69. Sur la mesure de Haar

69.
Sur la mesure de Haar
ComptesRendusdel'Academiedes SciencesdeParis211, 759-762 (1940)
1. Soit G un groupe localement compact C). TOlltes les demonstrations
connues de l'existence d'une mesure inpariante par les translations a gauche
font appel a l'axiome du choix : choix denombrable si Pon fait sur G des
hypotheses convenables de denombrabilite (Haar), choix 'general sans
cee hypotheses [Banach, A. Weil (2)]. L'unicite de la mesure (a un
facteur constant pres) est demontree ensuite. On peut lever ce paradoxe
et prouper existence et unicite sans l'axiome du choix. Elles decoulent
d'une proposition qui n'est pas nouvelle, mais que nous demontrerons
sans faire appel a l'existence d'une mesure invariante; la voici :
THEoREME
n'APPRoXIMATION.
Soit IE e CS), E un nombre
0, et V unvoisinage de ['unite (dans G) tel que
>
entraine
If(x)
-f(y)
I;;e.
>
Soient gEe, teUe que g = 0 en dehors de V. Alors, pour tout
z, on
peut trouper des Si E G en nombre fini, et des constantes Ci> 0, de
maniere que ['on ait, pour tout x E G,
II..
(I)
2. Rappelons d'abord quelques resultats connus (2). Soit 5' la famille
0 soit relativement
des fonctions bornees et ~ 0, telles que l'ensemble
compact, et qu'il existe Y) 0 et un ensemble Olivert sur lequel on a I"?: Y).
Si IE $ et ifl E $, on designe par (I: rp) la horne inferieure (non nulle)
I
f>
>
(1) Pour la terminologie, voir N. BOURBAKI, Elements de Mathbnatique,
Topologie generale, chap. I (Actualites scientifiques, fasc. 858, 1940.).
livre III,
(2) Voir A. WElL, L'integration dans les grouped topologiques (Actualites scient.,
fasc. 869, 1940.). Nous renvoyons, paul' III bibliographie, a cet auvrage dant nOllS
adoptans les notatians et dont DallS nous sommes inspire paul' les demonstrations.
e) e designera la famiIle des fanctians definies sur G, eontinues et ~ a, non identiquement nulles, et telles que l'ensemble
a soit relativement campact.
f>
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SEANCE
DU 30 DECEMBRE
761
1940.
des c> 0 tels qu'il existe des SiE G et des Ci> 0 (~
Ci= c) satisfaisant
it
pour toutxEG.
j(x)~~ci'P(silX)
On a I/(g:/)
~ (I: rp)/(g: rp)~ (/:g).
Prenons une fois pour toutes une 10 E C?,et posons
Iep
(j) = (j:
'P
)/(jo:
[1/UO :f) ~
'P)
Jep
(j) ~(j:fo)J.
Pour chaque qJ E 5, 1-r/l) est. une fonction de lEe,
invariante a gauche
[si l'on posels(x) = l(r1x), on a Iep(/s) Iep(/)], homogene [Iep(c/) = clqJ(/)
pour c constant> 0], croissante et convexe
.
=
De plus
Etant donnees des Ii E C? en nombre jini; et des quantites
0, il existe un voisinage U de l'unite tel que l'on ait
LEMME. -
et A
>
pour toute qJ E 31u (4), et queUes que sOlent les constantes Ai~ A.
3. Demonstration du theoreme d'approximation. - D'apres
theses, on a
(2)
lj(x)
-
e] g(S-lX)
~j(s)
g(S-lX)
~ [j(x)
p
>0
les hypo-
+ e] g(S-lX).
<
donne> z, determinons Yj > 0 assez petit pour que (I: g*)Yj
(X- z;
g* designe la fonction definie par g*(x)=g(X-l).
Puis soit W un voisinage de l'unite assez petit pour que
(X etant
I g(
entralne
II existe des
1'ensemble au
Si
E
I>
[g(si1 x) -
YJJ ~
Sammons par rapport a
[I(x)
-
E]
g(S-lX)
I~
YJ.
G, en nombre fiai, teIs que les ensembles Si W recouvrent
0; puis il existe (5) des hi E e teUes que hi= 0 en dehors
de SiW, et ~ hi= I en tout point
hi(s)f(s)
x) - g(y)
-
ou/>
hi(s)f(s)
o. On a alors
g(S-lX)
i, et cornparons
YJj(s) ~~
hi(s)f(s)
~ hi(s)f(s)
[g(si1X)
+
YJJ.
a (2); on obtient
g(si1 x) ~ [j(x)
+
E 1 g(S-lX)
+ YJf(s),
designe l'ensemble des 'P E g qui s'annulent en deho]'s de U. Pour la demonstration de ce lemme, voir A. 'VEIL, loco eit., p. 36.
Co) Voir DIEUDONNi"
Comptes rendus, 205, 1937, p. 593.
C,)
S'u
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ACADEMIE
DES SCIENCES.
inegalite entre des fonctions de s dont nous allons prendre Ie
quant que
en remar-
1'l"
II vient
[f(x)
-
eJ
Icp(g*) -
Of)
I<pU) ~ I{
Mais
~
h;j'g(si' .T)] ~ rJ(x)
+e
(~ etant
J
IqJ(g*)
+
1)
I'l'(/)'
< 0:),
d'ou
(3)
~~J'l'[~
~~S[;~)
hdJ~/(X)
I(x) -
+ ~..
Appliquons Ie lemmeaux fonctionsfi= h;j, en posant Ai=g(s;-1x)/1'l'(g*)
[quantites~A
(fo : g*) supg], et prenant p
IX -~.
Ii vient, pour if E fFu
( U convenable), et en posant l<p( hJ)f1'l'(g*)
Ci,
=
~ g(SilX)hl]
I.rp(g*)
I'l' [~
=
=
i
~~
~
I
Cig (1Si x) ~ 'l'[~g(SilX)
~
I'l'(g*)
hi I]
+ p,
ce qui, combine avec(3), donne l'inegalite(l)
du theorem'e d'approximation.
Ii faut prouver l'existence d'une
0 pour lEe, additive, et telle que
fonctionnelle l(f), definie et
l(f). Pour cela, il suffit de prouver que, pour chaque I, 1ep(/),
I (fs)
consideree comme fonction de if, a une limite suivant Ie filtre qui a pour
base les fFu. L'existence d'une limite sera assuree si l'on prouve, pour
tout IE e et tout E> 0, l'existence d'un U tel que if E fFu et ~ E fFu
entrainent
4. Existence de la mesure invariante.
=
>
-
f,
La limite I(f) sera alors une fonction additi(Je de
en vertu du lemme.
Or, soient donnes lEe et 'Y> 0; determinons, par le theoreme
d'approximation, une gEe, des Si et des Ci qui satisfassent it (I) pour
un IX
'Y; puis, d'apres Ie lemme, un U LeIque if E fFu entraine
<
=
Operons de meme avec fo telle que Itp(fo)
I pour toute cp, et en prenant
la me me g; il vient une inegalite analogue. Ces deux inegalites, nppliquees it deux fonctions cp et ~, prouvent que 1ep(f) et 1t(/) sont voisins
c. Q. F. D.
des que cp et t.j; appartiennent it un fFu convenable.
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