Rencontre Euro-Maghreb d`Alg`ebre, Théorie des Nombres et

Rencontre Euro-Maghreb d’Algèbre, Théorie des Nombres et
Calcul Formel/
Euro-Maghreb Meeting In Algebra, Number Theory and
Computer Algebra
Marrakech, 16-18/02/2009
Facult des Sciences Semlalia
(Avenue Prince Moulay Abdellah, BP 2390, Marrakech 4000, Maroc)
Résumés des conférences/ Abstracts of talks
On the generators of non-associative Algebras
by
Helena Albuquerque
Abstract
A subset X of an algebra A is said to generate A, if A is the smallest linear space closed under the
product containing X. In this talk we describe generating sets for some classes of finite dimensional nonassociative algebras defined over a field of characteristic 0. The first result about this subject is due to
Kuranishi [4], who proved that any finite dimensional semisimple Lie algebra over a field of characteristic
0 can be generated by two elements. We have generalized this result for any Lie algebra [2] and adapted
the reasoning of Kuranishi to the case of semisimple Jordan algebras [1] where Cartan decomposition was
replaced by Peirce decomposition. We prove that any classical simple Lie superalgebra is generated by
one element [3] and we finalize this talk studying this problem for simple Malcev superalgebras.
References
[1] H. Albuquerque, Sobre Geracão de Álgebras de Jordan Semisimples, Actas das XV Jornadas
Luso-Espanholas de Matemática- Évora Vol.1: 125–130, (1990);
[2] H. Albuquerque and A. Elduque, On the Nullity of Lie Algebras, Lin. Algebra and Its
Applic. 166, 195–206, (1992);
[3] H. Albuquerque and A. Elduque, On the Generators of Lie Superalgebras, Lin. Algebra
and Its Applic. 181, 45–61, (1993);
[4] M. Kuranishi, On everywhere dense imbedding of free groups in Lie groups, Nagoya Math.
J. 2, 63–71, (1951).
1
About The Cohomology of The Lie superalgebra of vector fields on Rn|n
by
Faouzi Ammar (Joint work with Kaouthar Kamoun )
Abstract
We compute the first space of cohomology of V ect(Rn|n ), the Lie superalgebra of vector fields on the
supermanifold Rn|n with coefficients in F(Rn|n ), the space of smooth functions on Rn|n . We give a super
analog of the cohomologies of vector fields that where studied for instance by D.B. Fuchs . This work
allows us to classify the deformations of the action of V ect(Rn|n ) on F(Rn|n ).
Cohomologie des algèbres ternaires partiellement associatives et la construction de
Takhtajan pour les algèbres ternaires de type associatif
par
Hammimi Ataguema
Résumé
L’objectif de mon exposé étant de d’étudier les cohomologiee adaptées à la théorie des déformations
formelles des algèbres ternaires partiellement associatives. Je précise les opérateurs 1-cobord et 2-cobord,
ainsi que les groupes de cohomologie correspondants. Il s’avère que l’opérateur 3-cobord est impossible à
construire et qu’une telle cohomologie n’existe pas pour les algèbres ternaires partiellement associatives,
ceci à pour conséquence en théorie des opérades que l’opérade des algèbres ternaires partiellement associatives n’est pas de Koszul. Je rappelle le procédé de Takhtajan permettant d’obtenir un complexe
d’algèbres ternaires à partir d’un complexe d’algèbres binaires. Je montre que ce procédé, qui permet de
construire une cohomologie pour les algèbres de Nambu-Lie ternaires, n’est pas valable pour les algèbres
de type associatif. Si j’arrive à avoir un peu de temps je peux parler de l’extension aux algèbres ternaires
de la théorie des déformations formelles à un paramètre d’algèbres binaires introduites par Gerstenhaber.
Je définis et j’étudie l’équation de déformation des algèbres ternaires partiellement associatives. Je définis
aussi les notions de déformations équivalentes et déformations triviales. On se ramène, comme dans le
cas classique, à une étude cohomologique utilisant les groupes de cohomologie décrite précédemment.
References
1. H. Ataguema and A. Makhlouf, Notes on cohomologies of ternary algebras of associative type,
A paratre dans Journal of Generalized Lie Theory and Applications 2009 .
