SUR UNE CLASSE D`ENSEMBLES PARFAITS DISCONTINUS

SUR UNE CLASSE D'ENSEMBLES PARFAITS DISCONTINUS
EX RELATION AYKC LES FONCTIONS ADMETTANT UNE DÉRIVÉE SECONDE GÉNÉRALISÉE
Par ARNAUD DENJOY
Sur un intervalle a'b\ soit un ensemble parfait P, d'extrémités a et b, et tel
que les semi-conligus a'a, bb' bordaut P soient au moins égaux à tout contigli
quelconque de P, l'un des deux semi-contigus étant en outre au plus égal à 6 — a( â ).
Nous dirons que P présente le caractère (A) si deux intervalles contigus ou semicontigus quelconques de P sont séparés par un segment au moins égal en longueur au
plus petit de ces deux intervalles.
\ étant un nombre positif donné, soient a4 un point quelconque de P, et
ß'4 = a4 + X0. (On pourrait prendre le signe — devant \ à la condition de continuer
ci-après constamment ainsi.)
Si p\ n'est pas sur P, mais si $\ est à gauche de 6, soit ß4 l'extrémité droite
de l'intervalle contigu u11\ contenant ß'4. (On pourrait prendre pour ß4 l'extrémité
gauche de a"4, et alors on envisagerait ci-après constamment des extrémités gauches
de contigus). Soit a'4 déterminé par a'4 + X0 = ß4.
Si a'4 n'est pas sur P, soit aa l'extrémité droite de l'intervalle contigu u\ contenant <x'4. Nous construisons ß'3 = a2 + ),0; et ainsi de suite.
Les opérations ne s'arrêtent que dans deux cas; ou bien, si un point ß'p est à la
droite de 6; ou bien,.avant que cette circonstance ne se produise, si nous trouvons
un point accentué, a'p ou ß' p , appartenant à P. Dans le cas où les opérations ne
s'arrêtent pas, il est évident que les suites (a p ,a' p ) et (ßp, ß'p) tendent respectivement vers deux points v et o appartenant à P et dont la distance est A0. Un tel
(l) Je distingue Yintervalle ab (ensemble a < x < b) du segment ab (ensemble a <^x ^ b).
Un intervalle contigu à l'ensemble parfait P est un intervalle sans points communs avec P,
mais dont les deux extrémités appartiennent à P. Un intervalle sans point commun avec P,
mais dont une extrémité et une. seule appartient à P sera dénommé intervalle semi-contigu
à P.
I90
A. DENJOY.
couple est donc mis en évidence dans tous les cas, sauf si un point ß' vient à droite
de 6.
Considérons les deux suites constituées de points distincts (en nombre impair
par exemple, la parité étant indifférente) :
Deux lettres a, ß occupant le même rang dans les deux suites, ont le même
indice, l'une est accentuée, l'autre ne l'est pas, et elles désignent deux points dont
la distance est \ .
Je dis que chacun des intervalles intermédiaires de la suite (a J , a'1)(a'l, a j .. .,.
(a' H ,a M1 ), surpasse en longueur l'un au moins des deux intervalles qui lui sont
adjacents dans la même suite.
Nous montrerons successivement : r que l'intervalle (*piy!p) surpasse l'un au
moins des deux intervalles (a'p_,, ap) et (a'p, ap ,) si p = 2 . . . ou n; et 20 que l'intervalle (a'p, ap 4) surpasse l'un au moins des deux intervalles (y.p, y!p) et (-/p^,, a p+1 )
pour p = 1 . . . , ou zi — 1.
Les lettres a, ß accentuées désignent des points étrangers à P. Soient respectivement u'p et u"p les intervalles contigus à P contenant <x'p et ß ' . u'p a pour ex trémité droite a p : i , comme u"p a pour extrémité droite ß p . On a donc
«'„>%v.
cl
«\>?'A-
i° L'intervalle ur
est séparé de u'p(p = 2 ...,n) par un segment s'p dont
l'extrémité gauche est ap et dont l'extrémité droite est intérieure à l'intervalle %v y.'p,
puisque a'p est intérieur à uf . On a évidemment
«
r )
>
*'p-i*„
1
U
'P>
* p«p - i y
s'p<
a
„* p •
Mais, P présentant le caractère (A), s'p est au moins égal en longueur à l'un des
deux intervalles ur
et u'p. Donc, apa'p surpasse a fortiori l'un an moins des deux
intervalles adjacents a'p_,ap et a'pocp d .
