Amortisseur de lacet

Chapitre 9 – Partie III
9.14
L'amortisseur de lacet – Théorie
[A]
δ rP
+
+
u
[B R+]
+
x&
∫
x
-
δ rF
[K]
•
•
•
Ajouter un vecteur d’état de retour négatif par une matrice de gain K.
On utilise la déflexion de la gouverne de direction pour l’amortissement de lacet par la
commande manuelle de la gouverne de direction ou par la jonction de sommation dans le
système de commande.
Information de commande vers la gouverne de direction vient de l’entrée donnée par le
pilote ou par le retour de vecteur d’état.
Explication des éléments suivants dans le schéma – bloc
{x} - Vecteur d’état, (n x 1)
[A] - Matrice de l’avion non – augmentée, (n x n)
{BR} - Vecteur de commande de la gouverne de direction, (n x 1)
[K] - Vecteur de retour, (1 x n)
δrp - Entrée de commande de pilote pour la commande de la gouverne de direction
δrF - Entrée de commande de retour (feedback – f) pour la commande de la gouverne de
direction
La matrice de retour consiste dans l’entrée de la vitesse de lacet Kr. On sait que x = [ β p φ r]T.
D’où
[K] = [0 0
1
0 Kr]
Les entrées de la gouverne de direction vont altérer l’équation d’état comme suite :
{x&} = [ A]{x} + [ BR ](δ rP − δ rF )
(1)
où la déflexion de la gouverne de direction due à un retour de l’amortisseur de lacet est :
δrF = - [K]{x}
(2)
On combine le terme de retour de la gouverne de direction représenté par l’éq. (2) dans l’équation
d’état (1) et on obtient la matrice de l’avion augmentée :
{x&} = [ A − BR K ]{x} + [ BR ]δ rP
(3)
où la matrice augmentée devient maintenant Aaug = [A – BR K].
9.15
Exemple 11 – Calcul de gain Kr pour augmenter l’amortissement ζ
Trouver le retour de gain Kr correspondant à la vitesse de lacet r dans la matrice de gain K pour
augmenter l'amortissement de mode de roulis hollandais DR à ζ = 0.30 pour le DC-8, mêmes
paramètres que ceux de l'exemple 6.
Solution : Itérations effectuées pour trouver Kr
Programme en Matlab
A=[-0.0869,0,0.0390,-1;-4.424,-1.184,0,0.335;0,1,0,0;2.148,-0.021,0,-0.228];
BR=[0.0223;0.547;0;-1.169];
%%%%%%%%%%%%%%
Kr = -0.580; K = [ 0 0 0 Kr]; AUG = A - BR * K;
% Verifier l'amortissement = 0.30
[Wn, Z] = damp(AAUG);
[Wn, Z] = eig(AAUG);
% Lorsque l’altitude Z est calculée -> Les fréquences et les amortissements sont aussi calculés.
damp(Z)
Dans le but de trouver le gain K, ensuite plusieurs itérations ont été effectuées, et on obtient :
Résultats obtenus en Matlab
Les Fréquences (rad/s) sont :
1.4821 (mode de DR) ; 1.2502 (mode de roulis R) et 0.0370 (mode de spirale S).
Les amortissements sont :
0.3 (mode de DR) ; 1 (mode de roulis R) et 1 (mode de spirale S).
2
9.16 L’utilisation d'un filtre washout (haute bande) dans un amortisseur de lacet - Théorie
