Chap V : Equilibre des corps flottants.

Chap V : Equilibre des corps flottants.
1- Définitions :
1- Corps immergé : un corps est dis immergé dans un liquide si tout son volume se situe
sous la surface libre du liquide.
2- Corps flottant : Un corps flottant est un corps dont une partie se trouve au dessus de la
surface libre du liquide et l’autre partie en dessous.
3- Centre de gravité : C’est le point d’application de la résultante de la force de gravité.
2- Principe d’Archimède :
Si un corps est immergé dans un liquide, il subit l’action d’une force de direction verticale
opposée à la gravité et égale au poids du liquide déplacé par le corps. Le point d’application
de cette force est le centre de gravité du volume déplacé, ce point est appelé centre de
carène.
3- Le Métacentre :
Soit un corps flottant de centre de gravité « G » et de centre de carène « B ».
M
G
B
G
B
B1
Si le corps effectue un petit déplacement angulaire, le centre de carène se déplace à « B1 », le
métacentre peut être défini comme étant le centre d’oscillations du corps flottant ou c’est le
centre de l’arc « B B1 ».
a- Définition :
La distance métacentrique « MG » est la distance entre le métacentre et le centre
de gravité du corps.
b- Détermination analytique de la distance métacentrique :
X
M
δ
G
B
A
A
δ
G
G
F
B
B1
F
L
δ
X
D
X
montre un corps flottant en équilibre, si ce dernier est incliné d’un angle (θ), une
portion du corps immerge dans l’eau tandis qu’une autre portion semblable à la première
émerge en même temps. Le moment de chaque portion par rapport à (B) peut être déterminer
comme suit :
dS = θxdx
S : section de la portion.
Le moment sera :
M = ∫ ρgxldxx
⇒ M = ∫ ρgx 2 θldx
Le moment total des deux portions :
M = 2 ∫ ρgx 2 θldx
Ce dernier doit être égale au moment de déplacement du centre de caréné de (B) vers (B1),
donc :
ρgV(BB1 ) = ∫ 2θρglx 2dx
V : Volume du liquide déplacé
BB 1 = BM θ
θ : angle d’inclinaison assez petit
⇒ V(BM) = 2 ∫ x 2 ldx
En posant : dA=ldx
⇒ V(BM) = 2 ∫ x 2 dA
Il est claire que ( 2∫ x 2dA ) est le moment quadratique de la surface de flottaison par rapport à
l’axe (x,x) .
I = 2∫ x 2 dA
⇒ V(BM) = I
I
⇒ BM =
V
La distance métacentrique sera :
GM = BM− BG =
I
− BG
V
(V.1)
4- Stabilité des corps immergés :
Un corps immergé ou flottant est dit stable si il retourne à ça position initiale après un
certain déplacement.
La position relative du centre de gravité et du centre de carène détermine l’état de stabilité
d’un corps immergé.
Considérant un ballon complètement immergé dans l’air comme le montre la figure
W
suivante :
FB
FB
B
B
G
G
G
B
FB
G
G
B
B
W
FB
W
(a)
W
(b)
(c)
(a) représente un équilibre stable, (b) un équilibre instable, (c) un équilibre neutre.
Soit la partie du ballon qui contient une masse lourde, donc le centre de gravité est plus bas
que le centre de carène.
Pour un état d’équilibre (FB=W) la force de poussée est égale au poids du ballon. Si
on effectue un petit déplacement angulaire dans le sens des aiguilles d’une montre , le couple
(FB, W) tendra à remettre le ballon dans sa position initiale, c’est l’équilibre stable de la figure
(a), où le centre de gravité est plus bas que le centre de carène.
Pour la figure (b) où le centre de gravité est plus haut que le centre de carène, si on
effectue un déplacement angulaire au sens des aiguilles d’une montre, le couple (FB, W) sera
aussi dans le même sens et le corps se renverse et ne retourne pas à sa position initiale, c’est
l’équilibre instable.
Quand le centre de gravité se superpose avec le centre de carène (figure(c)), l’équilibre
est, dit neutre, car le couple (FB, W) sera nul.
En résumé :
a- Equilibre stable : quand (FB= W) et « G » est plus bas que « B ».
b- Equilibre instable : quand (FB= W) et « G » est plus haut que « B ».
c- Equilibre neutre : quand (FB=W) et « G » et « B » se superpose.
5- Stabilité des corps flottants :
L’équilibre des corps flottants est fonction de la position relative du Métacentre « M » par
rapport au centre de gravité « G » et du centre de carène « B ».
G
G
M
G
B
B
B B1
-
Si i M se trouve au dessus de G et B c’est un équilibre stable.
Si i M se trouve au dessous de B ou G c’est un équilibre instable.
Si i M se trouve superposée à G c’est un équilibre neutre.