se trouve dans la situation du II-B-1.a., ce qui donne A' ( P) = abK1 sin c
FG
H
IJ
K
π
fente fine, on aura A' ( P) = abK1 sin c αb .
λ
FG πX aIJ sin cFG πY bIJ . Pour une
H λf ' K H λf ' K
P
P
1
1
1.b. Pour la fente (2), il faut ajouter le déphasage lié à C1C2, ce qui peut s’écrire :
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F
F 2π G G ⎯⎯→I
F ⎯⎯→ ⎯⎯→I I
2π G G G
G
J
G
J
A' ( X ) = K z exp j
GG λ (u − u ). C M JJdS = K z expGG j λ (u − u )GG C C + C M JJJ JJdS
H
K
H
KK
H
F
F ⎯⎯→ ⎯⎯→I I
2
π
G
G
F 2π (αd )IJ expFG − j 2π αxIJ adx
= K z expGG − j
(αu + βu )G C C + C M J JJ dS = K z expG − j
GG
JJ J
H λ K H λ K
GH λ
H
KK
F 2π (αd )IJ sin cFG π αbIJ
A' ( X ) = K ab expG − j
H λ K Hλ K
+b/2
2
P
1
+b/ 2
z
−b / 2
1
1
z
−b / 2
+b/ 2
1
2
2
+b/ 2
x
−b/2
P
2
1
y
1
2
2
1
−b/ 2
1
1.c. Les deux figures de diffraction, prises séparément, sont les mêmes, à un coefficient constant pour d donné,
avec les mêmes amplitudes pour l’éclairement puisque le coefficient a un module qui vaut 1.
2.a. Les deux sources provenant de la division du front d’onde sont cohérentes. On a alors les amplitudes
complexes qui s’ajoutent : A( X P ) = A'1 ( X P ) + A'2 ( X P )
2π
π
1
A( X P ) = K1ab 1 + exp − j
(αd ) sin c αb
et ε T ( X P ) = Re A( X P ). A *( X P )
s’écrit alors
2
λ
λ
π
1
2π
2π
ε T ( X P ) = K12 a 2b 2 1 + exp − j
(αd ) 1 + exp j
(αd ) sin c 2 αb
λ
λ
λ
2
π
1
2π
2π
ε T ( X P ) = K12 a 2b 2 2 + exp j
(αd ) + exp − j
(αd ) sin c 2 αb
λ
λ
λ
2
FG
H
IJ IJ FG IJ
KK H K
FG FG
IJ IJ FG FG
IJ IJ
KKH H
KK
H H
FG FG
IJ FG
IJ IJ
K H
KK
H H
F F 2π I I F π I
ε ( X ) = K a b G 1 + cosG αd J J sin c G αbJ . On voit que
H H λ KK H λ K
1
F π I F F 2π I I soit
ε ( X ) = 2 * K a b sin c G αbJ G 1 + cosG αd J J ,
H λ KH H λ KK
2
F 2π I
ε ( X ) = 2 * ε ( X ) g ( X ) où g ( X ) = 1 + cosG αd J est
Hλ K
T
P
T
P
T
P
2
1
FG
H
2 2
2
2
1
P
2 2
1
b
FG
H
FG
H
IJ
K
g
IJ
K
cette expression se met sous la forme
2
P
1
Diffraction
P
une fonction caractéristique des interférences.
2.b. On voit bien que la figure de diffraction sert d’enveloppe à Interférence
une figure d’interférence. Si les fentes sont infiniment fines,
alors λ/b est très grand et l’on observe un nombre de franges
d’interférences qui augmente : on observe essentiellement la
figure d’interférence (la fonction sinc2 tend vers 1 quand b tend
vers 0).
L’interfrange vaut, en angle, i = λ/d.
0
λ/b
3a. Lorsqu’il n’y a qu’une seule étoile Ea, la figure d’interférence est centrée en XPa = 0 (ordre 0). Le centre de
la figure d’interférence pour l’étoile Eb correspond à la position de l’image géométrique de Eb : XPb = f’1θ
(ordre 0). Les centres des figures d’interférence sont distants de f’1θ. Un brouillage des franges sera obtenu
lorsque le maximum d’une figure correspond au minimum de l’autre.