2. H. Ataguema and A. Makhlouf, Deformations of ternary algebras,
Journal of Generalized Lie Theory and Applications, vol 1 pp 41-45 (2007).
2
On quadratic Lie algebras with invertible skew-symmetric derivations
by
Ignacio Bajo
Abstract
A quadratic Lie algebra is a Lie algebra endowed with a non-degenerate invariant symmetric bilinear form
[3], [4]. When such a Lie algebra admits an invertible skew-symmetric derivation, a symplectic structure
can also be defined. We study some aspects of such quadratic Lie algebras admitting invertible skewsymmetric derivations which are of relevance for their implications in the Geometry of the associated Lie
groups [1].
Further, when one constructs a new Lie algebra from one of those quadratic and symplectic Lie
algebras by a double extension by the invertible derivation, the solvable Lie algebra obtained has quadratic
dimension equal to 2. We also give some results concerning these solvable quadratic Lie algebras [2].
References
[1] I. Bajo, S. Benayadi, Lie algebras with quadratic dimension equal to 2, J. Pure Appl. Algebra
209, No. 3 (2007), 725–737.
[2] I. Bajo, S. Benayadi, A. Medina, Symplectic structures on quadratic Lie algebras, J. Algebra
316, No. 1 (2007), 174–188.
[3] M. Bordemann, Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math.
Univ. Comenian. LXVI (2) (1997), 151–201.
[4] A. Medina, Ph. Revoy, Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann. Sci. École Norm.
Sup. (4) 18 (1985), 553–561.
Quadratic Lie superalgebras
by
Elisabete Barreiro (Joint work with Helena Albuquerque and Saı̈d Benayadi)
Abstract
By a quadratic Lie superalgebra we mean a Lie superalgebra g carrying a bilinear form B on g such that
B is non-degenerate, supersymmetric, even, and g-invariant. In this case, B is called an invariant scalar
product on g.
S. Benayadi presented an inductively description of quadratic Lie superalgebras with reductive even
part and the action of the even part on the odd part completely reducible, using a particular type of
double extension, namely elementary double extension [4].
We improve the result by dropping the condition of the action completely reducible. In [1], to describe
inductively quadratic Lie superalgebras with even part a reductive Lie algebra, we have to use the concept
of double extension of quadratic Lie superalgebras (introduced in [3]) and the notion of generalized
double extension of quadratic Lie superalgebras given in [2]. Our main result says that a quadratic
Lie superalgebra with a reductive even part is either {0}, basic classical Lie superalgebras and onedimensional Lie algebra, or obtained from a finite number of previous elements by a finite sequence
of double extensions by the one-dimensional Lie algebra, and/or generalized double extensions by the
one-dimensional Lie superalgebra, and/or by orthogonal direct sums.
3
References
[1] H. Albuquerque, E. Barreiro and S. Benayadi, Quadratic Lie superalgebras with reductive even
part, to appear in J. Pure Appl. Algebra.
[2]I. Bajo, S. Benayadi and M. Bordemann, Generalized double extension and descriptions of
quadratic Lie superalgebras, arXiv:math-ph/0712.0228 (2007);
[3] H. Benamor and S. Benayadi, Double extension of quadratic Lie superalgebras , Comm. Algebra,
27, 67–88, 1999;
[4] S. Benayadi, Quadratic Lie superalgebras with the completely reducible action of the even part
on the odd part, J. Algebra, 223, 344–366, 2000.
Les formes modulaires en théorie des nombres
par
Abdelmejid BAYAD
Résumé
Cet exposé est une introduction aux formes modulaires. La théorie des formes modulaires est un
outil puissant de la théorie des nombres. Les formes modulaires représentent des fonctions génératrices
de fonctions arithmétiques. Elles permettent d’aborder des problèmes aussi variés que le comptage des
représentations d’entiers en sommes d’entiers ou le problème des nombres congruents. Le point crucial
de la démonstration de A. Wiles du grand théorème de Fermat est la construction d’une forme modulaire
qui est associée au comptage du nombre de points d’une courbe elliptique sur un corps fini. Nous verrons
quelques exemples de formes modulaires et d’identités arithmétiques non triviales qu’elles permettent
d’obtenir.