20 On démontre exactement de même que, des deux intervalles ß p ß p et ß ' ^ ß ^ ,
contenus respectivement dans u"p et u"p+l, l'un au moins est surpassé en longueur
par $p$'p_ti, qui est supérieur au segment s"p séparant u"p de u"pAi. Mais
P'P?* = "***•
Pp?pJ. =
a
->P'*'
? V . ? P 1 = v i a V.f
La seconde partie de l'énoncé est donc établie.
Il suit de là que les intervalles séparés par la subdivision a4, a',, y.0_, .. ., a'w, a ll+4 ,
UOTIé constamment en décroissant, si le premier surpasse le second. Car alors, le
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191
second doit surpasser le troisième (pour surpasser l'un au moins du premier et du
troisième), qui doit surpasser le quatrième, et ainsi de suite.
Dans le cas le plus général, la suite d'intervalles considérés peut comprendre un
terme maximum, ou deux ternies maxima adjacents, et les autres termes décroissent
quand on s'éloigne de part et d'autre de ce ou de ces termes maxima (qui peuvent
-coïncider avec le premier ou avec le dernier intervalle).
Ces préliminaires étant posés, nous pouvons énoncer les propositions suivantes
relatives à un ensemble parfait P présentant le caractère (A).
[1] Quel que soit le nombre \ au plus égal à b — a, P contient deux points dont
la distance est X.
Soit en effet a4 = a.
Le segment a,a'4 contient el surpasse le segment s\ séparant a'a de u\, lequel
contient et surpasse l'intervalle a'4a2. Or, par hypothèse, da et b'b ne sont inférieurs en longueur à aucun contigu de P. Donc, a 4 a' 4 >a' 4 a., . Donc, tous les intervalles séparés par les suites ap, a'p et ß'p, ßp vont en décroissant.
Je dis que les ß demeurent tous sur ab. En effet, si ß'w est sur ab, l'extrémité
droite ßH du contigu contenant ß'w est à gauche de b. Si ßrt est à gauche de 6, on a
Or, ß'MßH<C""w; uaM est séparé de bU par pnb, au moins égal à uan (caractère A),
d'après iïfn^bb'. Donc, ßMß'/H 4 < ßwb. Donc, ß ' ^ est à gauche de b. Il en est
donc de même de ßw_ll •
Donc, que les suites (a, a') (ß, ß') s'arrêtent ou non, elles mettent en évidence un
couple (y, 8) situé sur P et tel que 0 — y — A .
Le même raisonnement permet de montrer que :
[ I b i s ] Si u et v sont deux intervalles contigus ou semi-contigus à P, séparés par
le segment aß (a et ß appartiennent à P , a < ß ) , et si u et v sont au moins égaux à
chacun des intervalles contigus à P compris entre a et ß, il existe quel que soit le
nombre \ au plus égal à ß — a, deux points de P situés sur le segment aß et dont
la distance est égale à \ .
[2] (Conséquence du précédent). — Si u et v sont deux intervalles contigus ou
semi-contigus à P, séparés par un segment aß, il existe, quel que soit le nombre \
au plus égal au plus petit des deux nombres u et v, deux points de P situés sur aß
et dont la distance est égale à \ (en longueur).
Soit par exemple u à gauche de v, avec u^v, et vt le contigu le plus voisin
•de u k sa droite, et dont la longueur vaut au moins u. vi coïncide avec v ou est
I Q2
A. DEN JO Y.
compris entre u et v. Le segment aß4 séparant u dé L\ vaut au moins u (caractère A), d'après u^v. Il suffit d'appliquer à aß4 la proposition i bis.
[3] Si F intervalle u est contigu à P et si, sur un segment adjacent à u et de longueur l, P ne possède pas de contigu ni de semi-contigu dont la longueur surpasse ur
il existe alors, quel que soit \ vérifiant u <^ A3 <^ Z + u, deux points de P situés de
part et d'autre de u, et dont la distance est égale à A:J.
Soient ß et a (ß<.*) les extrémités de u. Posons
a
= *i>
P\ = * — \
(u<\)>
et soit ß4 l'extrémité droite du contigu contenant ß'4, si p\ est étranger à P. Comme
dans l'étude préliminaire, les deux subdivisions (a p , a'p), (ßp, ß'p) progresseront vers
la droite, mais cette fois, la seconde sera à la gauche de la première (et non pas à sa
droite).
La démonstration se compose encore de deux parties : i° aa', >> a'4a2, si a'4 n'est
pas sur P; 20 ß'p et Sp restent à gauche de ß, quel que soit p.