3.b. Cette condition se traduit par f’1θ = ½.if’1, soit d =
λ
.La valeur minimale de θ sera obtenu pour d le plus
2θ
grand possible. Comme le dispositif est devant l’entrée de la lentille L1, il faut d ≤ a. On aura alors
θ2 =
λ
2a
= 0,6810
. −6 rad = 0,14 seconde d' arc
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PARTIE B - ÉLECTROMAGNÉTISME
I – Préliminaires
I.1.Superposition d’un champ uniforme et de celui d’un dipôle
G
G
G
3R 3
R3 G
G
I.1.1 Le théorème de superposition conduit, après calculs, à BR = Ba + B M = Ba − 3 cosθ . er + 1 + 3 ez
2r
2r
F
GH
F
GH
IJ IJ
K K
FG
H
FG
H
IJ IJ
K K
G G
G
G
R3 G G
3R 3
G G
I.1.2. BR . rer = Ba + B M = rBa − 3 cosθ + 1 + 3 ez . er . Comme ez . er = cosθ , il vient immédiatement
2r
2r
FG
H
IJ
K
G G
R3
BR . rer = rBa 1 − 3 cosθ
r
G G
G
G
I.1.3. Pour r = R, BR . rer = 0. Le champ BR est donc perpendiculaire à er , soit tangent à la sphère de rayon R.
Au
niveau
de
la
sphère,
en
coordonnées
cartésiennes,
G
G
3
G
G
BR = Ba − sin θ .cosθ . ex + sin 2 θ . ez . Le module de BR vaut donc
2
G
3
BR = Ba sin θ : il est maximal pour θ = π/2.
2
I.1.4. Loin de la sphère, le champ est uniforme et donc les lignes de champ sont
des droites parallèles. Au niveau de la sphère, le champ est tangent à la
sphère, ce qui conduit à des lignes de champ qui épousent la forme de la
sphère. D’où l’allure des lignes de champ représentées ci-contre.
c
h
I.2.Moment magnétique d’une distribution sphérique de courant
G
I.2.1. La distribution est indépendante de ϕ, et comme la distribution de courant est selon le vecteur de base eϕ ,
l’axe Oz est un axe d’antisymétrie pour Gla distribution de courant. En tout point de cet axe, le champ
G
magnétique sera porté par cet axe et donc B(O) = B(O). ez
G
μ0 G
G
G
G
I.2.2. La loi de Biot et Savart s’écrit dB (O) =
J s dS ∧ ePO avec e PO = − er et dS = R2sinθ.dθ.dϕ.
2
4πR
G
μ0
μ
G
G
G
dB (O) = −
J 0 sin θ . R 2 sin θ . dθ . dϕ eϕ ∧ er = − 0 2 J 0 sin θ . R 2 sin θ . dθ . dϕ eθ
2
4πR
4πR
2π
π
G
G
μ 0 J0
μ
J
μ J
G
G
G
G
sin 2 θ . dθ . dϕ eθ . ez = 0 0 sin 3 θ . dθ . dϕ . On aura ainsi B(O) = 0 0 dϕ sin 3 θdθez ,
dB (O). ez = −
4π
4π
4π 0
0
G
G
2
G
μ 0 J0
4G
soit B(O) =
2π ez et donc B(O) = μ 0 J 0ez
3
4π
3
I.2.3. Entre θ et θ + dθ, on peut définir un élément de courant dIG tel que dI.2πRsinθ = J0sinθ.2πRsinθ.Rdθ, soit
G
dI = J0Rsinθ.dθ. Par définition, le moment dipolaire s’écrit dM = dI . S . ez , soit :
G
G
G
G
3
3
dM = J 0 R sin θ . dθ . π ( R sin θ ) 2 . ez et donc dM = πJ 0 R sin θ . dθ . ez
G
G
π
4 3 G
G
I.2.4. Le moment magnétique total s’écrit M s = πJ 0 R 3 sin 3 θ . dθ . ez , soit M s = πR J 0 .ez
0
3
d
c
i
h
c
h
c
c
h
h
z z
z
II – Sphère supraconductrice dans un champ magnétique
II.1.Propriétés du courant et du champ. Conséquences
⎯
⎯→
G
G
G
G
∂E G
∂E
II.1.1. L’équation de Maxwell-Ampère est rot B = μ 0 jv + ε 0 μ 0
. En régime stationnaire,
= 0 . Le
∂t
∂t
G G
G G
champ à l’intérieur est tel que B = 0 . On a donc jv = 0
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Lucas – Delorme - Coq
G
G
G G
G G
II.1.2.a. La relation générale de passage pour B = 0 est B2 − B1 = μ 0 js ∧ n12 , ce qui donne
G
G
G
G
G G
G
G G G
( B2 − B1 )n12 = ( μ 0 js ∧ n12 )n12 = 0 , soit Bn 2 − Bn1 = 0
II.1.2.b. Comme le champ magnétique est nul à l’intérieur de la sphère, la composante normale
G est nulle à
l’intérieur et donc aussi à l’extérieur. Il ne reste que la composante tangentielle à l’extérieur : B2 est tangent
à la sphère.
