Chapitre n°9 : « Racines carrées »
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Chapitre n°9 : « Racines carrées »
3ème3 2009-2010 Chapitre n°9 : « Racines carrées » I. Activités La notion de « racine carrée » a déjà été abordée dans le chapitre sur le théorème de Pythagore. En fin de calcul, on avait par exemple : AB2 =36 AB= 36 AB=6 . On a cherché le nombre dont le carré est égal à 36 . De même : 49=7 car 7×7=49 ; 81=9 car 9×9=81 ; 10 000=100 ; 1=1 ; 0=0 Mais ce n'est pas toujours aussi facile... 10 ne se calcule pas de tête ; on peut juste donner un encadrement entre deux entiers consécutifs. Puisque 10 est compris entre 3×3=9 et 4×4=16 , on a 3 104 La calculatrice donne 3,16227766 qui est une valeur approchée ! De même : 7 528 ; 31100032 ; 4 205 . II. Racine carrée d'un nombre positif Définition a représente un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre qui mis au carré (ou multiplié par lui-même) donne a . On le note a Exemples 3600=60 car 60 2=3600 0,01=0,1 car 0,1×0,1=0,01 25 5 5 5 5×5 25 . = car × = = 81 9 9 9 9×9 81 22 4 2 0,2 = = =0,04 . 10 100 0,04=0,2 car Remarques Le symbole ... s'appelle « radical ». 3ème3 2009-2010 Conséquence importante de la définition a représente toujours un nombre positif. On a : 2 a =a ou a× a=a On a traduit mathématiquement « La racine carrée de a est le nombre dont le carré est égal à a ». A connaître par cœur 0 2=0 ; 12 =1 ; 2 2=4 ; 32 =9 ; 42 =16 ; 52 =25 ; 6 2=36 ; 72 =49 ; 82 =64 ; 92 =81 ; 102 =100 ; 112 =121 ; 122 =144 ; 132 =169 ; 142 =196 ; 152 =225 Remarque Attention : 0,09=0,3 ; 0,36=0,6 ; etc. Faire la différence entre : « Carré, racine carrée, double et moitié » a carré de a double de a a 2a 2 a 2 a moitié de racine carrée a de a 9 81 18 4,5 3 4 16 8 2 2 1 1 2 0,5 1 2 4 4 1 2≈1,41 36 1296 72 18 6 III. Racines carrées et opérations Activité On remarque que : 1 = 1 1 1 = et • 4 2 4 2 ; la racine carrée semble « compatible » avec la division. • 9 16=34=7 et 916= 25=5 ; on obtient un résultat différent. • 36× 144=6×12=72 et 36×144= 5184=72 ; la racine carrée semble « compatible » avec la multiplication aussi. • Etc. Propriété a et b représentent deux nombres positifs. On a : a a = ; a×b= a× b b b 3ème3 2009-2010 Exemples 12,5× 2= 12,5×2= 25=5 50= 25×2= 25× 2=5× 2=5 2 2 = 2 = 1 = 1 50 50 25 5 2 2 2 = = 121 121 11 Remarque Le symbole × disparaît devant le symbole radical . Par exemple : 7 – 3× 2=7 – 3 2 . Carrés parfaits Ce sont les résultats des nombres entiers au carré : 225 ; 144 ; 49 ; 10 000 ... IV. Réduire une expression 1/ Exemples de base • A= – 3 28 5 – 6 2 – 9 5 Il faut faire le lien avec le calcul littéral. En effet, on peut voir les choses ainsi : A' =– 3 x8 y – 6 x – 9 y A' =– 9 x – 1 y A' =– 9 x – y De