En effet : i° D'après X3 <^ u + l, le semi-contigu ß', ß, est au plus égal à u. Donc,
d'après s' 4 <aa' 4 , on a s\<iu. Donc (caractère A) s\^u\.
De a' 1 a 3 <;tt' 1 résulte
aa'4 ^> a'4 a 2 .
Donc, les intervalles des subdivisions (a p ,a' p ), (ß'2,? ßp) vont décroissant en longueur, tant qu'un J ou un ß'p n'est pas sur P.
2" L'inégalité ß Ä < ß s e démontre de proche en proche. Si en effet ß rt <ß> on a :
en évidence, ß' ;i ß Ä <ul t n , puis uJ'n<^u, par hypothèse, d'où ßHß^>a"B (caractère A) et enfin ß' M ß w <ß„ß. Or, nous avons établi (i°) p'HßB> ß„ß',H_4. Donc,
P'ä+I » e t P a r s u ite ß;H_,, son.t encore à gauche de ß . La proposition 3 résulte de là.
[4] (Conséquence du précédent). — Si u est un intervalle contigu à P, il existe,
quel que soit \ vérifiant u <^ A4 <^ Su, deux points de P situés de part et d'autre de
u el dont la distance esfk^.
Car, si u est l'intervalle ßa, et si ßa4 = ß—211, le segment ßa4 ne peut pas
contenir, en vertu du caractère (A), d'intervalle contigu ou semi-contigu dont la longueur dépasse u. La*proposition 3 s'applique donc.
Les théorèmes précédents trouvent leur application dans celui-ci :
[5] Si P possède le caractère (A), il existe, quels que soient : i° M sur P; 20 la
longueur 4/ d'un segment AB de milieu M(/<<6 — a), il existe deux points de P
appartenant au segment AB, et dont la distance est L
Soient respectivement u et v les plus grands intervalles contigus à P ayant des
points, le premier à l'intérieur de AM, le second à l'intérieur de MB. Soit par
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ig3
exemple u, ou a4a le plus petit des deux (ou l'un des deux, s'ils sont égaux). Si
u^l, le théorème à démontrer résulte de la proposition 2. Supposons donc u<il.
Soit vt l'intervalle contigu situé à droite de M, et le plus près possible de u, et au
moins égal à u en longueur. i\ coïncide avec v ou est à sa gauche. Si le segment aß4,
séparant u de vt vaut au moins l, la proposition 5 résulte du théorème 1 bis. Si cette
distance est inférieure à /, alors, puisque ß4 est en M ou à sa droite, a est à droite
du milieu A, de AM, et d'après «,*<[/, ai est intérieur au segment AM. Appliquons au segment A a, la proposition 3. Il existe deux points 71 3 de P, contenant
entre eux u et dont la distance est /. a étant à droite de A4 et non pas de M, le
segment (y, 3) est à droite de A et à gauche de B4 milieu de MB. Donc 7 et 3
appartiennent au segment AB.
Le théorème 5 est démontré dans tous les cas.
Donnons un exemple général d'ensemble parfait P auquel s'appliquent les considérations précédentes.
Supposons que P satisfasse à cette condition, que si M et M' sont deux quelconques de ses points, il existe sur P, d'un coté ou de l'autre de M, un point M",
tel que M M ' < M M ' ^ 2 M M " . (Le coefficient 2 pourrait être remplacé par la racine
réelle (et positive) de l'équation i3 — /* — t — 3 = o).
Je dis que P possède le caractère (A).
Sinon, il existerait deux intervalles contigus u ou a,a, v ou pbl9 tels que aß
fût inférieur à u et à v. Supposons par exemple ß — x<^u<^v. On montre immédiatement, en plaçant M' en ai ou en 64, et M sur le segment aß, que le segment
ayant même milieu que (a, ß), et égal à son tiers, est entièrement intérieur à un
contigu aa6a de P. Mais alors, il est visible que, si l'on place M en a et M' en ò s ,
M" n'existe pas.
Les mêmes méthodes permettent de démontrer le théorème suivant.
Supposons que : i° P et P' sont deux ensembles parfaits présentant le caractère (A) ;
20 u et v sont deux intervalles contigus ou semi-contigus à P, séparés par le segment
aß, et non surpassés par aucun des contigus à P situés sur aß; S* au cas où a'ß'=j=aß
et si par exemple a ' ß ' O ß , l'un (le plus grand, s'ils sont inégaux) des deux intervalles u' et v' est au moins égal à tout contigu de P situé sur aß.