Algèbres de Jordan Pseudo-euclidiennes/Pseudo-euclidean Jordan algebras
par/by
Saı̈d Benayadi (Joint work with Amir Baklouti; Arxiv: 0811.3702 (2008))
Résumé
Une algèbre de Jordan Pseudo-euclidienne est une algèbre de Jordan J munie d’une forme bilinéaire
associative symétrique et non dégénérée B. Nous présenterons des résultats sur la strucure de ces algèbres
sur un corps K de caractéristique zéro et nous donnerons des descriptions inductives de ces algèbres en
utilisant la notion de la double extension et la notion de la double extension généralisée.
Abstract
A pseudo-euclidean Jordan algebra is a Jordan algebra J with an associative non-degenerate symmetric
bilinear form B. We study the structure of the pseudo-euclidean Jordan K-algebras (where K is a field of
null characteristic) and we obtain an inductive description of these algebras in terms of double extensions
and generalized double extensions.
4
Sur les algèbres de Lie-Riemann
par
Mohamed Boucetta
Résumé
Une algèbre de Lie-Riemann est une algèbre de Lie de dimension finie (G, [ , ]) munie d’un produit
scalaire
[Au v, w] + [u, Aw v] = 0, ∀u, v, w ∈ G,
(1)
où A : G × G −→ G est la connexion de Levi-Civita infinitésimale définie par la relation
2hAu v, wi = h[u, v], wi + h[w, u], vi + h[w, v], ui.
(2)
Les algèbres de Lie-Riemann sont issues d’une situation géométrique. En effet, un produit scalaire
sur une algèbre de Lie G définit sur G ∗ une metrique riemannienne et la condition (1) est équivalente au
fait que cette métrique riemannienne est compatible avec la structure de Poisson linéaire canonique sur
G ∗ . Le but de cet exposé est de donner une démonstration du théorème suivant:
Théorème 0.1 Soit (G, [ , ], h , i) une algèbre de Lie munie d’un produit scalaire. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes:
1. (G, [ , ], h , i) est une algèbre de Lie-Riemann.
2. La courbure de A est nulle, c’est-à-dire,
R(u, v)w := A[u,v] w − (Au Av w − Av Au w) = 0,
∀u, v, w ∈ G.
(3)
3. S = {u ∈ G, adu + adtu = 0} est une sous-algèbre abélienne, [G, G] est abelien de dimension paire et
S ⊥ = [G, G].
Noter que la condition (3) est équivalente à dire que la métrique riemannienne invariante à gauche associée à h , i sur un groupe de Lie G d’algèbre de Lie G est plate. Nous allons voir que bien que les
équations (1) et (3) sont algèbriques, leur équivalence repose sur des résultats de géométrie riemannienne.
Références
[1] M. Boucetta, Poisson manifolds with compatible pseudo-metric and pseudo-Riemannian Lie
algebras, Differential Geometry and its Applications, Vol. 20, Issue 3 (2004), 279–291
[2] M. Boucetta, On the Riemann-Lie algebras and Riemann-Poisson Lie groups, Journal of Lie
theory, Volume 15, pp. 183-195 (2005).
[3] J. Milnor, Curvature of Left invariant metrics on Lie groups,
21(1976), 293–329.
5
Advances in Mathematics
On absolute valued algebras satisfying (xi , xj , xk ) = 0
by
Ahmed Chandid (Joint work with Abdellatif Rochdi)
Abstract
We review those absolute valued algebras A satisfying (xi , xj , xk ) = 0 for fixed i, j, k ∈ {1, 2}. We
show that existence of either an involution or a left-unit in algebra A carry away finite dimensionality.
Concretely
∗
∗
1. If algebra A is endowed with an involution, then A is flexible and is isomorphic to lR,Cl ,Cl , lH, lH,Ol
∗
or Ol .
2. If A contains a left-unit, then A has degree ≤ 4. Next we give a description for such an algebras in
case
(a) A has dimension ≤ 4, or
(b) A has dimension 8 with (i, j, k) 6= (2, 2, 2).
The degree 4 can happen only when (i, j, k) = (2, 2, 2) and the dimension is 4 or 8. There are examples
of ∞-dimensional pre-Hilbert absolute valued algebras satisfying (x2 , x, x2 ) = (x2 , x2 , x2 ) = 0.
