Les modèles factoriels empiriques : Typologie et résultats empiriques

Les modèles factoriels empiriques :
Typologie et résultats empiriques
Philippe Bernard
EURIsCO
Université Paris IX
Version préliminaire
Décembre 2003
Table des matières
1 Introduction
2
2 Les trois types de modèles factoriels
7
3 Modèles à facteurs macroéconomiques
18
4 Les modèles de BARRA
33
1
1
Introduction
Tester la théorie factorielle pose des problèmes délicats. Le CAPM définit la variable
à prendre en compte (le portefeuille de marché). Aussi, même si des problème de mesure
de celle-ci peuvent se révéler redoutable, la structure à tester est bien définie. Rien de tel
avec la théorie factorielle : Aussi comme l’a souligné :
“La théorie est silencieuse non seulement sur l’identité des facteurs mais
aussi sur leur nombre. [...] [Aussi] tout test de l’APT est un test joint sur
la relation de valorisation et sur le caractère approprié des facteurs.” (Gur
Huberman [1987] [Hub87])
Un autre problème avec l’APT est l’indétermination de la nature des facteurs. En
effet, supposons que la théorie soit “vraie”, i.e. que les rendements et la prime de risque
se conforment aux formes supposées par cette théorie. Les rendements sont alors donnés
par la forme factorielle :
ea = Ra + ba .e
R
f + ea
f est le vecteur colonne des facteurs :
où e






e
f =




fe1



... 


e
fk 


... 

e
fK
et ba est le vecteur ligne résumant l’exposition de l’actif a aux facteurs :
ba =
h
ba1 ... bak ... baK
La prime de risque est quant à elle donnée par :
Ra − R0 = b.Λ
2
i
où Λ est le vecteur colonne des prix des risques factoriels :


λ
 1 


 ... 




Λ =  λk 




 ... 