Sous ces conditions suffisantes, si x et y désignent respectivement les abscisses
d'un point quelconque de P situé sur aß, el d'un point quelconque de P' situé sur
a' ß', F ensemble des nombres y — x forme un segment continu.
Application. — Supposons que : i° P présente le caractère (A); 20 u et v sont
deux contigus ou semi-contigus de P tels que tous les contigus compris entre u et v
sont an plus égaux, d'une part à v, d'autre part à
»i
(IPKM)25
I94
A. DEN JO Y.
Sous ces conditions suffisantes, x et y désignant les abscisses de deux points quelconques de P situés sur aß, et p el q deux nombres indépendants de x et de y, l'ensemble des nombres px -h qy est un segment continu.
L'une des configurations les plus intéressantes présentant le caractère (A) est celle
de l'ensemble parfait classique P0 de Cantor, obtenu en extrayant d'un segment ab
l'intervalle occupant le tiers médian de ab, en opérant ensuite de même sur chacun
des deux segments restants, et en continuant indéfiniment ainsi. Les démonstrations
peuvent en ce cas s'appuyer sur l'expression des points de Pu dans le système numérique de base 3.
Application aux fonctions admettant une dérivée seconde généralisée.
Soit F(6) une fonction continue. Posons, u étant un nombre non nul,
F(6 + 11) — F(0)
u
= Q(8>n) = Q(e + !il —u),
F(ô + u) + F(6 — u) — 2 F(û)
Q(6,M) — Q(0, — u)
= R(0,tt).
On dit que F admet au point ô une dérivée seconde généralisée égale à /(ô), si
R(0, u) tend vers /(O) quand u tend vers o, 0 étant indépendant de u.
[6] Si l'ensemble parfait P présente le caractère (A), et si, quel que soit ô sur P
et \u\ positif et borné indépendamment de 0, |R(0,u)| demeure borné :
i° F(0) possède une dérivée <p(ô) en tout point 0 de P;
20 9(6) est continue sur P elles nombres dérivés de o(0) spéciaux à P sont bornés;
3° Si en outre F(0) admet la dérivée seconde généralisée /(Ö), cp(0) admet f(Q) pour
dérivée spéciale à P, tout au moins en un ensemble de valeurs de 0 partout dense sur P.
Supposons |R(ô, u)\ < a , quels que soient : i° 0 sur P; 20 \u\ positif et par
exemple inférieur à 2.
Soient quatre nombres x^,x\,x,x}
vérifiant la relation x—x = 2(x\ — xt)^>o.
On a
Le point 5 est simultanément le symétrique de x par rapport à xt et de x' par
rapport à x\. Supposons que xv et x\ soient sur P. Désignons par 2k la distance
SUR UNE CLASSE D'ENSEMBLES PARFAITS DISCONTINUS.
ig5
(positive) de xt et de x\, et par / les différences égales to,— ç et w — co4, si <o et
w4 sont les milieux respectifs des intervalles (x, x') et (xy, x\). On a
«, = 5 + /,
xt = ~ + i—k,
< = ç + / + fc,
w=
JS == H + 2 / — 2 f t ,
x' =
Ç + 2/,
C + 2/-I- 2ft .
Nous supposons que | / | + k, égal au plus grand des deux nombres \x — a?4| et
|x' — x\\, est inférieur à 2.
xi et JC'J étant sur P, on a
| R ( ^ , u ) | < < 7 , |R(œ' 1 > B)|<ç ï s i o < [ n | < 2 .
Nous faisons dans la première relation u = x — xt = l — ft, et dans la seconde
u = x! — x\ = l + ft. 11 vient, en désignant par la lettre 3 diversement affectée
d'accents et d'indices, un nombre dont le carré est inférieur à i :
V(x) -f F(5) -
*K(JO =
ft)8
34*(/ -
et
I V ) + K(î) - a F « ) = 3',(7(/ + ft)2 D'où
2¥(x\) — 2F(jct) = F(.*'; - V(x) + 23c(P + ft2),
et, en divisant tout par x' — x = l\k,
. ,
F«)-F(x-,)
(I)
F(x')-¥(x)
x \ — xt
ï + le'
h 0(J
=
x —x
.
2k
Telle est la formule que nous allons utiliser.