Decomposition of Central-Affine Covariants of Polynomial Differential Systems
by
Dahira Dali (joint work with Sui Sun Cheng)
Abstract
Starting from a minimal system of the ideal of central-affine covariants of a polynomial differential
system, we develop an algorithmic method to reduce the polynomial decomposition of a given centralaffine covariant of this system to a linear decomposition by constructing a matrix whose size depends
on the type of the given covariant. This method avoids the Aronhold symbolic calculation and offers
new means to calculate syzygies and can be used to describe the algebra of the central-affine covariants.
We also give many examples in the case where the system is a planar polynomial quadratic differential
system.
6
Automorphisms des surfaces de Danielewski-Fieseler
par
M’hammed El Kahoui
Résumé
Notons par K[n] l’algèbre des polynomes à n variables à coefficients dans un corps commutatif K
de caractéristique nulle et par AutK (K[n] ) le groupe des K-automorphismes de K[n] . La structure de
AutK (K[2] ) est bien comprise, aussi bien du point de vue abstrait qu’algorithmique. En contraste, la
structure de AutK (K[n] ) reste un grand mystère pour n ≥ 3.
L’étude de ce groupe nous ramème à étudier les automorphismes des variétés algébriqus affines
équipées de fibrations génériques en droites. Nous décrivons dans cet exposé le groupe des K-automorphisms
des surfaces de Danielewski-Fieseler et en particuler les surfaces de l’espace affine A3 définies par une
équation de la forme a(x)z − h(x, y).
From Principal Bundles to Galois Corings
by
José Gómez-Torrecillas
Abstract
Corings and their comodules provide an appropriate formalism to unify notions and results coming from
different algebraic theories. One of the most relevant examples is the generalization of the “Structure
Theorem” for Hopf modules over a comodule algebra over a Hopf algebra to much more general contexts. This theorem can be traced back to a characterization of principal bundles for an algebraic affine
group in terms of induced representations due to Oberst. The aim of this talk is to describe the process
of abstraction that connects, catalyzed by some ideas from Non Commutative Geometry, the principal
bundles to the theory of Galois corings developed in the last years.
La p-somme et la hauteur appliquées à la conjecture de Fermat
par
Mouloud Goubi
Résumé
Parmi les invariants d’un polynôme P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n de degré n dans l’anneau C [z], on
rencontre la hauteur H (P ) et la p-somme Sp (P ), (p ≥ 1) définies de la manière suivante:
H (P ) = max0≤k≤n |ak |
Sp (P ) =
³X
7
|ak |
p
´ p1
La théorie des p- moyennes d’une fonction positive est détaillée dans l’ouvrage [3] de J.H.HARDY.La
p-somme est qu’un cas particulier, elle coincide avec la norme euclidienne pour p = 2. Dans ma thèse de
Magister [1],j’ai démontré que la p-somme de P (z) est une fonction décroissante en p et a pour limite à
l’infini H (P ). En plus pour p ≥ 1 la p-somme est une norme sur l’anneau C [z], la hauteur est liée à la
p-somme par l’inégalité suivante:
1
H (P ) ≤ Sp (P ) ≤ 2 p H (P ) ; ∀p ≥ 1.
Pour p = 2:
µ
Sp (P ) = kP k2 =
1
2π
Z
2π
|P (exp it)|
2
¶ 12
[4] ,
0
qui est donc la norme euclidienne dans l’anneau des polynômes C [z] .
Ces relations entre la hauteur et la p-somme d’un polynôme nous permettent de démontrer la conjecture de Fermat d’une manière simple en utilisant la théorie analytique des nombres.
Références
[1] M. Goubi, Thèse de Magister, Alger (2001);
[2] M. Goubi, Extension de l’équation de Fermat à Zn , Prépblication (USTHB), Alger (2008);
[3] G.H. Hardy, J. F. Littlewood, G. Plya, Inequalities, Cambridge University Press (1952);
[4] W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Macon et Cie, éditeurs, Paris (1975).