λK
Il est alors possible de montrer qu’il existe une infinité de K facteurs qui vérifieront une
telle équation de prime de risque. En effet, pour toute matrice carrée de plein rang M, on
peut définir un nouveau vecteur de facteurs, noté f 0 , que l’on obtient en transformant le
vecteur de facteur initial f :
e
f 0 = M.e
f
Il est alors immédiat de vérifier que si l’on redéfinit le vecteur d’exposition de la manière
suivante :
b0a = ba .M−1
alors les rendements ont toujours une structure factorielle (de même dimension) puisque
si l’on note IK la matrice identité de rang K :
ea = Ra + ba .e
f + ea
R
= Ra + ba .IK .e
f + ea
¡
¢
= Ra + ba . M−1 .M .e
f + ea
³
´
¡
¢
= Ra + ba M−1 . M.e
f + ea
= Ra + b0a .e
f 0 + ea
De même, si l’on rédefinit le prix des facteurs à l’aide de M de la manière suivante :
Λ0 = M.Λ
3
alors il est immédiat de vérifier que la prime de risque est, conformément à l’APT, donnée
par les nouveaux facteurs d’exposition b0a et les nouveaux prix Λ0 :
Ra − R0 = ba .Λ
= ba .I.Λ
¡
¢
= ba . M−1 .M .Λ
¡
¢
= ba M−1 . (M.Λ)
= b0a .Λ0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ce résultat sur la substitution des facteurs a amené Shanken [1982] [Sha82] à mettre
en doute la simple possibilité de tester l’APT, ou de le distinguer d’un CAPM à facteurs multiples1 portant notamment sur la possibilité de distinguer un modèle APT d’un
CAPM multiple. La thèse de l’impossibilité de distinguer ces deux modèles a également
été soutenue par Connor dans un des articles théoriques les plus importants sur la théorie
factorielle (Connor [1984] [Con84]). Le CAPM peut en effet se présenter comme un ‘modèle factoriel ex-post’ pour reprendre une expression de Connor. En effet, le portefeuille
de marché (m) permet de définir le facteur (fe) :
h
i
e
e
e
f = R.m − E R.m
l’exposition aux risques (ba ) de chaque actif a :
³
´
ea , R.m
e
cov R
³
´
ba =
e
var R.m
le risque spécifique (εa ) :
ea − R0 − ba .fe
εa = R
Si l’on note E est le vecteur colonne des risques spécifiques alors le risque spécifique du
portefeuille du marché est donné par le produit vectoriel m> E. Le portefeuille de marché
1
Voir l’échange entre Shanken [1985] [Sha85] et Ross & Dybvig [1985] [DR85].
4
est donc bien diversifié puisque :
m> E= m
cov(m> .R, m> .R) >
.m .R
var(m> .R)
var(m> .R) >
.m .R
= m> .R−
var(m> .R)
= m> .R − m> .R
>
.R−
= 0
Le CAPM apparaît donc comme un modèle factoriel. Cependant, il ne l’est qu’ex-post :
il ne suppose pas en effet que les rendements sont engendrés par un ‘processus factoriel’
mais il utilise les actifs existants pour construire implicitement un modèle factoriel.
Ces difficultés n’ont cependant pas empêché le développement des évaluations empiriques des modèles factoriels. La multiplication des “anomalies” inexplicables par le
CAPM rendait en effet nécessaire le développement de modèles empiriques alternatifs.
Or, “le modèle factoriel est un rêve d’empiriste.” (Fama [1991] [Fam91] p. 1594). Il a
en effet les qualités de ses défauts : la faiblesse des restrictions théoriques peut aussi
être considéré comme un appel à multiplier à l’infini les facteurs possibles. D’ailleurs, les
premiers modèles factoriels furent estimés avant même l’article de Ross, notamment par
Barr Rosenberg [1974] [Ros74], le fondateur de la société de conseil financier BARRA.
L’étude de Roll & Ross [1980] [RR80]) fut sans doute la première évaluation empirique de l’APT. L’échantillon utilisé portait sur les rendements quotidiens de 1260 entreprises sur la période juillet 1962 - décembre 1972. Pour garder un problème informatiquement (alors) traitable, 42 groupes de trente entreprises furent constitués et étudiés à l’aide
de l’analyse en composante principale. Dans chaque groupe les sensibilités de chaque titre
j de chaque groupe j à chaque facteur k, β ikk , fut tout d’abord estimé avant d’effectuer
des régressions transversales (à la Fama & MacBeth) pour chaque période t :
Rijt = RZkt +
X
bijk .λjtk
k
Pour une groupe donné, les régressions estimés aux différentes périodes engendrent des
primes de risque moyennes pour tous les facteurs retenus. Une restriction induite (notamment) par l’APT est que les moyennes de RZkt et des λjtk des différents groupes ne
doivent pas être (statistiquement) différentes.
5
Un des résultats constructifs de ce travail fut de souligner qu’un nombre réduit de
facteurs, plus précisément moins d’une demi-douzaine, suffisait : dans 38% des groupes,
il y avait en effet moins de 10% de chances qu’il soit utile d’aller au delà de 5 facteurs ;
dans 3/4 des groupes, il y a 50% de chances que cinq facteurs soient suffisants.
Ces travaux ont suscité une controverse longue et durable portant sur la méthode utilisée, sur sa capacité à tester véritablement la théorie factorielle. Un résultat peu contesté de
la littérature empirique est que l’addition de facteurs supplémentaires permet d’accroître
substantiellement le pouvoir explicatif des modèles. Ainsi sur la figure 1 est reporté un des
résultats obtenus par Roll [1988] dans un article au titre particulièrement court : “R2 ”.
Même si le modèle à cinq facteurs de Roll a un pouvoir explicatif moyen limité puisque
la valeur moyenne de R2 est de 0.244, elle est sensiblement supérieure à celle du CAPM.
La distribution des R2 de l’APT donne plus de poids aux valeurs importantes des R2 :
pour 15% des titres, le R2 est supérieur ou égal à 0.5 contre moins de 5% des titres pour
le CAPM.2
Peu après Roll & Ross, une autre évaluation de l’APT fut réalisé par Chen [1983]
[Che83] sur un échantillon couvrant la période 1963-1978 et comprenant entre 1000 et
1500 actifs. Outre l’estimation du nombre de facteurs, Chen réalisa une comparaison des
performances du CAPM et de l’APT, confrontation à l’avantage de la théorie factorielle.
Après ces premiers travaux initiaux encourageants, les modèles estimés se multiplièrent.
En raison du faible nombre de contraintes sur les facteurs utilisables, les modèles factoriels
estimés ont été fort divers au cours du dernier quart de siècle. On s’accorde aujourd’hui
cependant sur le fait que les différents modèles peuvent être regroupés en trois principaux
types.
2
Le CAPM n’est pas pour autant complètement abandonné. Il a lui aussi connu un profond renouvelle-
ment. Ses nouvelles modélisations empiriques s’inspirent cependant désormais plus soit de sa modélisation
dynamique, l’ICAPM (Intertemporal Capital Asset Pricing Model), soit de la version obtenue en équilibre général, le CCAPM ou CAPM de consommation. Le CAPM lui-même n’est pas absent des modèles
factoriels puisque le risque de marché constitue en général l’un des facteurs retenus, et même l’un des
plus importants.
6
16
14
12
10
CAPM
8
APT
6
4
2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Fig. 1 — Les distributions des R2 du CAPM et d’un modèle factoriel à 5 facteurs statistiques estimés sur les rendements mensuels de 2300 actions du NYSE et de l’AMEX sur
la période allant de septembre 1982 à août 1987. (source : Roll [1988] p. 544)
2
Les trois types de modèles factoriels
Les modèles factorielles se différencient non seulement par leurs facteurs, mais aussi par
les variables qu’ils supposent exogènes, endogènes et par leurs techniques d’estimation.
En reprenant la typologie proposée par Connor [1995] [Con95a] [Con95b], on peut
distinguer trois principaux types de modèles factoriels dont les propriétés sont détaillées
dans le tableau 1 :
— les modèles à facteurs macroéconomiques ;
— les modèles à facteurs fondamentaux ;
— les modèles à facteurs statistiques.
Dans les modèles à facteurs macroéconomiques, les facteurs retenus sont essentiellement des prix ou des indices reflétant l’activité des marchés financiers et de l’économie. Ainsi, par exemple on rencontrera, sous différentes appellations, le rendement du
marché (ou d’un indice supposé le représenter), la structure par terme des taux d’intérêt,
la production industrielle, la prime de qualité payé sur les titres privés de faible qualité.
7
Le choix des facteurs macroéconomiques non sur une méthode mais sur l’intuition du modélisateur ou sur l’exploitation de résultats antérieurs. Aussi l’absence de méthode pour
la sélection des facteurs conduit-elle à parler de facteurs pré-spécifiés.
Dans ce type de modèle, le cadre de référence est celui de l’équation de rendement :
Ra (t) = R0 (t) +
X
bak .fk (t) + εa (t)
(6)
k
Les variables observées à chaque période t sont alors les rendements (les Ra (t)) ainsi
que les facteurs macroéconomiques, c’est-à-dire les fk (t). Les facteurs estimés sont alors
pour chaque actif ses sensibilités aux facteurs, les bak ou betas factoriels. Pour obtenir ces
variables pour la période considérée, on estime donc pour chaque actif l’équation (6) en
recourant aux méthodes de l’économétrie des séries temporelles.
La seconde étape d’estimation (commune à l’ensemble des modèles) est celle de
l’estimation des différents prix des risques (λk (t), k = 1, ..., K) de l’équation :
Ra (t) = αa (t) + R0 (t) +
X
bak .λk (t)
(7)
k
où αa (t) est économétriquement le résidu obtenu, économiquement la sur-performance du
titre a. Si la théorie factorielle était vraie, αa (t) devrait être nul pour tous les actifs et
pour toutes les périodes. L’estimation de l’équation (7) se fait pour chaque période t et
sur l’ensemble des actifs (estimation en coupe donc). Les différentes estimations obtenues
sont ensuite moyennées.
Dans les modèles fondamentaux, le point de départ est non pas des variables définissant