Soit 0 un point quelconque de P. Sur le segment 0
à 0 -\—-, nous pou-
vons trouver (théorème 5) deux points 0U et 0'l4 de P, tels que 0'l4 = 0M +-5+1 •
Dans la formule ci-dessus, les rôles de x et de x' seront joués respectivement par
0ra_4 et ô'w_4, ceux de xi et de x\ par 6Ä et 0'rt. ft, demi-distance des xt, x\ de la
formule (1), vaut - ^ ; | / | , distance du milieu de ( 0 M > û'rt_4) au milieu de (0B, Ô'J
est au plus égal à
4 Va" - '
aV
2" •
I96
A. DENJOY.
D'où
/s + ft* _4i_
2ft
2
Enfin,
TO-Fft.)
! ( < • • £ ) - '
Done,
En ajoutant membre à membre les n premières relations (2), il vient
n
C. = Ct
8..
+*!*%-&.
Ceci montre que CH tend vers une limite cp(0) quand n croît.
On a dès lors, en ajoutant membre à membre les relations (2) pour w 4- 1,
n -f- 2, . . . , n + p, et faisant croître p :
8 ( M ) (7
(3)
C . = •(<>) + 4 1 ^ .
Soit maintenant /* un nombre quelconque non nul et inférieur à 1 en valeur
absolue. On a :
u. ®«
a»
h = - 1 + -i -h ; . . 4- -£ 4- . . . •
2
2
2
les a. non nuls étant tous de même signe et égaux à 1 en valeur absolue. Posons
h —h
/. — £» 4. (hì±± _L
On a
|AJ<JE=ÏCalculons
F(0 + A , H 1 ) - F ( ô + /,„).
Si a = o, cette différence est nulle.
SUR UNE CLASSE D ENSEMBLES PARFAITS DISCONTINUS.
I97
Si | an | = 1, on peut, d'après | hn — hIH 41 = — = a(0'w — 6n), appliquer la formule (1). a?4 et x\ sont remplacés respectivement par ôw et par Ô'M, x et x' par
ô 4- AfH_4 et ô 4- AÄ (ou l'inverse selon que h est positif ou négatif). On a
| / | est la distance du milieu de (ÔH, ô'B) au milieu de (ô 4- hn, 6 4- AIH_4), intervalle égal en longueur à —- et dont l'extrémité ô 4- AM+4 est distante de 6 de -^ au
plus. Donc, cette fois encore | /1 est au plus égal à - ^ et
p 4- fta ^ 4i
2"
Donc,
F(ô + / O - F ( 0 + A B + l ) _ F ( 9 ' B ) - F ( 9 J
A.-A.H.
9'„-9„
*i _
a»-
ô r w
.
^
Al
3.W«
a
et dans tous les cas (an = o, i ou — i),
F(6 + A.) - F(ô + A,1+1) = & *(0) + 8"" - | L an,.
D'où, en ajoutant de n = i k n infini, et en vertu de la continuité de F(ô).
(4)
F(Ô -f- h) — F(6) = A*(6) 4- — S* h\
relation qui démontre que <ï>(ô) est la dérivée de F au point ô (première partie de
l'énoncé).
Si ô 4- h est sur P, nous pouvons ci-dessus remplacer le point Ô par le point
6 + h, et l'accroissement h par — h. On trouve alors
0>(ô + A) —4>(Ô)
<4iff,
ce qui démontre la seconde partie.
Pour démontrer la troisième partie, on utilise les raisonnements de
discontinuité ponctuelle de /(ô) sur P.
BAIRE
sur la
I98
A. DEN JOT.
[7] Si P présente le caractère (A) et si F(ô) possède une dérivée seconde généralisée, toute portion P4 de P en contient une autre P4 où les conclusions du théorème 6
sont exactes.
Il suffit que, Ô étant quelconque sur P 2 , |R(0, u\ soit borné moyennant
o<C\u\<C'fi, v) étant indépendant de 0.
Des raisonnements analogues à la démonstration du théorème 6 permettent de
montrer que, si F(6) possède en tout point 6 une dérivée seconde généralisée /(ô), les
points où <ï>(ô) dérivée de F(6) ou bien n'existe pas, ou bien n'admet point /(ô) pour
dérivée approximative (ou exacte), ces points forment un ensemble de mesure nulle.
Quand /(6) est la somme d'une série trigono métrique partout convergente, les
énoncés précédents relatifs à F(ö) sont un peu plus précis. On pourra consulter sur
ces questions mes notes aux Comptes rendus des Académies des Sciences d'Amsterdam (fascicules de mai et juin 1920) et de Rome (Lincei).