On the independence of σ(φ(n)) and φ(σ(n))
by
Mohand-Ouamar Hernane (joint work with Florian Luca)
Abstract
In this paper, we show that the compositions σ ◦ φ and φ ◦ σ are independent in the sense that two
arithmetic functions f (n) and g(n) are independent if for two permutations i1 , . . . , ir and j1 , . . . , jr of
{1, . . . , r}, the inequalities
f (n + i1 )) < f (n + i2 )) < · · · < f (n + ir )),
and
g(n + i1 )) > g(n + i2 )) > · · · > g(n + ir ))
have always infinitely many solutions, namely for every positive integer k and any two permutations
i1 , . . . , ik and j1 , . . . , jk of {1, . . . , k} there exist infinitely many positive integers n such that
σ(φ(n + i1 )) < σ(φ(n + i2 )) < · · · < σ(φ(n + ik )),
(4)
φ(σ(n + j1 )) > φ(σ(n + j2 )) > · · · > φ(σ(n + jk )).
(5)
while
Here, φ and σ are the Euler function and sum of divisors function, respectively.
8
Anneaux et modules endoimages ou endonoyaux finis
par
El Amin Kaidi
Résumé
Pour un anneau R on dit qu’un R-modules M est Endo-Im, (resp. endo-Ker), fini, s’il verifie la CCD,
(resp. la CCA), pour les sous- modules de la forme Imf ,(resp. Kerf ),où f est un endomorphisme arbitraire de M (i.e. toute chaı̂ne de la forme: Kerf1 ⊆ Kerf2 ⊆ ......, (resp. Imf1 ⊇ Imf2 ⊇ ...), avec
fi ∈ End(M ), est stationnaire. Dans ce travail on montre que la classe de R- modules endo-Im, (resp.
endo-Ker), finis est strictement comprise entre la classe des modules fortement co-hopfiens (resp. fortement hopfiens) et la clsse des modules artiniens (resp. noetheriens).On établit de théorèmes de structures
pour plusieurs types de modules. En particularisant les notions antérieures au cas de R consideré comme
R-module à gauche on obtient de classes intéressantes d’anneaux, quelques unes bien connues et très
étudiées, comme la classe des anneaux parfaits.
Hom-Algebras and Hom-Coalgebras: Structures, Deformations and Generalizations
by
Abdenacer Makhlouf
Abstract
A Hom-algebra structure is a vector space with a multiplication twisted by a homomorphism. The
structure of Hom-Lie algebra was studied by Hartwig, Larson and Silvestrov and extended by Larsson and
Silvestrov to quasi-Hom-Lie and quasi-Lie algebras. These structures arise naturally in discretizations
and deformations of vector fields and differential calculus.
In joint works with S. Silvestrov we extended to Hom framework the classical algebraic structures.
In my talk I will summarize and discuss Hom-associative, Hom-Leibniz, Hom-Lie, Hom-Poisson and
Hom-Hopf algebraic structures. We characterized and classifed Hom-Lie admissible algebras, provided
a formal deformation theory for Hom-Lie and Hom-associative algebras with the underlying elements of
cohomology theories and introduced together with Ataguema a generalization to n-ary algebra structures
with a procedure of constructions.
References
[1] A. Makhlouf, S. D. Silvestrov, Hom-algebra structures, J. Gen. Lie Theory. Appl. 2, 2,
(2008), 51–64.
[2] A. Makhlouf, S. D. Silvestrov, Notes on Formal Deformations of Hom-associative and
Hom-Lie Algebras, To appear Forum Mathematicum 2009.
[3] A. Makhlouf, S. Silvestrov, Hom-Lie Admissible Hom-Coalgebras and Hom-Hopf Algebras,
189-206, Chapter 17, in S. Silvestrov, E. Paal, V. Abramov, A. Stolin (Eds.), Generalized Lie theory
in Mathematics, Physics and Beyond, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.
9
[4] A. Makhlouf, S. Silvestrov, HomAlgebras and Hom-Colgebras, Preprints in Mathematical
Sciences, Lund University, Centre for Mathematical Sciences, Centrum Scientiarum Mathematicarum, (2008) ; arXiv:0811.0400 [math.RA] (2008).
[5] H. Ataguema, A. Makhlouf, S. Silvestrov, Generalization of n-ary Nambu algebras and
beyond, 2008, arXiv:0812.4058v1 [math.RA] (2008).
Quelques résultats de la théorie probabiliste des groupes
par
Abdelaziz Raouj
Résumé
L’objectif de cet exposé est de présenter des résultats et des méthodes arithmétiques de la théorie
probabiliste des groupe. Dans les années soixante du siècle dernier Erdös et Rényi se sont intéressés à
la question suivante: étant donné un groupe fini (G, +), quelle condition doit vérifier un entier k donné
pour avoir l’affirmation : pour presque tout k−uplet (g1 , . . . , gk ) d’éléments de de G, tout élément g de
Pk
G peut s’écrire sous la forme: g = i=1 εi gi avec les εi = 0 ou 1.