la même façon : A= – 9 2 – 1 5 A= – 9 2 – 5 • A1=7 3 – 5 11 – 12 318 11 A1= – 5 313 11 • B= 25 – 3 2 – 8 2 B= 2×5 2×– 3 2 – 8 2 B=5 2 – 3× 2× 2 – 8 2 B=5 2 – 3×2 – 8 2 B= – 6 – 3 2 B 1 = 3 4 – 35 3 B 1 = 3×4 – 3× 35 3 B 1 =– 34 35 3 B 1 =– 39 3 3ème3 2009-2010 • C= – 8 53 52 C= – 24 5 – 16152 5 (où C= – 1 – 22 5 5×3 5=3 5× 5=3×5=15 ) 2/ Mettre sous la forme a b Mettre D=– 6 72 sous la forme a b signifie que b doit être le plus petit possible. Comment faire ??? • On décompose 72 : il y a plusieurs possibilités ! 72=6×12 ; 72=8×9 ; 72=2×36 • Laquelle choisir ? Les deux dernières font apparaître les carrés parfaits 9 et 36 . On va choisir 72=2×36 afin d'obtenir un b le plus petit possible. • Calculons : D=– 6 72 D=– 6 36×2 D=– 6 36× 2 (on applique a×b= a× b ) D=– 6×6 2 D=– 36 2 • On a donc a=– 36 et b=2 . Exemples 12= 4×3= 4× 3=2 3 98= 49×2= 49 2=7 2 150= 25×6= 25 6=5 6 108= 4×27= 4× 27=2 27=2 9×3=2×3× 3=6 3 (il y a plus simple !) 5 96=5 16×6=5×4 6=20 6 Cas général • E=3 82 50 – 128 On décompose chaque nombre situé sous un radical en faisant apparaître le plus grand carré parfait. • E=3 4×22 25×2 – 64×2 On utilise la formule a×b= a× b • E=3 4× 22 25× 2 – 64× 2 On calcule les racines carrés des carrés parfaits • E=3×2 22×5 2 – 8 2 E=6 210 2 – 8 2 On calcule les termes de « même nature » • E=8 2 3ème3 2009-2010 V. Équation Exemple Trouve les solutions de x 2=36 . On trouve facilement que pour x=6 , on a 6 2=36 ; donc 6 est une solution. 2 Il y a une autre solution moins visible, c'est – 6 . En effet : – 6 = – 6× – 6=36 . Justification : x 2=36 2 x – 36=36 – 36 x 2 – 36=0 2 2 (on reconnaît a – b =aba – b ) x 2 – 6 2=0 x6 x – 6=0 (on a une équation produit) Si un produit de facteurs est nul, l'un de ces deux facteurs est égal à zéro. • Soit x6=0 x=– 6 • Soit x – 6=0 x=6 On retrouve les deux solutions. Propriété a représente un nombre positif. Les solutions de l'équation x 2=a sont a et – a . Exemples Il y a deux types d'exemples. • Soit a est un carré parfait : les solutions de x 2=144 sont 12 et – 12 . • Soit a n'est pas un carré parfait : les solutions de x 2=13 sont VI. Remplacer dans une expression Exemple 1 On considère A= – 2 x 27 x – 8 . Calcule A pour x= 2 . 2 A= – 2 2 7 2 – 8 A= – 2×27 2 – 8 A= – 47 2 – 8 A= – 127 2 13 et – 13 3ème3 VII. Rappels sur les puissances (exemples) Exemple 1 A=2 – 5×4 3×85 A=2 – 5×2 2 3×23 5 –5 6 15 A=2 ×2 ×2 A=2 – 5615 A=216 Règles de calcul a n×a p=a n p an an n– p n p =a ou encore – p =a p a a n p np a =a Exemple 2 49×10 3×6×10 – 8 B= 14×10 – 2 49×6 103×10 – 8 B= × 14 10 – 2 7×7×2×3 10 – 5 B= × –2 2×7 10 –3 B=21×10 B=0,021 (écriture décimale) B=2,1×101 ×10 – 3 (on remplace 21 par 2,1×101 ) B=2,1×101 – 3 B=2,1×10 – 2 (écriture scientifique) 2009-2010