Sommaire - Académie en ligne

Transcription

Séquence 5
Sommaire
Pré-requis
Généralités sur les suites numériques
TICE
Synthèse du cours
Exercices d’approfondissement
Séquence 5 – MA11
1
© Cned - Académie en ligne
1 Pré-requis
왘 Exemple 1
Suite chronologique
Le tableau suivant indique la population estimée, en milliers, de trois départements français entre 2000 et 2009.
Ardèche
Ardennes
Orne
2000
288,4
289,6
292,6
2001
291,1
289,0
292,9
2002
293,9
288,5
293,1
2003
297,0
287,8
293,2
2004
300,0
287,1
293,1
2005
303,1
286,4
293,1
2006
306,2
285,7
292,9
2007
309,5
284,7
292,6
2008
311,5
284,2
292,3
2009
313,7
283,2
291,6
(Source : INSEE)
Indiquer l’évolution de chaque population.
Représenter graphiquement les données précédentes. On commencera la
graduation de l’axe des ordonnées à partir de 280.
왘 Solution
L‘évolution de la population en Ardèche est croissante entre 2000 et 2009.
L‘évolution de la population en Ardennes est décroissante entre 2000 et 2009.
L‘évolution de la population dans l’Orne est croissante puis décroissante.
3
315
Population
310
en Ardèche,
Ardennes et Orne
305
de 2000 à 2009
300
(en milliers
d’habitants)
295
290
Ardennes
285
Orne
280
Ardèche
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Remarque
Ne connaissant pas l’évolution de la population entre deux recensements consécutifs, on ne relie pas les points associés aux
données précédentes. Plutôt que d’indiquer l’année sur l’axe des
abscisses (un peu tassée sur le graphique précédent), on a l’habitude de la remplacer par son numéro dans l’ordre chronologique
(année 0 pour 2000, année 1 pour 2001…) ce qui donne :
315
Population
en Ardèche,
Ardennes et Orne
de 2000 à 2009
(en milliers
d’habitants)
310
305
300
295
290
Ardèche
Ardennes
Orne
285
280
0
왘 Exemple 2
4
1
2
3
4
5
6
7
Image par une fonction
Soit f la fonction définie sur par f (n ) =
3n − 2
.
n2 + 1
Calculer l’image de 0, de 1, de 2, de 10 et de 50 par cette fonction.
8
9
왘 Solution
f(0)=
3 × 0-2
f(1)=
3 × 1-2
f(2)=
02 + 1
12 + 1
3 × 2-2
= −2 L’image de 0 par f est –2
=
1
1
L’image de 1 par f est .
2
2
=
4
4
L’image de 2 par f est .
5
5
22 + 1
3 × 10-2 28
28
f(10)=
=
L’image de 10 par f est
.
101
102 + 1 101
3 × 50-2 148
148
f(50)=
=
L’image de 50 par f est
.
2501
502 + 1 2501
왘 Exemple 3
Algorithme de calcul
Soit l’algorithme suivant :
t$IPJTJSVOOPNCSFRVFMPOBQQFMMFUFSNFJOJUJBM
t-ÏMFWFSBVDBSSÏ
t.VMUJQMJFSQBSMFSÏTVMUBUPCUFOV
t"EEJUJPOOFSBVSÏTVMUBUPCUFOV
t-FOPNCSFPCUFOVEFWJFOUMFOPVWFBVUFSNFJOJUJBM
Exécuter cet algorithme à quatre reprises pour un terme initial égal à 0,5 et
compléter le tableau suivant :
Nombre d’exécution
de l’algorithme
0
1
2
3
4
0,5
(terme initial)
Résultat obtenu
Exécuter cet algorithme à trois reprises pour une liste commençant par le
nombre –2 et compléter le tableau suivant :
de l’algorithme
Résultat obtenu
왘 Solution
2
0, 5 → 0, 5 = 0, 25 → 0, 25 × 2 = 0, 5 → 0, 5 + 1 = 1, 5
1, 5 → 1, 52 = 2, 25 → 2, 25 × 2 = 4 , 5 → 4 , 5 + 1 = 5, 5
5, 5 → 5, 52 = 30, 25 → 30, 25 × 2 = 60, 5 → 60, 5 + 1 = 61, 5
61, 5 → 61, 52 = 3782, 25 → 3782, 25 × 2 = 7564 , 5 → 7564 , 5 + 1 = 7565, 5
5
de l’algorithme
Résultat obtenu
0
1
2
3
4
terme initial : 0,5
1,5
5,5
61,5
7565,5
−2 → ( −2)2 = 4 → 4 × 2 = 8 → 8 + 1= 9
9 → 92 = 81→ 81× 2 = 162 → 162 + 1= 163
163 → 1632 = 26569 → 26569 × 2 = 53138 → 53138 + 1= 53139
de l’algorithme
Résultat obtenu
6
0
1
2
3
terme initial : -2
9
163
53 139
2
A
Activité 1
Généralités sur
les suites numériques
Activités
Réinscriptions
Une enquête réalisée sur les lecteurs d’une bibliothèque révèle que chaque
année :
– 98 % des lecteurs inscrits l’année précédente reprennent un abonnement
– on compte 200 nouveaux abonnés
Cette année, la bibliothèque compte 5000 abonnés. On note u 0 = 5000 .