On verra que cet énoncé et les idées derrières ainsi que d’autres travaux ultérieures peuvent constituer
une source de motivation à explorer On abordera dans ce contexte d’autres questions sous-jacentes par
des approches analytiques.
Quasi-Lie algebras
by
Sergei Silvestrov
Abstract
In this talk I will give introduction and overview to the subject of Quasi-Lie algebras.
Quasi Lie algebras encompass in a natural way the Lie algebras, Lie superalgebras, color Lie algebras,
various algebras of discrete and twisted vector fields arising for example in connection to q-deformed
vertex operators structures and q-deferential calculus, various classes of multiparameter deformations
of associative and non-associative algebras and arise in many other contexts. Among examples arising
within quasi-Lie algebras framework are known and new one-parameter and multi-parameter deformations of infinite-dimensional Lie algebras of Witt and Virasoro type some of which appear in the context of
conformal field theory, string theory and deformed vertex models, multi-parameter families of quadratic
and almost quadratic algebras that include for special natural choices of parameters algebras appearing
in non-commutative algebraic geometry, as well as universal enveloping algebras of Lie algebras, Lie superalgebras and color Lie algebras and their deformations. Common uniting feature for all these algebras
is appearance of twisted generalizations of Jacoby identities providing new structures of interest for investigation from the side of associative algebras, the non-associative algebras, twisted generalizations of
Hopf algebras, the non-commutative differential calculi beyond usual differential calculus and generalized
quasi-Lie algebra central extensions.
Part of this talk is based on recent joint results with Abdenacer Makhlouf. Also I will describe n-ary
Hom-algebra generalizations of Nambu algebras and Hom-associative and Hom-Lie algebras from our
recent joint work with Abdenacer Makhlouf and Hammimi Ataguema.
10
Selected References
[1] D. Larsson, S. Silvestrov, Quasi-Lie algebras, in Noncommutative Geometry and Representation
Theory in Mathematical Physics, Eds Jurgen Fuchs, et al. AMS, Contemporary Mathematics, Vol.
391, 2005, 7 pp .
[2] J. Hartwig, D. Larsson, S. Silvestrov, Deformations of Lie algebras using sigma-derivations, J.
Algebra 295 (2006), no. 2, 314361.
[3] D. Larsson, S. Silvestrov, Quasi-hom-Lie Algebras, Central Extensions and 2-cocycle-like Identities, J. Algebra 288 (2005), no. 2, 321344.
[4] D. Larsson, S. Silvestrov, Quasi-deformations of sl(2,K) using twisted derivations, Communications in Algebra, 35, 2007, 4303-4318.
[5] A. Makhlouf, S. D. Silvestrov, Notes on Formal Deformations of Hom-associative and HomLie Algebras, o appear in Forum Mathematicum Preprints in Mathematical Sciences 2007:31,
LUTFMA-5095-2007, Centre for Mathematical Sciences, Lund Institute of Technology, Lund University, (2007), 16 pp.
[6] A. Makhlouf, S. D. Silvestrov, Hom-algebra structures, J. Gen. Lie Theory. Appl. 2, 2, (2008),
51–64. (arxiv.org/math/0609501v3)
[7] A. Makhlouf, S. Silvestrov, Hom-Lie Admissible Hom-Coalgebras and Hom-Hopf Algebras, 189206, Chapter 17, in S. Silvestrov, E. Paal, V. Abramov, A. Stolin, (Eds.), Generalized Lie theory
in Mathematics, Physics and Beyond, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008.
[8][8] H. Ataguema, A. Makhlouf, S. Silvestrov, Generalization of n-ary Nambu algebras and beyond,
2008, arXiv:0812.4058v1 [math.RA]
Codes correcteurs d’erreurs et Protocoles stganographiques
par
EL Mamoun Souidi
Résumé
Comme application des codes correcteurs d erreurs, on montre certaines relations entre ceux-ci et des algorithmes steganographiques. En utilisant ces relations, on donne une mthode pour construire de “bons”
protocoles et dduire certaines de leurs proprits a partir de celles des codes qui sont bien connues.