Les entrées données par le pilote apparaissent dans des marges de fréquences plus basses que la
fréquence de mode de roulis hollandais DR. L'amortisseur de lacet va fournir un retour de la
vitesse r dépendant de la gouverne de direction ( sans considérer la fréquence ).
La commande de la part du pilote à la gouverne de direction ou une vitesse de virage pendant un
virage stationnaire est la commande pour supprimer la vitesse de lacet de l'avion. Un approche
pour utiliser une seule surface de commande pour plusieurs buts (augmentation de la stabilité et
de la commande) est l'inclusion d'un filtre approprié dans le circuit de retour.
Dans le cas d'un amortisseur de lacet, l'influence d'un vecteur de retour d'état est enlevée aux
fréquences plus basses en introduisant une filtre washout (bande haute) dans le circuit de retour.
Le filtre washout (bande haute) ressemble à un filtre bande basse au dénominateur - mais le
numérateur contient un terme en s -> va décroître le gain en bas de la fréquence de coin. La
fonction de transfert est ensuite définie comme suite :
G (s)=
s
1 + Ts
(4)
La réponse en fréquence est définie comme suite :
G( jω ) =
ω
jω
=
1 + jωT 1 + (ωT )
[
2
]
12
e
φ +π
j(
2)
(5)
φ = tan (-ωT).
-1
où
Le terme s dans le numérateur cause la différence + π/2 dans l'angle de phase par rapport à un
filtre bande basse. On peut montrer 2 diagrammes blocs pour illustrer le principe du filtre à bande
haute (washout) vu par 2 points de vue différents (Figure a – domaine de Laplace et Figure b –
domaine de temps) :
U(s) +
-
1
T
Y(s)
1
s
Figure a – Représentation du filtre washout dans le domaine de Laplace
3
u(t)
u - x5
+
-
x5
1
T
∫
y(t)
x&5
Figure b – Représentation du filtre washout dans le domaine de temps
On va démontrer que les deux représentations (Figures a et b) sont équivalentes du point de vue
physique (représentations du filtre a haute bande).
Figure a donne
( On va utiliser les notations classiques dans la commande G = 1/T et H = 1/s ) ->
1
Y (s)
G
s
=
= T
=
1
U (s) 1 + GH
1 + Ts
1+
Ts
(6)
d’où
Y (s) =
s
U ( s ) = G ( s )U ( s )
1 + Ts
(7)
L’équation (7) peut s’écrire comme suite :
Y(s) + Ts Y(s) = s U(s)
(8)
On va appliquer la transformée inverse de Laplace à l’équation (8), on va diviser par T et on va
obtenir :
y& +
1
1
y = u&
T
T
4
(9)
Figure b donne :
y = x&5 = −
1
1
x5 + u
T
T
(10)
La méthode d'utilisation d'un filtre washout (à bande haute) dans le circuit de retour d'un
amortisseur de lacet (représenté sous la forme d'espace d'état) est montrée dans la Figure c. On
établit :
δrF = y
u = [K]{x}
et
(11)
