racine carrée

Racine carrée a et b sont des nombres strictement positifs. €
I. Définition €
a est le nombre positif dont le carré est égal à a . Autrement dit : €
( a)
2
= a ou encore : €

x 2 = a€
⇔ x = a x>0 
€
x 2 = a
⇔ x = − a Remarque 1 : x<0 
x 2 = a possède deux solutions x = ± a . Ainsi l’équation €
Par conséquent : •
•
€ €x 2 = x si x > 0 €
x 2 = − x si x < 0 €
€
€ Remarque 2 : tout carré étant positif, la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas. II. Propriétés Elles découlent de la définition. 0 = 0 ab = a × b €
1 = 1 et €
x2 = x €
€
€
a
a
=
b
b
€
a2 =
( a)
2
= a Remarque : les deux erreurs fréquentes à éviter soigneusement sont a + b ≠ a + b et a 2 + b 2 ≠ a + b . €
III.
€
Ecriture de la racine de a sous la forme d’une puissance 1
1. Définition de a 2 1
2
On définit a en supposant que cette puissance de a suit les mêmes règles de calcul que a n . €
les puissances entières de 2
1
1
1
×2
2
2
€  a 2  = a 2 = a1 = a . On voit que a€
Alors vérifie l’équation x = a ⇒ x = a ou − a .  
€
1
Si a 2 était égal à −
€
1
Donc a 2 est égal à € €
€
1
1
− a 2 = −a€ or (a 2 ) 2 = a
a , (a 2 ) 2 serait égal à €
2×
1
2
= a . 1
a , et (a 2 ) 2 = a 2 = a . €
€
2. Propriétés : comme plus haut €
€
€
1
2
0 = 0 1
2
€
1
2
(ab) = a × b
3. a
€
−
1
2
=
1
2
€ 2
1
2
1 = 1 1
1
= 1 a
a2
€
1
 12 
2 2
a
=
a
( ) = a  
 
1
2
1
2
a
 a
= 1  b
b2
€
5
3
 8   2 × 27 
€
Exercice 1 : Ecrire l’expression 
 ×
 sous la forme d’une seule 8
 3 3 

puissance. €
4
3
Exercice 2 : Idem avec l’expression 2 × 8 × 64 €