(1)
Construction des quatres extensions
cubiques cycliques non ramifiées de k3 /k avec
√
k = Q( m4 + 2m3 − 5m2 − 6m − 23)
par
Mohamed Talbi (travail en commun avec Abdelmalek Azizi)
Résumé
11
Soient m un entier naturel et dm = m4 + 2m3 − 5m2 − 6m − 23. On suppose que dm est √
un entier
positif sans facteur carée, et que m ≡ 1 mod 7, alors le 3−rang du groupe de classes de Q( dm ) est
supérieur ou égal à 2 si et seulement s’il existe (u, w) ∈ Z2 vérifiant :
1. P (X) = X 3 − dm wX − d2m u est irréductible sur Q,
2. 4w3 − 27dm u2 est un carrée,
3. gcd(3, w) = gcd(u, w) = 1,
¡ ¢
4. (7|u et w7 = 1) ou (7|w et u ≡ ±4 mod 7) ou (7 - uw et P (X) 6≡ (X − a)3 mod 7), où a est un
entier relatif.
Si de plus le 3−groupe de classes de k est de type (3, 3), alors les quatre extensions cubiques cycliques
non ramifiées intermidaires de k (1) /k, à savoir
K1 = splQ (X 3 − 3pm X − qm ).
K2 = splQ (X 3 − 3wX − a) où a2 = 4w3 − 27dm u2 .
mu
K3 = splQ (X 3 − 3wpm X − aqm −27d
).
2
aq 2 −27ad −54q ud
m
m
m
K4 = splQ (X 3 − 3wp2m X − m
).
4
Ces résultats sont illustrés par des exemples numériques.
Capitulation des 2-classes d’idéaux de certains corps biquadratiques
par
Mohammed TAOUS (travail en commun avec Abdelmalek Azizi)
Résumé
√
√
(2)
Soient d est un entier naturel sans facteurs carrés et i = −1. Soient k = Q( d, i), k1 le 2-corps
(2)
(2)
(2)
de classes de Hilbert de k, k2 le 2-corps de classes de Hilbert de k1 et G = Gal(k2 /k) le groupe de
(2)
Galois de k2 /k. Supposons que la 2-partie, Ck,2 , du groupe de classes de k est de type (2, 4); alors
(2)
k1 contient six extensions Ki,j /k, i = 1, 2, 3 et j = 2, 4. On s’intéresse au problème de capitulation des
2-classes de k dans Ki,j et à déterminer la structure de G pour certains formes de d.
Abstract
√
√
(2)
Let d be a square-free positive integer and i = −1. Let k = Q( d, i), k1 be the Hilbert 2-class
(2)
(2)
(2)
(2)
field of k, k2 be the Hilbert 2-class field of k1 and G = Gal(k2 /k) be the Galois group of k2 /k.
(2)
Suppose that the 2-part, Ck,2 , of the class group of k is of type (2, 4); then k1 contains six extensions
Ki,j /k, i = 1, 2, 3 and j = 2, 4. Our goal is to study the problem of the capitulation of 2-ideal classes of
Ki,j and to determine the structure of G for certain forms of d.
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Capitulation dans certaines extensions non ramifiées de corps quartiques cycliques
par
Mohammed Talbi (travail en commun avec Abdelmalek Azizi)
Résumé
q
Soient K = k(
√
√
−pε l) avec k = Q( l) où l un nombre premier tels que l = 2 ou l ≡ 5 mod 8, ε
(1)
l’unité fondamentale de k, p un nombre premier tels que p ≡ 1 mod 4 et ( pl )4 = −1, K2
(2)
K2
(1)
K2
(2)
Gal(K2 /K)
le 2-corps de
classes de Hilbert de K,
le 2-corps de classes de Hilbert de
et G =
le groupe de
(2)
(1)
Galois de K2 /K. Comme C2,K , le 2-groupe de classes de K, est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z, alors K2 /K
contient trois extensions Fi /K (i = 1, 2, 3) et la tour des 2-corps de classes de Hilbert de K s’arrête en
(1)
(2)
K2 ou en K2 . Dans ce travail, on s’intéresse au problème de capitulation des classes de C2,K dans Fi
(i = 1, 2, 3) et à déterminer la structure de G.
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