l’environnement des entreprises, les facteurs macroéconomiques, mais des variables supposées caractériser l’entreprise considérée et son titre. Ainsi, la société de conseil financier
qui a le plus développé ce type de modèle, la société BARRA, on considère :
— le secteur d’activité (plus ou moins finement défini selon le pays considéré),
— des caractéristiques de l’action dont
— son rendement en dividendes (le facteur DIVIDEND YIELD des modèles BARRA)
— sa capitalisation (SIZE),
— sa croissance moyenne au cours des dernières années (GROWTH),
— sa volatilité (VOLATILITY),
8
— la persistance de ses évolutions (MOMENTUM),
— l’importance des échanges (TRADING) ;
— des caractéristiques de l’entreprise dont
— le rendement de ses actifs (EARNING YIELD),
— la volatilité de celui-ci (EARNING VOLATILITY),
— son levier d’endettement (LEVERAGE).
Dans ce type de modèle, l’équation de rendement implicitement considéré est :
Ra (t) = R0 (t) +
X
bak (t).fk (t) + εa (t)
(8)
k
où les variables observées sont les rendements (Ra (t)) et les expositions aux risques (Ra (t)),
les variables estimées sont les facteurs fondamentaux (fk (t)). Pour estimer ces variables,
on procède pour chaque période t, à une estimation en coupe permettant d’obtenir fk (t).
Comme dans les modèles macroéconomiques, le choix des facteurs n’est pas la conséquence
d’une procédure rigoureuse et donc les facteurs sont pré-spécifiés.
Enfin, le dernier type de modèle sont ceux utilisant des facteurs statistiques. Plus précisément, dans cette approche, on prend appui sur le résultat que s’il existe suffisamment
d’actifs financiers pour faire de l’évaluation par arbitrage, alors on peut synthétiser les
rendements des facteurs par des portefeuilles financiers. Aussi, ce résultat étant acquis, on
peut alors dans les équations de rendement substituer aux facteurs fondamentaux ou aux
facteurs macroéconomiques des actifs ou des portefeuilles. Les équations des rendements
sont donc désormais de la forme :
Ra (t) = R0 (t) +
X
bak (t).Rkf (t) + εa (t)
(9)
k
où les Rkf (t) sont les rendements des actifs financiers servant de facteurs. Dans cette approche, le problème essentiel est alors de déterminer le nombre de facteurs à utiliser.
Plusieurs méthodes ont été proposées dont des méthodes s’inspirant de l’analyse en composante principale. A la différence des deux approches précédentes, la détermination du
nombre de facteurs est une étape centrale de l’approche statistique. Plusieurs méthodes
ont été proposées depuis l’article de Roll & Ross [1980], dont deux des plus utilisées
sont celles de Lehmann & Modest [1988] [LM88] et de Connor & Korajczyk [1988]
9
Tab. 1 — Les différents types de modèles factoriels et leurs caractéristiques
Types de facteurs
Variables exogènes (inputs)
Technique d'estimation
Variables endogènes
(outputs)
- Régressions
temporelles
- Betas factoriels des
titres
- Rendements des titres
Macroéconomiques
- Variables macroéconomiques
- Rendements des titres
Fondamentaux
- Régressions en coupe - Facteurs fondamentaux
- Caractéristiques des titres
- Facteurs statistiques
Statistiques
- Rendements des titres
- Régressions itérées en
coupe et temporelles
- Betas factoriels des
titres
source : Connor [1995]
[CK88].3
En théorie, si l’APT était “vraie”, si l’on était capable d’identifier le nombre exact de
facteurs, si le risque spécifique pouvait être totalement négligé, etc., les différents facteurs
proposés pourraient être équivalents. On conçoit même intuitivement que ces approches
puisse correspondre à différents niveaux d’analyse comme l’illustre la figure 2. Dans cette
interprétation :
— l’approche des facteurs macroéconomiques capturent les caractéristiques de l’environnement économique des entreprises ;
— l’approche des facteurs fondamentaux essaie de saisir la traduction des effets macroéconomiques sur la rentabilité, la fragilité financière, etc. de l’entreprise ainsi que
sur celles du secteur ;
— la combinaison des caractérisques et des risques fondamentaux sur les entreprises
déterminent alors la prime de risque des entreprises ;
3
La méthode de Connor & Korajczyk repose sur un résultat de Chamberlain & Rotschild
[1983] [CR83] établissant un lien entre les facteurs des rendements et les valeurs propres des produits
des rendements. Ce résultat assure que lorsque les portefeuilles deviennent arbitrairement grand, les K
valeurs propres les plus grandes tendent à coïncider avec les facteurs.
10
facteurs statistiques
caractéristiques
cj1
facteurs macroéconomiques
facteurs fondamentaux
m1
mK
Rj-R0
cjS
f1
f=
. ........ ........ ......
.... ........ ........ ...
m=
j = 1,...,J
.. ........ ........ .....
entreprise j : cj =
caractéristiques
ci1
fN
entreprise i : ci =
.... ........ ........ ...
avec f = T.m
Ri-R0
ciS
Fig. 2 — Les relations (possibles) entre les différentes approches factorielles.
— par arbitrage, les primes de risque déterminés par les facteurs macroéconomiques
à un premier niveau, par les facteurs fondamentaux à un second niveau, peuvent
également être déterminés par celles d’un ensemble d’entreprises.
Concrètement cependant, on peut s’attendre pour toutes conditions ne soient plus vérifiées, et donc que certains modèles soient plus performants que d’autres. Aussi, la diversité
des approches incitant à leur évaluation, différentes méthodes furent proposées. L’une des
plus intuitives est le test proposé par Connor & Korajczyk [1993] [CK93] lequel se
propose de mesurer soit le pouvoir explicatif d’un facteur, soit celui d’un modèle. Sa méthode est d’évaluer le pouvoir explicatif supplémentaire apporté soit par l’introduction
d’un facteur rajouté à un ensemble de facteurs, soit par celle de l’ensemble des facteurs
d’un second modèle factoriel à l’ensemble des facteurs d’un premier modèle. Si l’on note
σ i la variance totale de l’actif i, σ i,∈ la variance de l’actif i non expliquée par les facteurs,
11
Tab. 2 — Le pouvoir explicatif des facteurs statistiques (pris isolément ou rajoutés aux
autres).
Facteur
1
2
3
4
5
Tous
Contribution
marginale au
pouvoir
explicatif
29.0%
3.5
3.1
1.8
1.7
39.0
source : Connor [1995]
σ la moyenne des variances des actifs, σ ∈ la moyenne des variances résiduelles des actifs
alors le pouvoir explicatif P E est défini comme étant égal à :
P E := 1 −
σ∈
σ
(10)
Connor [1995] [Con95a], dans un article influent, a appliqué cette méthode pour comparer les trois types de modèles factoriels. Les données utilisées sont constituées par les rendements mensuels de 779 capitalisations importantes américaines (de la base de BARRA
sur les capitalisations importantes) sur la période allant de janvier 1985 à décembre 1993.
Les résultats pour le modèle statistique (tableau 2) sont très similaires à ceux obtenus
par Connor & Korajczyk [1993] [CK93] à l’aide d’un échantillon légèrement différent.
Le pouvoir explicatif du premier facteur est de 29% - score similaire à celui d’un CAPM.
L’addition de 4 autres facteurs permet de l’augmenter de 10 points. La contribution de
chacun des facteurs additionnels est cependant inférieur ou égal à 3.5%.
Le modèle macroéconomique testé par Connor [1995] est relativement standard par
les facteurs utilisés. Les 5 facteurs macroéconomiques pris en compte sont en effet :
— l’inflation, facteur défini comme la variation du log népérien de l’indice des prix à
la consommation ;
— la structure par terme des taux d’intérêt, facteur défini comme la différence entre le
rendement sur une obligation d’Etat à long-terme moins le rendement sur les bons
12
Tab. 3 — Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques (pris isolément ou rajoutés
aux autres).
Pouvoir
explicatif Contribution
Facteurs
de chaque marginale
facteur
Inflation
1.3%
0.0%
Term structure
1.1
7.7
Industrial production
0.5
0.3
Default premium
2.4
8.1
Unemployment
0.3
0.1
All
10.9
source : Connor [1995]
du Trésor à un mois ;
— la production industrielle, facteur défini comme la variation du logarithme népérien
de l’indice de la production industrielle ;
— le facteur de défaut, facteur défini comme la prime de rendement sur les obligations
privées de faible qualité ;
— le chômage, facteur défini comme la variation du taux de chômage.
Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau 3. Dans la première colonne est
reporté le pouvoir explicatif de chaque facteur lorsqu’il est seul entré dans le modèle : le
pouvoir explicatif de l’ensemble des facteurs est très faible (au maximum 2.5%). Lorsque
les 5 facteurs sont considérés, le pouvoir explicatif est considérablement plus important,
puisqu’il est de près de 11%, mais il demeure inférieur au modèle statistique. La contribution marginale de chaque facteur i, i.e. l’accroissement du pouvoir explicatif du modèle
introduit par l’introduction du facteur i au côté des 4 autres, est très inégale : elle est
négligeable pour l’inflation, la production industrielle, le chômage, considérable pour la
structure par terme et le risque de défaut.
Enfin, le dernier modèle évalué par Connor [1995] est un modèle fondamental reprenant les facteurs couramment utilisés par les modèles (actions) de BARRA : 55 variables
muettes de secteurs sont combinées à 12 autres facteurs de risque. Comme le montre le
tableau 4, le pouvoir explicatif des variables muettes sectorielles est important (et même
13
7 ,7
9 ,0 0
8 ,0 0
7 ,0 0
8 ,1
6 ,0 0
5 ,0 0
4 ,0 0
1 ,3 0
0 ,0 0
0 ,3 2 ,4
1 ,1
0 ,1
0 ,3
en
ne
ef
au
D
m
lt
p
pl
oy
re
m
m
du
ro
lp
r ia
st
du
t
iu
m
ct
ct
ru
st
rm
Te
In
U
ur
io
n
e
io
n
0 ,5
fla
t
C o ntrib utio n
m a rgina l
3 ,0 0
2 ,0 0