On remplace l’expression de u donnée par l’équation (11) dans l’équation (10) et on obtient :
y = x&5 = −
Figure c donne la 1
ière
1
1
x5 + [ K ]{x}
T
T
(12)
équation d’espace d’état :
{x&} = [ A]{x} + [ BR ] (δ rP − δ rF )
(13)
On va remplacer δ = y (voir les éqs. 11) , où y est obtenu par l’éq. (12) et sera remplacé dans
l’éq. (13), donc on va obtenir :
rF
{x&} = [A − (1 T )B K ]{x}+ (1 T ){B }x5 + {B }δ
R
R
R
rF
(14)
et en combinant les équations (12) et (14) on va obtenir :
 x&   A − (1 T ) BR K
=
1T K
 x&5  
x&aug = 
(
)
T ) BR   x   BR 
 +
 δ = Aaug xaug + Baug uaug
− (1 T )   x5   0  rP
(1
5
(15)
[A]
[A]{x}
δrP
δrP -δrF
+
-
+
{
[BR]
x&
+
∫
{x}
δrF = y
1/T
u-x5
+
-
u
u
[K]
x5
x& 5
∫
Figure c
9.17
Illustration du filtre washout (à haute bande) dans l’amortisseur de lacet
Exemple 12 – Influence d’un filtre à haute bande sur l’amortissement d’un
amortisseur de lacet
Ajouter un filtre washout au circuit de retour pour l'amortisseur de lacet pour l'avion DC-8 et
trouver le changement dans l'amortissement de roulis hollandais DR du à sa présence.
1) Sélectionner la fréquence de coin de filtre washout (haute bande) à 0.33 de la fréquence
naturelle de mode de roulis hollandais DR.
ωc = (0.33)(1.482 s-1) = 0.489 rad/s -> (1/T)
2) Le gain de retour pour l'amortisseur de lacet était Kr = -0.580 s pour obtenir l'amortissement
de mode de roulis hollandais DR ζ = 0.30.
3) L'effet de filtre washout sur l'amortissement modal
6
->
Programme en Matlab
% Retour de l'amortisseur de lacet
K = [0,0,0,-0.580];
% Fréquence de coin de filtre washout
t1= 0.489;
% Matrice augmentée AW0
%AW0 = [A-(t1)*BR*K, (t1)*BR, (t1)*K’, -(t1)];
damp(AW0);
% On obtient le rapport d'amortissement de mode DR
0.1793
% Résultats
% Fréquence de mode DR
1.438
% Racine de mode de roulis R
-1.250
% Racine de mode de spirale S
-0.003
% Racine due au filtre washout -> x5
-0.549
9.18
Exemple 13 – Calculs liés à l’amortisseur de lacet
Considérer l'avion A-4D dans un vol uniforme, pour M = 0.6 et H = 15000 pi.
a)
b)
c)
Designer un amortisseur de lacet en utilisant le retour de la vitesse de lacet pour la
gouverne de direction pour augmenter l'amortissement modal de roulis hollandais
DR -> ζ = 0.30.
Modifier l'amortisseur de lacet en incluant un filtre washout dans la boucle de retour pour
améliorer le comportement aux basses fréquences tout en gardant le niveau de
l'amortissement modal ζ = 0.30.
Comparer l'amélioration dans la fonction de transfert Grδr(jω) sur le diagramme de Bode
due à la présence de l'amortisseur de lacet.
Solution
a)
La théorie de l'amortisseur de lacet est dérivée à partir des Sections 9.14 et 9.15.
Condition 3 de vol ->
Pour le vecteur d’état
β 
 p
x= 
φ 
 
