Raisonnement par récurrence

Introduction
Terminale S2
Raisonnement par récurrence
Activité 1 : Une histoire de raisonnement
Lire le texte ci-dessous . Qu’en pensez vous ?
Le physicien est persuadé, dit le mathématicien, que 60 est divisible par tous les nombres. Il remarque
que 60 est divisible par 1,2,3,4, 5 et 6. Il vérifie quelques autres nombres, par exemple 10, 15, 20 et 30, pris,
comme il dit, au hasard. Comme 60 est divisible par eux aussi, il estime que les données expérimentales sont
suffisantes.
Mais vois l’ingénieur, répond le physicien. Il soupçonne que tous les nombres impairs plus grands que
1 sont premiers. En tous cas, 3, 5 et 7 sont incontestablement premiers. Vient ensuite 9, cas regrettable, 9
n’est apparemment pas un nombre premier. Mais 11 et 13 le sont. Revenons à 9, dit-il. J’en conclus que 9
doit être une erreur d’expérience.
Mais, dit l’ingénieur, regardez le médecin. Il permet à un urémique sans espoir de manger du pot-au-feu,
et le malade guérit. Le médecin écrit un ouvrage scientifique affirmant que le pot-au-feu guérit l’urémie.
Puis il donne du pot-au-feu à un autre urémique, et le malade meurt. Alors le médecin corrige ses épreuves :
”Le pot-au-feu est salutaire dans 50% des cas”.
Oh ! le mathématicien, dit le médecin. A la question ”Comment attraper un lion dans le désert ?” il
répond : ”Que signifie attraper un lion ? Celà veut dire se séparer du lion par une grille. Il suffit donc de se
mettre derrière la grille et le lion se trouve, par définition, attrapé. !
I. Kourguine, Des Mathématiques partout..., Editions Mir, Moscou 1972.
Activité 2
On considère la suite (Un ) définie par :
U0 = 5 √
Un+1 = 2 + Un
1. Calculer U1 . Donner des valeurs approchées de U2
2. Vérifier que U1 > 2
U2 > 2
U3 > 2
U3
U4
et U5
U4 > 2
3. Vérifier que U2013 > 2 .
Quel problème rencontre-t-on ?
4. On suppose qu’un mathématicien consciencieux et plutôt courageux a réussi à démontrer que U2013 > 2
Démontrer alors que U2014 > 2 puis que U2015 > 2
Activité 3 : Le coloriage
Une carte plane (représentée par un rectangle, avec uniquement des droites qui délimitent les parcelles)
a été dessinée ci-dessous :
Hervé Gurgey
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22 octobre 2013
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Terminale S2
1. Colorier cette carte en utilisant deux couleurs différentes de telle façon que deux pays voisins (ayant
donc une frontière commune le long d’un segment) soient de deux couleurs différentes.
2. Le coloriage que tu as obtenu est-il unique , ou bien en existe un autre (ou d’autres), étant entendu
qu’on garde les deux couleurs choisies ?
3. Le résultat de la question 1 est-il exceptionnel, ou peut-on colorier avec deux couleurs n’importe quel
type de carte construite de cette façon ?
Hervé Gurgey
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22 octobre 2013