1 ,0 0
0 ,0 0
In
P o uvo ir
e xp lic a tif
Fig. 3 — Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques. (source : Connor [1995])
supérieur aux facteurs du modèle macroéconomique). Le pouvoir explicatif des facteurs
fondamentaux (considérément isoléments) est relativement faible : seuls ceux de la volatilité et de la croissance atteignent 3%. Cependant, lorsque l’on ajoute ces facteurs
fondamentaux aux facteurs sectoriels, le pouvoir explicatif du modèle est multiplié par
2.5 et passe de 16% à 42%. La contribution marginale de chaque facteur fondamentale
demeure cependant très faible - en moyenne de 0.51.
Ces premiers résultats évaluant l’efficacité des facteurs et le pouvoir explicatif des
différents modèles est essentiellement confirmé par les seconds “tests” réalisés par Connor.
La méthode de Connor & Korajczyk [1993] [CK93] peut en effet être appliquée aux
modèles et non aus seuls facteurs : dans ce cas, on prend un des trois modèle comme point
de départ ; puis on ajoute d’un coup tous les facteurs d’un second modèle et l’on re-estime
le modèle défini par les facteurs initiaux et les facteurs rajoutés. La différence de pouvoir
explicatif constitue la contribution marginale du second modèle au pouvoir explicatif du
premier modèle.
La première ligne du tableau 5 reprend donc les résultats antérieurs sur le pouvoir explicatif des trois types de modèles. Le modèle macroéconomique apparaît de loin comme le
14
Tab. 4 — Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux (pris isolément ou rajoutés aux
autres).
Pouvoir
Contribution
explicatif en
du facteur au
Facteurs
utilisant un
pouvoir
unique
explicatif
facteur
Industries
16.3%
18.0%
Volatility
4.3
0.9
Momentum
2.8
0.8
Size
1.4
0.6
Trade activity
1.4
0.5
Growth
3.0
0.4
Earnings to price
2.2
0.6
Book to price
1.5
0.6
Earnings
2.5
0.4
Financial leverage
0.9
0.5
Foreign investment
0.7
0.4
Labor intensity
2.2
0.5
Dividend yield
2.9
0.4
Total
42.6
source : Connor [1995]
15
0,4
ia
l
Fi
na
nc
B
oo
le
v
k
er
to
ag
e
pr
G
ro
ic
e
w
th
0,4 0,5
Si
ze
ilit
y
ol
at
pouv.
explicatif si
unique
facteur
V
contribution
marginale
4,5
4,3
4
3,5
3
2,8
3
2,5
2,9
2
2,2
2,5
1,5
1,4 1,4
1,5
1 0,9
0,8
0,5
0,6
0,5 0,4 0,6
0,9
0
0,6
Fig. 4 — Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux. (source : Connor [1995])
moins performant puisque son pouvoir explicatif est le quart de celui des autres modèles.
Le modèle fondamental apparaît aussi légèrement supérieur au modèle statistique : ceci
illustre sans doute que les très nombreuses variables considérées dans les modèles fondamentaux permettent sans doute d’inférer une information considérable sur les entreprises.
La seconde ligne du tableau 5 présente le pouvoir explicatif que l’on obtient lorsque
l’on ajoute soit aux facteurs statistiques, soit aux facteurs fondamentaux les facteurs macroéconomiques : le pouvoir explicatif du modèle ne progresse pas. Ceci ne signifie pas que
les facteurs macroéconomiques soient sans pouvoir explicatif mais que leur information
est déjà pris en compte par les deux autres types de facteurs. Rajouter les facteurs statistiques aux facteurs fondamentaux donne le même résultat. Par contre, rajouter les facteurs
fondamentaux aux autres facteurs augmentent substantiellement le pouvoir explicatif que
le modèle initial soit macroéconomique ou statistique. Ce résultat illustre évidemment
un thème récurrent de la société BARRA sur l’intérêt d’évaluer les entreprises avec une
gamme importante de facteurs susceptibles d’appréhender finement leurs caractéristiques.
L’analyse du pouvoir explicatif des trois types de modèles soulignent donc la performance des modèles statistiques et fondamentaux. Parmi les facteurs fondamentaux, il est
16
Tab. 5 — Le pouvoir explicatif marginal de chaque modèle factoriel.
Premier Modèle
MacroSecond Modèle
Statistique Fondamental
économique
Pouvoir explicatif
10.9%
39.0%
42.6%
Macroéconomique
—
38.2
42.4
Statistique
Fondamental
31.0
43.0
—
45.6
44.8
—
source : Connor [1995]
certainement nécessaire de distinguer parmi les facteurs sectoriels des autres facteurs de
risque. En effet, une étude émanant d’un autre chercheur de BARRA, Engerman [1993]
[Eng93], portant sur des données similaires, montre que la combinaison des facteurs macroéconomiques et des variables sectorielles donne un modèle dont le pouvoir explicatif
est très proche du modèle fondamental. Aussi, comme le note Connor lui-même :
“La comparaison du pouvoir explicatif est seulement un des critères par lesquels on peut évaluer la valeur des différentes approches factorielles. Au regard
d’autres critères, la cohérence théorique et l’intuition économique, l’utilisation
d’un modèle à facteurs macroéconomiques est sans doute la plus performante
(et non la plus faible) des trois approches. Aussi, nos résultats, mêmes s’ils
sont intéressants et utiles, ne concluent pas le débat sur les mérites respectifs
des trois approches.” (Connor [1995] [Con95b] p. 8)
Il n’est donc pas totalement surprenant que le type de modèle le moins utilisé tant au
niveau académique et que sur les marchés soit le type statistique4 : quelle que soit leur
pouvoir explicatif statistique, il est en effet pratiquement impossible d’interpréter économiquement leurs résultats. Les actifs et les portefeuilles servant de facteurs de période à
période n’ont au surplus aucune raison d’être stable. Guider les choix de portefeuille au
delà du court-terme à partir de tels modèles apparaît donc difficile. Aussi rencontre-t-on
4
Sur le marché parisien (et européen) la société APTIMUM a développé un tel modèle statistique,
modèle utilisé par certaines institutions en même temps que d’autres modèles plus courants comme les
modèles BARRA.
17
plus souvent les modèles à facteurs fondamentaux et les modèles macroéconomiques dont
nous allons donner quelques exemples.
3
Modèles à facteurs macroéconomiques
Une des premières modélisations économétriques fut réalisée par Chen, Roll & Ross
[1986] [CRR86]). Cette étude a exercée une influence profonde notamment par le choix
des facteurs macroéconomiques. Ce travail était suscité par un paradoxe de la littérature
financière de l’époque :
“Les prix des actifs sont couramment supposés réagir fortement aux informations économiques. L’expérience quotidienne semble confirmer cette opinion
que les prix des actifs sont influencés par une grande variété d’événements non
anticipés et que certains événements ont un impact plus important sur les actifs que d’autres. Conformément à la capacité des investisseurs de diversifier, la
théorie financière moderne a concentré son attention sur des “influences” systématiques, omniprésentes comme les souces vraissemblables des risques d’investissement. [...] La théorie est demeurée, cependant, silencieuse sur la nature
des événements susceptibles d’influencer tous les actifs. Un écart embarrant
existe entre l’omniprésence en théorie des variables d’état “systématiques”
et notre complète ignorance de leurs identités. La corrélation des évolutions
des prix des actifs suggèrent la présence d’influences exogènes sous-jascentes,
mis nous n’avons pas encore déterminé quelles variables économiques en sont
encore responsables.”5 ([CRR86] pp. 383-84)
5
“Asset prices are commonly believed to react sensitively to economic news. Daily experience seems to
support the view that individual asset prices are influenced by a wide variety of unanticipated events and
that some events have a more pervasive effect on asset prices than do others. Consistent with the ability
of investors to diversify, modern financial theory has focused on pervasive, or “systematic” influences as
the likely source of investment risk. [...] The theory has been silent, however, about which events are likely
to influence all assets. A rather embarassing gap exists between the theorerically exhaustive importance
of systematic “state variables” and our complete ignorance of their identity. The comovements of asset
prices suggest the presence of underlying exogenous influences, but we have not yet determined which
economic variables, if any, are responsible.”
18
La démarche de Chen, Roll & Ross [1986] [CRR86] était donc de spécifier une
liste de facteurs macroéconomiques et de tenter de vérifier l’APT avec ces facteurs macroéconomiques sur données mensuelles. Les facteurs retenus étaient :
1. le taux de croissance de la production industrielle soit sur une base mensuelle
(MP (t)), soit sur une base annuelle (Y P (t)) ;
2. diverses mesures de l’inflation - l’inflation anticipée (E(I (t))), l’inflation non anticipée (UI (t)), la variation de l’inflation anticipée (DEI (t)) ;
3. la prime de risque (URP (t)) obtenue en calculant la différence de rendement entre
les titres de mauvaise qualité émis par les entreprises privées (Baa et en dessous) et
les obligations d’Etat ;
4. la structure par terme (UT S (t)) résumée par la différence de rendement entre les
obligations d’Etat et les bonds du Trésor (T bills à 1 mois) 6 ;
5. les indices de marché - soit l’indice du NYSE pondéré par la valeur (V W NY (t)) ou
équipondéré (EW N Y (t)).
Le modèle factoriel évalué était de la forme :
g + bDEI DEI
f + bU P R UP
ea = Ra + bMP MP
] + bU I UI
]
]
R + bUT S UT
S+
R
a
(11)
La méthode d’estimation utilisée est la technique de Fama & MacBeth [1973]
[FM73] :
— l’exposition des actifs aux facteurs était d’abord estimée sur une période de cinq
ans ;
— les coefficients factoriels ainsi obtenus étaient utilisés comme variables indépendantes
dans des régressions en coupe.