r
7
alors les matrices [A] et [B] :
−1
0
0 . 0507
 − 0 . 2281

0
0 . 872
 − 34 . 90 − 1 . 516

[A ]=  0
1
0
0

 18 . 73
0 . 038
0
− 0 . 565

•

 0 . 0396



 9 . 918
 [B ]= 
0



 − 8 . 383



Calcul de la fréquence et de l’amortissement (damp(eig(A))) ou damp(a)
Eigenvalue
Damping
Freq. (rad/s)
-3.84e-001 + 4.32e+000i
-3.84e-001 - 4.32e+000i
-1.53e+000
-5.94e-003
8.85e-002
8.85e-002
1.00e+000
1.00e+000
4.34e+000
4.34e+000
1.53e+000
5.94e-003
•







->
->
->
->
DR
DR
Roulis
Spirale
Calculer la matrice augmentée pour l’amortissement désiré ζ = 0.3
Pour trouver la vraie valeur de Kr, on aura besoin d’effectuer plusieurs itérations. On suppose
qu’on a trouvé cette valeur Kr = -0.2201.
Kr = -0.2201
K = [0,0,0,Kr]
AAUG = A – B*K
•
Calculer l'amortissement ζ et la fréquence ωn pour la matrice augmentée AAUG ->
damp(AAUG)
Eigenvalue
Damping
Freq. (rad/s)
-4.82e-002
-1.30e+000 + 4.15e+000i
-1.30e+000 - 4.15e+000i
-1.50e+000
1.00e+000
3.00e-001
3.00e-001
1.00e+000
4.82e-002
4.35e+000
4.35e+000
1.50e+000
On a obtenu l'amortissement ζ désiré = 0.3.
8
b)
Fréquence de coin (corner frequency) pour le filtre washout (1/T) = (1/3) ωn)DR
->
(1/T) = (1/3) ωn)DR = (1/3)(4.35 s-1) = 1.45 s-1
->
T = 0.69 s est la constante de temps pour le filtre
La matrice augmentée AW0 =[a-(1/T)*b*K, (1/T)*b;(1/T)*k,-(1/T)];
Calcul de la fréquence et de l’amortissement pour AW0 :
damp(AW0)
Eigenvalue
Damping
Freq. (rad/s)
-5.70e-003
-1.49e+000+3.48e+000i
-1.49e+000-3.48e+000i
-1.72e+000+2.77e-001i
-1.72e+000-2.77e-001i
1.00e+000
3.94e-001
3.94e-001
9.87e-001
9.87e-001
5.70e-003
3.79e+000
3.79e+000
1.75e+000
1.75e+000
•
Changement de l’amortissement de filtre washout ->
% Choisir Kr
Kr = -0.1563;
K = [0,0,0,Kr];
AW0 =[a-(1/T)*b*K, (1/T)*b;(1/T)*k,-(1/T)];
damp(AW0)
Eigenvalue
1.09e-002
-1.13e+000 + 3.66e+000i
-1.13e+000 - 3.66e+000i
-1.71e+000 + 2.59e-001i
-1.71e+000 - 2.59e-001i
Damping Freq. (rad/s)
-1.00e+000 1.09e-002
2.94e-001
3.83e+000
2.94e-001
3.83e+000
9.89e-001
1.73e+000
9.89e-001
1.73e+000
9
ζ = 0.3 -> 0.394
c) Diagrammes de Bode – Matlab
% Diagramme Bode
w=logspace(-2,2,200);
c=[0,0,0,1];
d=0;
sys1=ss(a,b,c,d);
sys2=ss(AAUG,b,c,d);
[mag1,phase1,w]=bode(sys1);
[mag2,phase2,w]=bode(sys2);
% AW0 est matrice 5 x 5
CW0 = [c,0];
BW0 = [b;0];
sys3=ss(AW0,BW0,CW0,d);
[mag3,phase3,w]=bode(sys3);
bode(sys1,sys2,sys3,w)
db1=20.*log10(mag1);
db2=20.*log10(mag2);
db3=20.*log10(mag3);
% Gain de l'avion
% Gain de l'avion + amortisseur de lacet
% Gain de l'avion + filtre washout
10
En bleu -> L’avion initial (matrice a)
En rouge -> L’avion avec un amortisseur de lacet (matrice AAUG)
En vert -> L’avion avec un amortisseur de lacet et filtre washout (matrice AW0)
On peut voir la diminution de l’amplitude suite à l’introduction de l’amortisseur de lacet et de
filtre à haute bande.
11
9.19
Exemple 14
Appliquer une entrée de la part de la gouverne de direction δr de 10 à l’approximation modale
(3 x 3) pour le DC-8 en configuration de vol de croisière. Trouver l’angle de roulis en régime
stationnaire φstat.
Solution
DC-8 en vol de croisière -> Condition 3 de vol. L’approximation DR ->
x& = Ax + Bu
(16)
où
L
 p

= − p

 0


 p
x =  β& 
 
 β 
A
− Lr
N N
La sortie y = p
r
1
Lβ
−0.335 −4.424
N
−0.228 − 2.148
  −1 .184
 
− β  =  0.021
 
0   0

 
1
0






B
L
N
 δr  0.547

 

−
δr
1
.
169




=
=

 

0   0 


 