Quel sera le nombre d’abonnés au bout d’un an ? On note ce nombre u .
1
Quel sera le nombre d’abonnés au bout de deux ans ? On note ce nombre u .
2
On note u le nombre d’abonnés au bout de n années.
n
a) Que représente un +1 ?
b) Expliquer la formule : un +1 = 0, 98 × un + 200
On veut prévoir le nombre d’inscrits au bout de 5 ans.
a) Quels termes doit-on connaître pour pouvoir calculer u 5 ?
b) Calculer u 5 (arrondir à l’unité près).
La direction de la bibliothèque établit que le nombre d’inscrits au bout de n
années est donné par la formule : un = 10000 − 5000 × 0, 98n
a) Vérifier que les valeurs de u 0 , u1 et u 2 correspondent aux valeurs trouvées
dans les questions précédentes.
b) Calculer u 8 . Des calculs intermédiaires ont-ils été nécessaires pour obtenir
u8 ?
Activité 2
Coloriage
On effectue un coloriage en plusieurs étapes d’un carré de côté de longueur 4 cm.
Première étape du coloriage :
On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en
bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-après.
7
Quel est le nombre de carré colorié ? On note A1 le
nombre de carrés coloriés à la 1ère étape.
Deuxième étape du coloriage :
On partage chaque carré non encore colorié en quatre
carrés de même aire et on colorie dans chacun le carré
situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure
ci-contre.
Quel est le nombre de carrés coloriés ? On note A2 le
nombre de carrés coloriés à la 2ème étape.
On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé.
Pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on désigne par An le nombre
de carrés coloriés après n coloriages.
Réaliser la figure obtenue après 3 coloriages. Que vaut A3 ?
Compléter le tableau suivant :
Nombre n de coloriages
1
2
3
4
Nombre de carrés coloriés An
a) Entre le premier et le deuxième coloriage, combien de carrés coloriés
rajoute-t-on ? On peut en déduire la formule : A2 = A1 + 3 .
b) Entre le deuxième et le troisième coloriage, combien de carrés coloriés
rajoute-t-on ? Etablir une égalité liant A2 et A3 .
c) Entre le troisième et le quatrième coloriage, combien de carrés coloriés
rajoute-t-on ? Etablir une égalité liant A3 et A4 .
d) Entre le nième coloriage et le coloriage suivant -c’est-à-dire le (n+1)ième
coloriage-, conjecturer le nombre de carrés coloriés rajoutés ? En déduire
une égalité liant An et An +1 .
B
Cours
Définition
Une suite de nombres réels est une fonction définie sur (ou une partie de )
à valeurs dans .
8
Remarque
désigne l’ensemble des entiers naturels c’est-à-dire l’ensemble
{ 0 ; 1 ; 2 ; …}
Intuitivement, une suite est une liste de nombres qui est numérotée par des entiers naturels.
Notation et vocabulaire
– u ou ( un ) désigne la suite (avec n un entier naturel).
Remarque
Il ne faut pas confondre le
terme un avec la suite ( un ).
Il faut distinguer l’écriture
un +1 de un + 1 .
Seuls les entiers naturels
peuvent admettre une image
par une suite. Par exemple,
« u −5 » et « u1,3 » ne sont pas
définis pour une suite.
왘 Exemple 4
– Le nombre un (on lit « u ène » ou « u indice ène ») est le
terme de rang n de la suite u . C’est l’image du nombre
n par la suite u . D’ailleurs, on trouve parfois l’écriture
u (n ) .
Par exemple, u 2 est le terme de rang 2 de la suite u . C’est
l’image de 2 par u .
– Le premier terme de la suite est appelé terme initial.
C’est le plus souvent le terme de rang 0 : u 0 ou le terme
de rang 1 : u1 .
– Le terme qui précède un est le terme un −1 (pour n ≥ 1)
et le terme qui suit un est le terme un +1 .
Dans l’activité , ( un ) est la suite qui donne le nombre d’abonnés à la bibliothèque.
un désigne le nombre d’abonnés au bout de n années. Par exemple, u2 désigne
le nombre d’abonnés au bout de 2 ans.