Pour minimiser les problèmes d’erreurs dans les variables, cette méthode est seulement
appliquée sur des portefeuilles (relativement) diversifiés. Pour cela, 20 portefeuilles basés
sur la taille des entreprises furent constitués. Avec ceux-ci, les primes de risque furent
estimés sur la totalité de la période, i.e de janvier 1958 à décembre 1984, ainsi que sur
6
Le taux de croissance du prix du pétrole fut également inséré dans une variante, mais il se révéla
statistiquement insignifiant sauf sur la période 1958-67.
19
Tab. 6 — Les prix des facteurs macroéconomiques dans Chen, Roll & Ross [1986] (% par
mois multiplié par 10)
MP
1958-84
13,589
DEI
-0,125
UI
-0,629
UPR
7,205
UTS
-5,211
Cste
4,124
(3,561)
(-1,640)
(-1,979)
(2,590)
(-1,690)
(1,361)
13,155
0,006
-0,191
5,560
-0,008
4,989
(1,897)
(0,092)
(-0,382)
(1,935)
(-0,004)
(1,271)
16,966
-0,245
-1,353
12,717
-13,142
-1,889
(2,638)
(-3,215)
(-3,320)
(2,852)
(-2,554)
(-0,334)
1958-67
1968-77
1978-84
9,383
-0,140
-0,221
1,679
-1,312
11,477
(1,588)
(-0,552)
(-0,274)
(0,221)
(-0,149)
(1,747)
source : Chen, Roll & Ross [1986]
trois sous-périodes. Sur la totalité de la période, les variables MP , U I, UP R sont significatives, la variable U T S l’est quasiment. Les variables d’inflation DU I et UI s’avéraient
particulièrement significatives pour la période 1968-77. La variable annuelle de production
industrielle était non significative sur la totalité de la période et sur les sous-périodes.
Les signes obtenus pour les variables significatives (reportés dans le tableau 6) étaient
économiquement plausibles :
— le signe positif sur MP et sur UP R peut être interprété comme la volonté des
agents de se protéger du risque induit par le cycle économique et de la prime de
risque agrégée ;
— le signe négatif sur l’inflation peut être la conséquence du fait que les placements
financiers sont une protection contre l’inflation ;
— enfin, si les rendements des titres tendent à être corrélés à long terme, la baisse
de UT S est équivalente à une baisse des rendements moyens des titres ; pour se
protéger contre ce risque, les agents sont donc prêt à payer plus les actifs corrélés
négativement avec la structure par terme.
L’intrododuction d’indices de marché ne semblaient pas exercer d’influences significatives sur la prime de risque. Comme Chen [1983] [Che83]), Chen, Roll & Ross ont
testé l’hypothèse que l’addition des facteurs permettait de compléter utilement le CAPM.
Certains des résultats obtenus sont reportés dans le tableau 7. Le risque systématique
est parfois valorisé. Surtout les prix des risques macroéconomiques demeurent très proches
20
Tab. 7 — Les prix du risque systématique de marché et des facteurs macroéconomiques
dans Chen, Roll & Ross [1986] (% par mois multiplié par 10)
VWNY
MP
DEI
UI
UPR
1958-84
11,507 10,487
-0,190
-0,738
8,126
UTS
-7,073
Cste
-3,781
(1,189)
(2,761)
(-2,459)
(-2,215)
(2,869)
(-2,194)
(-0,402)
22,311
9,597
0,001
-0,163
3,186
0,697
-11,734
(1,950)
(1,494)
(0,012)
(-0,341)
(1,474)
(0,337)
(-1,015)
1968-77
11,689
13,381
-0,293
-1,422
13,007
-12,981
-9,488
(0,622)
(1,947)
(-3,590)
(-2,814)
(2,697)
(-2,214)
(-0,526)
1978-84
-4,188
7,624
-0,316
-0,584
8,211
-9,735
15,732
(-0,207)
(1,286)
(-1,246)
(-0,716)
(1,039)
(-1,123)
(0,803)
1958-67
source : Chen, Roll & Ross [1986]
de ceux du tableau 6. L’ensemble de ces résultats amenaient Chen, Roll & Ross à
conclure :
“les prix des actions sont exposés à l’arrivée d’information sur les risques
économiques systématiques, et leurs prix sont fixés en fonction de leurs expositions[ ;] ces informations peuvent être mesurées comme des innovations dans
les variables d’état dont l’identification peut être réalisé grâce àune théorie
financière simple et intuitive.”7 ([CRR86] p. 402)
Une des premières contributions empirique de la théorie factorielle fu notamment
de lever partiellement le mystère de l’anomalie de la taille. En effet, Chan, Chen &
Hsieh [1985] [CCH85], poursuivant la même démarche que Chen, Roll & Ross, montrèrent qu’après la prise en compte des facteurs amcroéconomiques, l’anomalie de taille,
bien que persistante, était très faible et statistiquement peu significative. L’échantillon
étudié étaient celui des entreprises cotées sur le NYSE tout au long de la période retenue 1958-77. Outre le risque de marché, les facteurs significatifs étaient MP , UI et URP .
Après avoir construit 20 portefeuilles (sur la base du critère de la capitalisation boursière),
Chan, Chen & Hsieh [1985] [CCH85] décomposaient ainsi la différence de rendements
7
“stock prices are exposed to systematic economic news, that they are priced in accordance with their
exposures, and that the news can be measured as innovations in state variables whose identification can
be accomplished through simple and intuitive financial theory.”
21
mensuels moyens des deux portefeuilles extrêmes
8
était la suivante :
1958-77
prime de risque
0.956%
non exp liqué par le CAP M
contribution de :
URP
0.453%
V W NY
0.352%
MP
0.204%
résidu
0.120%
Après la prise en compte des facteurs macroéconomiques, le rendement moyen excédentaire non expliqué par un risque systématique (de marché ou macroéconomique) était
donc divisé par près de 10.9
Même si les modèles à facteurs macroéconomiques se sont en général révélé moins
efficaces à court-terme que les modèles fondamentaux, ils se sont révélés très utiles pour
la prévision à long-terme des rendements. Ainsi, Fama & French [1989] [FF89] et Chen
[1991] [Che91] ont notamment mis en évidence la capacité de la structure par terme, du
risque de défaut des entreprises privées ou d’indicateurs comme les PDR (Price Dividend
Ratio) et PER (Price Earning Ratio) à refléter l’évolution future des rendements.
Parmi les modèles “commerciaux”, le modèle proposée par la société de conseil financier BIRR, Inc., et dirigée par Edwin Burmeister, Roger Ibbotson, Richard Roll et
Stephen Ross, est l’un des rares à utiliser les facteurs macroéconomiques.10
la justification de BIRR d’un modèle macroéconomique : “without the foundation of a
rigorous theory one must be concerned that any historical correlation might be spurious
to sudden and material change.” ([BRR03] pp. 1-2)
8
9
C’est-à-dire le protefeuille des plus importantes capitalisations et des plus faibles.
Les résultats de Chan, Roll & Ross [1986] ainsi que ceux de Chan, Chen et Hsieh [1985] ont
été réévalués par Shanken & Weinstein [1990] [SW90]. Pour tester la robustesse des résultats, ils ont
notamment fait varier la taille des portefeuilles en considérant des portefeuilles de 20, 60 et 120 actifs.
Les résultats obtenus suggéraient une certaine fragilité des résultats antérieurs.
10
Le site web de BIRR offre de nombreux documents présentants les fondements et les résultats de leur
modèle, notamment les documents Burmeister [2003] [Bur03] et Burmeister, Roll & Ross [2003]
[BRR03] dont les pages qui suivent sont inspirées.
22
Dans le modèle de BIRR les risques systématiques découlent des changements non
anticipés des variables économiques. Cinq facteurs macroéconomiques sont suposés déterminants.
— La confiance des investisseurs :
— mesurée par la différente entre les rendements des obligations émises par des
entreprises de bonne qualité (à 20 ans) et des obligations émises par le Trésor (à
25 ans) ;
— une diminution du spread se traduit par une réalisation positive du facteur ;
— une valeur positive du facteur est supposée équivalente à une augmentation de la
confiance des investisseurs ;
— en général, les petites capitalisations ont une exposition plus importantes à ce
facteur.
— Le risque d’horizon temporel :
— mesuré par la différence entre le taux sur les obligations d’Etat à 25 ans et le taux
sur les bonds du Trésor à 30 jours ;
— il reflète les évolutions de la courbe des taux (notamment sa pente moyenne) et le
fait que les investisseurs demandent un rendement moins importants pour investir
à long-terme ;
— une réalisation positive du facteur coïncide avec une différence de rendement
moins importante entre les taux longs et les taux courts ;
— en général, les actions de croissance sont plus exposés à ce risque que les actions
de rendement (value stocks).
— Le risque d’inflation :
— mesuré par par la différence entre le taux d’inflation effectif (calculé à la fin du
mois) et le taux anticipé d’inflation (calculé à la fin du mois) calculé à partir des
données historiques à l’aide d’un filtre de Kalman ;
— une réalisation positive coïncide donc avec un choc d’inflation non anticipé ;
— les biens de “luxe” (services, restauration, loisirs) sont les plus exposés à ce risque,
les biens de première nécessité (nourriture, habillement) les moins exposés ;
— Le risque lié au cycle économique :
— mesuré par la variation du taux de croissance anticipé de l’économie (calculé à la
23
Tab. 8 — Pouvoir explicatif des facteurs dans le modèle factoriel de BIRR
actions individuelles portefeuilles diversifiés
intervalle
20% < < 90%
médiane
70% < < 90%
40%
85%
source : Burmeister [2003]
fin du mois) en utilisant un filtre de Kalman ;
— une réalisation positive coïncide avec une augmentation du taux de croissance
anticipé de l’économie ;
— le secteur du commerce de détail est le plus sensible à ce risque, le secteur public
(utilities) le moins.
— Le risque de marché :
— mesuré par le rendement du S & P 500 non expliqué par les quatres premiers
facteurs ;
— supposé capturer les risques naturels, politiques, et les bulles spéculatives ;
— correspondrait au beta du CAPM si les quatres premiers facteurs ne jouaient