G
G
σ G
II.1.2.c. Pour le champ électrique, E2 − E1 = n12 conduit à la continuité de la composante tangentielle. A
ε0
l’intérieur d’un conducteur en équilibre, le champ électrique est nul et donc le champ extérieur aura une
composante tangentielle nulle . Le champ électrique est normal à a surface. G
G
G G
G
G
G
G
G
G G
II.1.3.a. B2 − B1 = μ 0 js ∧ n12 et comme Bn 2 − Bn1 = 0 , il vient immédiatement Bt 2 − Bt 1 = μ 0 js ∧ n12
G
1 G
B2
II.1.3.b. La relation précédente permet d’obtenir B2 t − B1t = μ 0 js et donc on a J s =
μ0
II.1.3.c. Le théorème de Coulomb traduit la discontinuité du champ électrique à la traversée d’une surface, soit
G
σ G
E2 = n12
ε0
F
GH
FG
H
b
IJ IJ
K K
G
G
G
3R 3
R3 G
G
II.1.4. On a obtenu BR = Ba + B M = Ba − 3 cosθer + 1 + 3 ez .
2r
2r
G
3
3
3
G 3G
G
G
G
G
Pour r = R, BR ( R) = Ba − cosθer + ez = Ba − cosθer + cosθer − sin θeθ = − Ba sin θeθ . On obtient
2
2
2
2
G
G
3
G
G
donc B2 = − Ba sin θeθ = μ 0 J s ∧ er .
2
G G
G
G
G G
G
3
3
G
G G G
G G
G
G
Comme er ∧ ( J s ∧ er ) = J s − (er . J s )er = J s , − Ba sin θ (er ∧ eθ ) = μ 0er ∧ ( J s ∧ er ) = μ 0 J s = − Ba sin θeϕ , ce
2
2
G
3Ba sin θ G
eϕ
qui donne J s = −
2μ 0
G
G
2
2
3B G
G
G
II.1.5. On obtient B(O) = μ 0 J 0ez = Bint = μ 0 − a ez = − Ba ez : le champ total est bien nul à l’intérieur de
3
3
2μ 0
la sphère.
II.1.6. Js(R, π/2) = 1,2.106 A.m-1.
G
G
G
2π 10−6
2πR 3 G
4
4
3B G
G
Ba ez . M s =
= 5,0 Am2
II.1.7. M s = πR 3 J 0 . ez = − πR 3 a ez d’où M s = −
−7
μ0
4π 10
3
3
2μ 0
FG
H
IJ
K
FG
H
g
IJ
K
II.2.Rupture de supraconductivité. État intermédiaire.
G
3
II.2.1. BR ( R) = Ba sin θ est maximal pour θ = π/2 : la supraconductivité cesse en premier au niveau du
2
cercle équatorial.
G
G
B
3B sin θ G
3B G
-2
6
II.2.2. J s = − a
eϕ vaut, pour θ = π/2, J s = − a eϕ de module J c = c = 9,94.10 A.m
μ0
2μ 0
2μ 0
G
G
3
3 G
G
II.2.3. BR ( R) = − Ba sin θeθ . Pour θ = π/2, BR ( R) = − Ba eθ et donc on veut Bmax = 3/2.B1. On applique un
2
2
champ maximal B1 = 2/3.Bc = 8,33 T.
II.2.4. et II.2.5. Cette question et la suivante semblent difficiles à résoudre sans information complémentaire.
On pourra trouver celles-ci sur le site http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/mangin.p/ch-3-champ-cri.pdf, ce
qui conduit aux conclusions suivantes :
Ba < 2/3 Bc : la sphère est totalement supraconductrice.
2/3 Bc < Ba < Bc : la sphère est partiellement supraconductrice.
Bc < Ba : la sphère est totalement à l’état normal.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
2004 CCP MP Physique 2
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Lucas – Delorme - Coq
II.3.Lévitation magnétique.
II.3.1. Pour une couronne située entre θ et θ + dθ, elle se comporte comme une spire parcourue par un courant
dI tel que 2πRsinθ.dI = Js2πR2sinθ.dθ, soit dI = JsRdθ. La force élémentaire de Laplace s’écrit
⎯
⎯→
⎯
⎯→
⎯
⎯→
G
G
G
G
G
d 2 F = dI . dOM ∧ Ba et donc sur la couronnedF = dI
dOM ∧ Ba . Comme
dOM = 0, il est clair
z
couronne
z
Couronne
que la force qui agit sur une couronne est nulle et donc la force qui agit sur la sphère placée dans un champ
magnétique uniforme est nulle.
G G
G G
1 G2
II.3.2. dε pm = − dM s . Ba = − ( − KdBa ). Ba d’où ε pm = KBa + cste
2
II.3.3. L’équilibre est stable lorsque l’énergie potentielle est minimale : la sphère se déplacera dans la zone de
champ de module faible.
2004 CCP MP Physique 2
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Lucas – Delorme - Coq