->
 p
y = Cx + D = [1 0 0]  β&  + 0 = p
 
 β 
d’où
C=[1
y = p et u = δr ->
0
D=0
et
0]
(17)
Calculer Gpδr = Num(s)/Den(s) avec la commande en Matlab
donc Gpδr = [Num, Den] = ss2tf(a,b,c,d,1) pour
l'entrée 1
:
u = δr
D'où on obtient ( A, B, C, D -> ss2tf -> ) :
2
G pδ r ( s ) = Num ( s ) = 3 0.5470 s −2 0.2639 s − 3.9569 = p ( s )
Den ( s ) s + 1.4120 s + 2.4250 s + 2.6361 δ r ( s )
p = φ&
->
Transformation de Laplace
12
=
y
u
p(s) = s φ(s)
(18)
->
Gφδ r ( s ) =
y
φ (s)
p(s) / s 1
=
=
= G pδ r ( s )
δ r (s)
u δ r(s)
s
(19)
Rappel (L’impulsion unitaire Dirac pour l’entrée δr)
Fε(t) =
1/ε
0
pour 0 <= t <= ε
pour t > ε
Fε(t)
1/ε
t
ε
•
L'entrée δr sous forme d’impulsion unitaire est f(t) = (1.0) δ(t)
car F(s) = 1 (Aire du rectangle= 1).
Le théorème final des transformées de Laplace
lim F (t ) = lim sf ( s ) d’où lim φ (t ) = lim sφ ( s ) = lim sGφδ (s )F (s )
t
→∞
s
→0
t
→∞
s
→0
s
→0
r
(20)
lim sGφδr(s)F(s) = lim s(1/s)(-3.9569/2.6361)(1) = -1.501 deg
s->0
s->0
9.20
Problème 15
Considérer une déflexion de 5 deg pour l'aileron appliquée comme pulsation (pulse) pendant
2 sec pour le DC-8 dans un vol de croisière. Utiliser l'approximation modale (3 x 3) pour
supprimer l'influence de mode de spirale, et estimer l'angle de roulis en régime stationnaire φstat.
Solution
La matrice B est celle correspondante à δa :
13
L
B N
 δa   2.120
 


=− δa =−0.065
 


0   0 

 


La sortie y = p
->
 p
y = Cx + D = [1 0 0]  β&  + 0 = p
 
 β 
d’où
•
C=[1
0
Calculer Gpδa = Num(s)/Den(s) avec la commande en Matlab
[Num, Den] = ss2tf(a,b,c,d,1)
D'où on obtient :
G pδ a ( s ) =
p(t) = dφ / dt ->
:
pour l'entrée 1
2.120 s 2 + 0.5051 s + 4.8413
Num (s)
p(s)
= 3
=
2
Den (s) s +1.4120 s + 2.4250 s + 2.6361 δ a (s)
p(s) = s φ(s)
G φδ a ( s ) =
•
D=0
et
0]
->
φ (s ) = p (s ) = 1 G pδa (s )
δ a (s) sδ a (s) s
Rappel (Impulsion) pour δa
1
0
F(t)
a+ε
a
14
t
:
u = δa
D'où
f( s) =
On applique cette éq. pour a = 0 et ε = 2
e − as ( 1− e − εs )
s
f(t) = (5 deg)[1(t) – 1(t-2)] ->
->
F(s) = (5 deg)(1/s)(1-e-2s) = (5 deg)(1/s)[(2s) – (2s)2/2! …]
Le théorème final des transformées de Laplace
lim F (t ) = lim sf ( s ) d’où pour notre cas :
t
→∞
s
→0
lim φ (t ) = lim sφ ( s ) = lim sGφδ a (s )F (s ) = lim s(1/s)(4.8413/2.6361)(5deg) (1/s) (2s)= 18.370
t
→∞
s
→0
s
→0
s
→0
9.21
Problème 16
Confirmer que les coefficients de l'équation de polynôme caractéristique correspondant à
l'approximation latérale - directionnelle est la suivante :
λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0
où
a2 = -(Lp + Nr),
a1 = LpNr – LrNp + Nβ
et
a0 = LβNp - LpNβ
On sait que la matrice A pour le mouvement latéral – directionnel d'un avion est donnée par :
 Lp −Lr Lβ

A=−N p Nr −Nβ

 0 1 0







d'où :
λ −Lp
λI − A = N
p
Lr
− Lβ
λ−Nr Nβ
−1
0
15
λ
=0
ième
On va effectuer les calculs avec la 3
λ − Lp − Lβ
λI − A =
Np
Nβ
λ − Lp
+λ
ligne du déterminant A :
Lr
N p λ −Nr
=λ3 −λ2(Lp + N r )+ λ(Lp N r − Lr N p + N β ) +(Lβ N p − Lp N β )
a2, a1 et a0 ont les expressions demandées.
16