aucun rôle ;
Selon BIRR, la combinaison de ces 5 facteurs macroéconomiques permettraient d’expliquer entre 20% et 90% des rendements des actions, avec une valeur médiane de 40%,
résultat très honorable pour un modèle factoriel en général, pour un modèle à facteurs
macroéconomiques en particulier. La substitution des portefeuilles diversifiés aux actions
individuelles permettraient de doubler la performance du modèle, résultat attestant l’importance des risques spécifiques au niveau des entreprises.
Appliqué à un indice diversifié comme le S&P500, le modèle de BIRR fait apparaître
l’importance du market timing, du risque de cycle économique, et du risque inflationniste.
Comme le montre le tableau 9, près de la moitié de la prime de risque de l’indice serait
dû au risque systématique, environ un tiers au risque cyclique de l’activité, un cinquième
du risque inflationniste.
Comme le tableau 9 le montre, certains prix de facteurs sont négatifs dans le modèle
de BIRR, notamment les prix du risque d’horizon et du risque d’inflation. L’intuition du
signe de ces deux facteurs est la suivante :
24
Tab. 9 — Le profil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendement
espéré du S&P500, avril 1992
exposition
prix du
contribution
risque
contribution
en %
confiance
0.27
2.59
0.70
8.7
horizon
0.56
-0.66
-0.37
−4.6
inflation
-0.37
-4.32
1.60
19.8
cycle
1.71
1.49
2.55
31.5
1.00
3.61
3.61
44.6
market
timing
Rendement espéré excédentaire
8.09
100
source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9
— en raison de la définition du risque d’inflation, un actif dont le rendement est lié positivement au risque d’inflation constituera une protection contre l’inflation et donc
les agents accepteront de le détenir même si le rendement moyen est inférieur (toutes
choses égales par ailleurs quant aux autres facteurs) ; le prix du risque d’inflation
est donc négatif et représente donc (en valeur absolue) la prime d’assurance contre
le risque d’inflation ;
— de même, lorsqu’un actif est exposé positivement au risque d’horizon alors son rendement augmente lorsque le rendement à long-terme des obligations d’Etat augmente
relativement au taux court des bons d’Etat, les agents sont donc protégés contre les
pertes en capital induites par ces ajustements des taux de long-terme ; comme pour
le risque d’inflation, le prix du risque d’horizon constitue donc la prime d’assurance
que les agents acceptent de payer.
Comme les actions en moyenne ont un rendement qui baisse lorsque l’inflation augmente de manière non anticipée mais augmente avec le risque d’horizon, la contribution de
l’exposition du risque d’inflation est positive mais celle du risque d’horizon est négative.
Les propriétés des indices varient naturellemet en fonction de leurs compositions. Ainsi,
si l’on substitue à l’indice S&P 500 l’indice du Reebok International Ltd., lequel est
un indice international d’actions, la prime de risque plus élevé de celui-ci est d’abord
25
Tab. 10 — Le profil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendement
espéré du Reebok International Ltd., avril1992
exposition
prix du
contribution
risque
contribution
en %
confiance
0.73
2.59
1.89
12.0
horizon
0.77
-0.66
-0.51
−3.3
inflation
-0.48
-4.32
2.07
13.3
cycle
4.59
1.49
6.84
44.1
1.50
3.61
5.41
34.9
market
timing
Rendement espéré excédentaire
15.71
100
source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9
déterminé par son exposition au risque du cycle économique, lequel contribue pour 44% à
la prime de risque, et ensuite par celle au risque systématique de marché, lequelle contribue
pour environ un tiers à la prime de risque.
Pour évaluer la validité de son modèle, BIRR confronte régulièrement les évolutions
prédites du S&P500 par celui-ci aux valeurs effectives.11 Les figures 5, 6, 7, 8 reportent
les résultats de ces exercices. On remarque notamment que :
— le modèle faisait apparaître une surévaluation du marché en 1987 mais qu’il a été
incapable de détecter une surévaluation importante à la fin des années 90 ; aussi
conclue-il à une sous-évaluation importante du marché au cours de la période 20022003 ;
— entre 1988 et 2000, le modèle capture la hausse régulière du marché mais tend aussi
à être caractérisé par une sous-évaluation persistence du S&P500.
Un des intérêts de disposer d’un modèle macroéconomique est la possibilité d’évaluer
les risques d’exposition de stratégies ou de portefeuilles. Chaque portefeuille (ou chaque
actif) se caractérise par son exposition à ces différents risques et donc par un certain profil
11
Plus précisément, BIRR, après avoir calé le modèle sur la valeur constatée du S&P500 au début de la
période étudiée, rentre les valeurs de des facteurs constatés au cours des périodes pour obtenir la valeur
prédite du S&P500. Il ne s’agit pas donc pas d’une prévision réalisée en utilisant les seules informations
disponibles en début de période.
26
S & P 500
$ 2.50
$ 2.00
S & P 500 effectif
Krach de 1987
$ 1.50
S & P 500
prédit par
BIRR
$ 1.00
$ 0.50
1986
1987
1988
1989
1990
Fig. 5 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1986 à
1990. (source : site web de BIRR)
S & P 500
$ 2.50
$ 2.00
$ 1.50
$ 1.00
$ 0.50
1991
1992
1993
1994
1995
Fig. 6 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1991 à
1995. (source : site web de BIRR)
27
S & P 500
$ 3.00
S & P 500
effectif
$ 2.00
S&P
prédit par BIRR
$ 1.00
$ 0.00
1996
1997
1998
1999
2000
Fig. 7 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1996 à
2000. (source : site web de BIRR)
S & P 500
$ 1.75
$ 1.50
S & P 500
effectif
$ 1.25
S & P 500
prédit par BIRR
$ 1.00
$ 0.75
$ 0.50
1999
2000
2001
2002
2003
Fig. 8 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 2000 à
2003. (source : site web de BIRR)
28
4
3
2
1
0
Confiance
Inflation
Cycle
Horizon
Timing
Asie
Europe
Fig. 9 — L’exposition au risque de l’action Dutch Petroleum et du S&P500.
d’exposition aux risques systématiques. Dans la “philosophie” de la théorie factorielle,
l’exposition à un risque systématique entraîne (si le risque est coûteux) un rendement
espéré supplémentaire. Par conséquent le profil d’exposition aux risques systématiques
détermine à la fois la volatilité mais aussi la performance d’un portefeuille diversifié. Ce
profil d’exposition aux risques systématiques peut également être utilisé pour évaluer le
risque de portefeuilles ou de stratégies.
Ainsi, la figure 9 représente l’exposition au risque d’une entreprise pétrolière, la Dutch
Petroleum. Ce titre apparaît relativement au S&P5000 à la fois moins exposé au risque de
confiance, et plus au risque du cycle économique et aux risques régionaux. Faire rentrer
l’action Dutch Petroleum dans un portefeuille relativement similaire au S&P500 reviendrait donc à “importer” dans le portefeuille des risques régionaux, à augmenter sa sensibilité par rapport au cycle économique, tout en diminuant légèrement sa sensibilité aux
fluctuations de la confiance sur les marchés financiers.
On peut également appliquer cette méthode d’analyse à des portefeuilles, des indices
ou des catégories d’action. Ainsi, la figure 10 compare les expositions au risque des plus
faibles capitalisations du NYSE et du S&P500. Les plus faibles capitalisations apparaissent
notablement plus exposés aux risques de confiance et du cycle économique. La dernière
indication est le BIRR index. Celui-ci est une mesure donnant une mesure synthétique
des risques systématiques de chaque actif et permet donc une hiérarchisation grossière des
29
7.50
5.00
2.50
0.00
-2.50
Confiance Horizon
Cycle
Inflation
Timing
BIRR Index
Fig. 10 — Les expositions aux risques des plus faibles capitalisations (en gris foncé) et des
plus fortes (en gris clair) du NYSE.
Chaque portefeuille comprend 50 actions.
actifs. Dans l’exemple considéré, les petites capitalisations apparaissent légèrement plus
exposées aux risques systématiques que le S&P500. La figure 11 compare au S&P500, un
portefeuille de croissance et un portefeuille de valeurs de rendement. Les expositions aux
risques des trois types de portefeuille apparaissent remarquablement monotones : grosso
modo, les valeurs de rendement apparaissent les moins exposés aux différentes facteurs, les
valeurs de croissance les plus exposés. En modulant la pondération dans un portefeuille de
ces deux types d’actions, on peut donc accroître ou diminuer son exposition aux évolutions
macroéconomiques.
Grâce à la réduction des risques à un nombre limité de facteurs, la théorie factorielle
permet de caractériser différents styles de gestion, de construire facilement les portefeuilles
correspondant à différentes expositions souhaitées, c’est-à-dire de construire des tracking
portfolios.
Si l’on part de l’équation factorielle d’un portefeuille dont la structure est (xi )i=1,...,I :
ep =
R
X
i
xi αi +
X
λk
k
30
X
i
xi bik +
X
i
xi εi
3.00
2.00
1.00
0.00
-1.00
Confiance
Horizon
Cycle
Inflation
Timing
BIRR
Index
Fig. 11 — Les expositions aux risques du portefeuille des 50 actions du NYSE dont la
croissance est la plus élevée (en noir), du S&P500 (en gris foncé) et d’un portefeuille de
50 valeurs du NYSE dont les rendements des dividendes sont les plus élevés (en gris clair).
la démarche implicite aux benchmark portfolios consiste à se donner des expositions aux
facteurs bbk que l’on doit atteindre en atteignant au mieux un objectif. Celui peut être la
minimisation de la variance du risque résiduel. Le programme définissant le benchmark
portfolio est alors :





min(xi )i=1,...,I
P
i
xi εi
sous les contraintes :


P


b
i xi bik = bk , k = 1, ..., K
Si les contraintes sont :
X
i
xi bik = bbek ,
X
i
xi bik = 0 ∀k 6= b
k
on cherche donc alors à obtenir un portefeuille, appelé le mimicking portfolio du facteur
b
k, qui reproduit le facteur b
k.
L’objectif peut aussi être un objectif de rendement, par exemple la maximisation du
α historique :





max(xi )i=1,...,I
P
i
xi αi
sous les contraintes :


P


b
i xi bik = bk , k = 1, ..., K
31
2.00
1.00
0.00
-1.00
Confiance
Horizon
Inflation
Timing
Cycle
BRR
Index
Fig. 12 — L’exposition aux risques factoriels du tracking portfolio factoriellement neutre
et du S&P 500.
Les sociétés proposant des modèles factorielles propose en général différents produits
permettant de se construire ces portefeuilles idéaux par leurs expositions aux risques
macroéconomiques. Ainsi, Burmeister, Roll & Ross [2003] [BRR03] ont simulé un exercice
de gestion courte - longue avec un risque factoriel neutre :
— le portefeuille long comprend 50 actions parmi celles du NYSE dont les α historiques
furent les plus élevés sur la période allant d’avril 1986 à mars 1992 ;
— le portefeuille court comprenait d’autres actions du NYSE sélectionnées pour que
l’exposition aux risques factoriels soit neutre.
En raison du nombre d’actions, le risque spécifique des deux portefeuille est normalement minime. Les sensibilités du portefeuille global obtenu étaient inférieures en valeur
absolues à 0.02 (voir figure 12).
Les résultats du portefeuille sur la période allant d’avril 1991 à mars 1992 :
— une appréciation de 30.04% contre 11.57 pour le S&P500 (en annualisé) ;
— un écart-type des rendements effectifs de 6.26% contre 18.08% pour le S&P500.
Le modèle proposé par BIRR constitue donc un bon exemple des potentialités d’un
modèle à facteurs macroéconomiques : même si l’on a peut être un pouvoir explicatif plus
faible, la nature macroéconomique des facteurs (et leurs stabilités au cours du temps)
32
permet sans doute de faire reposer la gestion de portefeuille sur une logique économique à
la fois robuste et lisible. Les modèles fondamentaux partagent également cette propriété
de lisibilité.
4
Les modèles de BARRA
La société BARRA, fondé en 1975 par l’économiste Barr Rosenberg, est aujourd’hui
sans conteste la société la plus importante au monde en matière d’ingénierie financière.
Outre la gestion de différents indices (en collaboration avec Standard & Poor’s), elle a
tout particulièrement développé une expertise en matière de modèles à facteurs fondamentaux. Elle en offre actuellement environ une dizine se différenciant par la zone couverte
(le monde, les Etats-Unis, l’Europe, la France, etc...), les titres analysés (les actions,
les titres à revenus fixes, ...). Ces multiples modèles ont cependant comme caractéristique commune de faire intervenir un très grand nombre de facteurs, dont des variables
sectorielles12 . Ainsi le modèle E2 Equity USA comporte 55 variables sectorielles et 13
facteurs fondamentaux non sectoriels. Le modèle actions françaises ne comporte que 12
facteurs représentant des secteurs industriels (énergie, matières premières, construction,
biens d’équipement, automobile, biens de consommation, alimentation, distribution, immobilier, services financiers, sociétés d’investissement, autres services) et huit facteurs
fondamentaux non sectoriels. Ces derniers facteurs déjà détaillés à la section 2 dans la
présentation de l’étude de Connor [1995] [Con95a] sont souvent des indices composites
construits à partir d’indices élémentaires et leurs compositions peut varier d’un modèle
à un autre. Les principaux facteurs fondamentaux non sectoriels utilisés par BARRA
sont :13
— la volatilité du cours (VOLATILITY) 12
Pour les entreprises n’opérant que dans un secteur, ces variables sectorielles sont des variables muettes
prenant comme valeur 1 si le secteur est celui où l’entreprise exerce son activité, 0 sinon. Pour les
entreprises qui opèrent sur plusieurs secteurs, les variables sectorielles reflètent le poids des secteurs dans
l’activité de l’entreprise, plus précisément en général elles sont égales aux parts des actifs de l’entreprise
opérant dans les différents secteurs.
13
Cette description est essentiellement empruntée à l’ouvrage de Mathis [2003] [Mat03] “Gestion
d’actions quantitative”.
33
— dans le modèle mondial,ce facteur est le β historique multiplié par l’écart-type
du résidu de la régression du rendement titre sur le rendement du portefeuille de
marché ;
— dans le modèle américain (et souvent les autres modèles nationaux), il est la
somme de ce produit du β historique et de l’écart-type du résidu et d’autres
variables comme l’écart-type quotidien, le ratio du cors le plus élevé au cours le
plus bas, la sensibilité du volume des titres échangés du titre au volume échangé
du marché14 , l’autocorrélation des résidus ;
— le mouvement (MOMENTUM) calculé en général comme le α du modèle de marché ;
— la taille (SIZE) calculée comme le log de la capitalisation ;
— la non-linéarité de la taille (SIZE NONLINEARITY) calculé comme le logarithme
de la capitalisation élevé au cube ;
— les transactions (TRADING), facteur calculé notamment comme la somme du taux
de rotation annuel, du taux trimestriel et du taux mensuel ;
— la croissance (GROWTH), facteur calculé à partir notamment de la croissance des
bénéfices sur un an, du taux de croissance excédentaire de l’actif et des bénéfices au
cours des 5 dernières années15 , du taux de croissance prévisionnel des bénéfices16 ;
— le bénéfice sur cours (EARNING YIELD)
— calculé dans le modèle mondial à partir de la somme du bénéfice sur cours prévi14
Cette sensibilité étant obtenu en effectuant semaine après semaine la régression :
∆VM (t)
∆Vi (t)
=a+b
+ εi (t)
Ni (t)
NM (t)
où Vi (t) (VM (t)) est le volume du titre i (du marché) échangé au cours de la semaine t, Ni (t) (NM (t)) le
nombre de titres existant de l’action i (du marché).
15
Cet excès obtenu en faisant la différence entre le taux de croissance moyen de l’actif au cours des 5
dernières années et le taux de croissance “normal”
Le taux de croissance “normal” est obtenu en estimant l’équation :
T Ai (t) = a + b.t + εi (t)
où T Ai (t) est l’actif total de l’entreprise i à la période t.
16
Calculé par la formule :
1 bénéf ice prévu − bénéf ice récent
2 bénéf ice prévu + bénéf ice récent
où le bénéfice prévu est la moyenne des prévisions médianes pour l’année en cours et l’année suivante.
34
sionnel et du bénéfice sur cours historique (au cours des 4 dernières années) ;
— calculé dans le modèle américain à partir des mêmes variables et du bénéfice sur
cours glissant17 ;
— le facteur valeur (VALUE), supposé capturer la sous-évaluation du titre, est le rapport Book to Market18 ;
— la variabilité des bénéfices (EARNING VARIABILITY) est calculée à partir non
seulement de la variabilité des bénéfices19 mais aussi de celle des cash flows (calculée
de la même manière), de la part du bénéfice exceptionnel au cours des 5 dernières
années et de la variabilité des prévisions de bénéfices ;
— le levier financier (LEVERAGE) calculé à partir des leviers en valeur de marché20 ,
en valeur comptable21 , du ratio dette / total des actifs et de la notation de la dette ;
— la sensibilité aux cours des changes (CURRENCY SENSITIVITY) calculé en calculant la sensibilité du rendement du titre aux cours de change des trois derniers
mois, et en faisant la somme ;
— le rendement en dividende prévisionnel (DIVIDEND YIELD) calculé en entrant les
dividendes des 4 derniers trimestres, les résultats et les annonces de distribution de
dividendes dans un modèle prévisionnel.
L’exposition aux facteurs fondamentaux non sectoriels résume naturellement les caractéristiques des actions, des portefeuilles et des indices considérés. La figure 13 présente
ainsi l’exposition de l’indice du S&P500 en novembre 2003. L’indice est positivement exposé uniquement aux deux facteurs portant sur la taille (SIZE, SIZE NONLINARITY)
ainsi qu’aux facteurs de rendement (EARNING YIELD et DIVIDEND YIELD). Les expositions aux facteurs reflétant l’activité ou l’évolution du marché (VOLATILITY, MOMENTUM, TRADING) sont soit pratiquement neutres, soit négatifs.
17
Somme des quatre bénéfices trimestriels les plus récents rapportée au cours le plus récent.
C’est-à-dire par le rapport de la valeur comptable des actions à leurs capitalisations.
19
C’est-à-dire l’écart-type du bénéfice annuel au cours des 5 dernières années rapporté à la moyenne
18
des cinq dernières années.
20
Ratio obtenu en rapportant la somme de la valeur de marché des actions et de la valeur de l’endettement (à court et long terme) à la valeur de marché des actions.
21
Ratio obtenu en rapportant la somme de la valeur comptable des actions et de la valeur de l’endettement (à court et long terme) à la valeur comptable des actions.
35
S&P 500
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Ea
rn
V
ing
alu
e
sV
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ilit
y
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-0,2
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g
V
-0,1
Si
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M
om
en
tu
m
0
Fig. 13 — L’exposition du S&P 500 aux risques factoriels fondamentaux de BARRA en
novembre 2003. (source : site web de Barra)
36
La diversité des caractéristiques des actions, des portefeuilles et des indices se réflète
dans celle des expositions aux facteurs. Outre celles sur le S&P500, BARRA fournit ainsi
des informations précises sur une dizaine d’indices qu’elle gère (ou co-gère avec S&P), et
notamment sur les valeurs de croissance (S&P500 / BARRA GROWTH) et les valeurs de
rendement (S&P500 / BARRA VALUE) composant le S&P500, sur l’indice S&P MidCap
400, regroupant 400 capitalisations intermédiaires, l’indice S&P SmallCap 600, regroupant
600 faibles capitalisations.
Comme le montrent les figures 14, la capitalisation totale des trois indices est évidemment très différentes. La faiblesse des deux derniers indices S&P MidCap 400 et S&P
SmallCap 600 reflète en effet la faible taille des entreprises entrant dans la composition des
deux derniers indices (figures 15 et 16) : les capitalisations moyenne et médiane du S&P
SmallCap 600 sont égales grosso modo au dixième des capitalisations correspondantes du
S&P500.
Comme l’illustrent les figures 17 et 19, relativement aux valeurs de croissance et aux
valeurs de rendement du S&P500, les entreprises regroupées dans les deux indices S&P
MidCap 400 et S&P SmallCap 600 se caractérisent par des ratios intermédiaires tant pour
les ratios Price / Book et les taux de croissance prédits de leurs capitalisations (figure 17)
que pour leurs rendements (figure 18).Par contre, leurs rendements en dividendes et leurs
taux de distribution sont plus faibles (figure 19), cette moins grande générosité pouvant
notamment être la conséquence de contraintes de financement externes plus fortes.
Les expositions aux facteurs fondamentaux reflètent la diversité des caracatéristiques
des entreprises. Ainsi, la comparaison des expositions des valeurs de croissance et des valeurs de rendement (figure 20) fait apparaître que si l’exposition des deux catégories aux
facteurs de volatilité, de mouvement, de croissance sont similaires, leurs expositions aux
facteurs économiques (résultats et leurs variabilités, levier financier, rendements en dividendes) sont divergentes. De même si l’on compare cette fois au S&P500, à ses valeurs de
croissance et de rendement, les capitalisations intermédiaires et les petites capitalisations,
on peut remarquer que :
— l’exposition au risque de taille des indices des faibles capitalisaitons sont beaucoup
plus importante en valeur absolue (figure 21) ;
— leurs expositions aux risques de marché (VOLATILITY, MOMENTUM) est positive
37
M illio n s
9,8
1 0 ,0
9 ,0
8 ,0
7 ,0
6 ,0
5 ,0
4,9
4 ,0
4,9
3 ,0
2 ,0
1 ,0
0 ,0
0,4
0
al
ue
0
40
60
ap
ap
id
C
al
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M
Sm
P
S&
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S&
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50
0/
50
B
0/
B
ar
ar
ra
ra
V
G
ro
S&
w
P
th
50
0
1,0
Fig. 14 — La capitalisation (1012 $) des différents indices de BARRA en novembre 2003.
(source : site web de BARRA)
38
Larges t Capt ($ M M)
287
287
300
242
250
200
150
100
12
50
4
0
S&
S&
P
P
0
50
50
0
ar
/B
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S&
o
Gr
P
w
50
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S&
P
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M
idC
ap
S&
P
40
0
Sm
C
all
ap
60
0
Fig. 15 — Les capitalisations les plus importantes des différents indices de BARRA sur le
marché américain (en novembre 2003). (source : site web de BARRA)
39
35
30
25
20
15
10
5
000
000
000
000
000
000
000
0
30 462
19 588
11 970 14 470
8 639
7 259
S&P 500
S&P
500/Barra
Growth
2 377
2 070
S&P
500/Barra
Value
M ean C apt ($ M )
S&P
M idC ap
400
719
613
S&P
SmallC ap
600
M edian C apt ($ M )
Fig. 16 — Les capitalisations moyennes et médianes des différents indices de BARRA sur
le marché américain (en novembre 2003). (source : site web de BARRA)
1 8 ,8 3
20
1 2 ,8 3
5 ,5 7
3 ,0 1
2 ,0 7
2 ,4 1
2 ,2 4
0
60
ap
ap
al
lC
id
C
Sm
M
P
S&
P
S&
P
50
0/
0/
Ba
Ba
rr
rr
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G
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40
0
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50
P
S&
50
P
S&
1 0 ,7 5
8 ,5 6
0
I m p lied
G r o w th
R ate
1 3 ,7 6
S&
P r ic e/ Bo o k
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Fig. 17 — Les rapport prix / valeur comptable et les taux de croissance estimés des
capitalisations des différents indices de BARRA en novembre 2003. (source : site web de
BARRA)
40
25
24,47
17,52
20
15
Return on
Assets
Return on
Equity
10,78 12,25
11,23
10
5
14,23
9,08
8,6
3,98
0
8,64
0
P 50
wth
S&
alu e
Gro
a
400
r
r
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00
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Cap
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B
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0
0
C
0
5
l
M
l
5
P
P
P
ma
S&
S&
S&
PS
S&
Fig. 18 — Les rendements des différentes indices en novembre 2003. (source : site web de
BARRA)
40
24,56
30
Dividend Yield
16,58
20
10
Dividend Payout
Ratio
35,99
29,97
1,87
1,51
0
2,23
1,19
13,3
0,89
00
P5
S&
wt h
alue
Gro
400
00
a
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Cap
p6
B
B
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00
00
M
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5
5
P
m
P
P
S&
PS
S&
S&
S&
Fig. 19 — Les rendements en dividendes et les taux de distributions des dividendes des
différentes indices en novembre 2003. (source : site web de BARRA)
41
0,6
0,4
0,2
Ea
Va
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ar
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Le
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-0,2
G
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y
M
om
en
tu
m
0
-0,6
S&P 500
S&P 500/Barra Growth
S&P 500/Barra Value
Fig. 20 — L’exposition du S&P 500, des actions de rendement, des actions de croissance
aux risques factoriels fondamentaux de BARRA (hors les facteurs de taille et de trading).
(source : site web de Barra)
et considérablement plus importantes ;
— leurs expositions aux risques économiques (EARNING YIELD, EARNING VARIABILITY, LEVERAGE) sont (qualitativement) similaires à celles des valeurs de rendement ;
— mais que leurs expositions au risque de rendement les rapprochent par contre des
valeurs de croissance.
Comme pour les modèles macroéconomiques, cette décomposition des risques systématiques permet de mieux gérer les risques systématiques de portefeuilles. Il faut cependant
noter que cette gestion suppose un suivi des évolutions des expositions. Ces dernières, en
effet, sont susceptibles de connaître des évolutions fortes et rapides, comme l’illustrent
celles de l’année 2003 (figures 23, 24, 25 et 26).
A plus long terme, les expositions aux facteurs sont susceptibles d’être caractérisées par
des évolutions tendancielles ou des retournements durables comme l’illustre par exemple
42
-1,352
-2,535
S& P SmallCap 600
-0,335
S& P M idCap 400
-1,654
0,149
S& P 500/B arra Growth
0,102
0,096
0,125
0,41
S& P 500/B arra Value
S& P 500
-3
-2
-1
Size
0,727
0
1
Size N onlinearity
Fig. 21 — La sensibilité des différentes catégories de titres aux facteurs de taille en novembre 2003. (source : site web de BARRA)
l’exposition au risque de volatilité des petites capitalisations (figure 27), ou encore l’exposition au risque de bénéfice sur cours (EARNING YIELD) pour les valeurs de croissance
et pour les petites capitalisations (figure 28).
Comme l’étude de Connor [1995] [Con95a] l’a notamment montré, les modèles à facteurs fondamentaux sont en général parmi les plus performants des modèles factoriels. Une
des raisons de cette efficacité semble notamment que la prise en compte des facteurs d’activité permet de capturer les risques sectoriels que des variables trop macroéconomiques
sont incapables de saisir. L’étude de Engerman [1993] [Eng93] (de BARRA) illustre en
particulier ce point. Son échantillon est relativement similaire à celui de Connor [1995]
[Con95a] puisqu’il comprend les rendements mensuels des 1200-1400 capitalisations importantes de la base Hicap de BARRA sur la période allant de janvier 1980 à décembre
1992.
Prenant en compte les valeurs fondamentaux et macroéconomiques du tableau 11, il
estime différents modèles factoriels comprenant en plus des variables sectoriels. Comme
l’illustrent les résultats du tableau 12, le pouvoir explicatif des seuls facteurs sectoriels est
de 32%. Rajouter soit 7 facteurs fondamentaux (market variability, success, size, trading
activity, growth, earnings-to-price, and book-value-to-price), soit les 7 facteurs macroé43
0,6
0,4
0,2
-0,4
Yi
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Le
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Di
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en
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s
Gr
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-0,2
M
om
en
tum
Vo
lat
ility
0
-0,6
S&P 500
S&P 500/Barra Value
S&P MidCap 400
S&P SmallCap 600
S&P 500/Barra Growth
Fig. 22 — L’exposition du S&P 500, des actions de rendement, des actions de croissance,
des capitalisations moyennes et petites aux risques factoriels fondamentaux de BARRA
(hors les facteurs de taille et de trading). (source : site web de Barra)
44
Fig. 23 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de croissance
(GROWTH) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRA VALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)
Fig. 24 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de mouvement
(MOMENTUM) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRA
VALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)
45
Fig. 25 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de transaction
(TRANSACTION) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRA
VALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)
Fig. 26 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de volatilité
(VOLATILITY) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRA
VALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)
46
Fig. 27 — L’évolution de l’exposition au risque de volatilité (VOLATILITY) pour le S&P
500, le S&P500 / BARRA GROWTH, le S&P500 / BARRA VALUE et le S&P SmallCap
600. (source : site web de BARRA)
Fig. 28 — L’évolution de l’exposition au risque de bénéfice sur cours (EARNING YIELD)
pour le S&P 500, le S&P500 / BARRA GROWTH, le S&P500 / BARRA VALUE et le
S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)
47
Fig. 29 —
Tab. 11 — Les facteurs dans les modéles économiques et fondamentaux de Engerman
[1993].
Fondamentaux
Market Variability
Success (Price Momentum)
Size
Consumer Cyclicals
Finance
Consumer Non-Cyclicals
Industrials
Utilities
Energy
Economique : variation non anticipée dans :
Interest Rates
BAA Spreads
Oil Price
Gold Price
Dollar's Value
Industrial Growth
Inflation Rate
source : Engerman [1993]
48
Tab. 12 — Comparaison des performances des modèles à facteurs fondamentaux et macroéconomiques avec les mêmes variables sectorielles - 1980-1992
Modèle
R2
moyen
6 secteurs uniquement
32.8%
6 secteurs and 7 facteurs fondamentaux
38.5%
6 secteurs and 7 facteurs économiques
35.9%
source : Engerman [1993]
Tab. 13 — Pourcentage des mois où les prix des facteurs sont statistiquement significativement différent de 0 (sans variable sectorielle) - 1980-1992
Facteurs fondamentaux
Facteurs économiques
Market Variability
63%
Interest Rates
58%
Success
64%
BAA Bond Spread
54%
Size
60%
Industrial Growth
51%
Trading Activity
52%
Inflation
36%
Growth
51%
Oil Price
44%
Earnings-to-price
51%
Gold Price
44%
Book value-to-price
43%
Dollar's Value
49%
source : Engerman [1993]
49
conomiques déjà utilisées, augmente légèrement et quasi-similairement la performance du
modèle (tableau 12). Une dernière raison de la performance des modèles fondamentaux
semble également résider dans la plus grande stabilité de la significativité des prix des
facteurs fondamentaux (tableau 13).22
Une des limites de la modélisation à la BARRA est de nécessiter une importante information sur les entreprises et de conduire à la prise en compte d’un nombre conséquent
de facteurs. De ce point de vue, les modèles macroéconomiques apparaissent plus compacts. Une autre alternative, qui a été au centre des recherches académiques depuis une
dizaine d’années, est le modèle de Fama & French, modèle qui est présenté dans un autre
document.
Références
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22
On pourrait cependant argumenter que le fait dominant du tableau 12 est que dans la plupart
des cas, une période sur deux, le prix de chaque facteur (fondamental ou macroéconomique) n’est pas
statistiquement significativement de 0.
50
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G. Connor and R. Korajczyk, (1983). A test for the number of
factors in an approximate factor model. Journal of Finance, 48(4),
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