Deux modes de construction d’une suite
t4VJUFEÏGJOJFFYQMJDJUFNFOU
Définitions
Une suite u est EÏGJOJFEFGBÎPOFYQMJDJUF quand le terme un est exprimé
en fonction de n.
왘 Exemple 5
왘 Solution
1
Soit ( un ) la suite définie pour tout n ≥ 1 par un = 1+ .
n
( un ) est définie explicitement. Calculer u1 , u 5 et u100 .
1
u1 = 1+ = 2
1
1
u5 = 1+ = 1, 2
5
1
u100 = 1+
= 1, 01 .
100
9
왘 Exemple 6
왘 Solution
Soit f ( x ) = x 2 − 2 . Soit ( v n ) la suite définie pour tout n ≥ 0 par v n = f (n ) .
Calculer v 1 , v 5 et v 100 .
Pour calculer le terme v 1 , on calcule l’image de 1 par la fonction f ' .
v 1 = f (1) = 12 − 2 = −1
v 5 = f (5) = 52 − 2 = 23
v 100 = f (100 ) = 1002 − 2 = 9998 .
t4VJUFEÏGJOJFFYQMJDJUFNFOU
Définitions
Une suite est EÏGJOJF QBS SÏDVSSFODF quand l’on en donne le(s) terme(s)
initial(aux) et une relation qui définit chaque terme à partir du(des) terme(s)
précédent(s).
On dit alors que la suite est définie par une SFMBUJPOEFSÏDVSSFODF.
왘 Exemple 7
Soit ( un ) la suite définie par :
u0 = 0, 5 et, pour tout n ≥ 0 , par un +1 = 3un + 7 .
( un ) est définie par récurrence car le terme un +1 est défini en fonction du terme
qui le précède un .
Faire une phrase pour traduire l’égalité un +1 = 3un + 7 .
Calculer u1 , u 2 et u 3 .
Calculer u 5 .
왘 Solution
N’importe quel terme de la suite u est égal au triple du précédent augmenté
de 7.
Ainsi u1 est égal au triple de u 0 augmenté de 7 :
u1 = 3 × u0 + 7 = 3 × 0, 5 + 7 = 8, 5
De la même façon, u 2 = 3 × u1 + 7 = 3 × 8, 5 + 7 = 32, 5 et
u 3 = 3 × u2 + 7 = 3 × 32, 5 + 7 = 104 , 5
Pour calculer u 5 , on doit d’abord calculer la valeur de u 4 :
u 4 = 3 × u 3 + 7 = 3 × 104 , 5 + 7 = 320, 5
u5 = 3 × u 4 + 7 = 3 × 320, 5 + 7 = 968, 5 .
왘 Exemple 8
Soit ( an ) la suite définie par :
a0 = −3 et, pour tout n ≥ 0 , par an +1 = (an )2 − 5 .
2
Faire une phrase pour traduire l’égalité an +1 = (an ) − 5 .
Calculer a1 , a2 .
Calculer a 4 .
10
Remarque
N’importe quel terme de la suite a est égal au terme
왘 Solution
précédent élevé au carré diminué de 5.
Pour calculer un terme
donné d’une suite définie par
récurrence, il faut avoir calculer tous les termes précédents.
Par exemple, pour calculer
a20 , on doit d’abord calculer
a19 qui nécessite le calcul de
a18 etc.
Ainsi a1 est égal à a0 élevé au carré diminué de 5 :
2
2
a1 = a0 − 5 = ( −3) − 5 = 4
De la même façon, a2 = a12 − 5 = 42 − 5 = 11
Pour calculer a 4 ,on doit d’abord calculer la valeur de
a3 :
a3 = a22 − 5 = 112 − 5 = 116
a4 = a32 − 5 = 1162 − 5 = 13451.
Représentation graphique
Définition
Dans repère (O ;i , j ) , la représentation graphique d’une suite u est l’ensemble des QPJOUTEFDPPSEPOOÏFT n ;un ).
왘 Exemple 9
Soit u la suite définie par un = n 2 − 5 pour tout entier naturel n.
Calculer u 0 , u1 , u 2 , u 3 , u 4 et u 5 .
Représenter dans un repère les 6 premiers points associés à la suite u .
왘 Solution
2
u 3 = 32 − 5 = 4
u1 = 12 − 5 = −4
u 4 = 42 − 5 = 11
u2 = 22 − 5 = −1
u5 = 52 − 5 = 20
u 0 = 0 − 5 = −5
Remarque
Dans la représentation
d’une suite, on ne rejoint pas
les points entre eux.
Si on rejoignait les points
entre eux cela signifierait
que tous les réels de l’intervalle [0 ; 5] admettent une
image par la suite u . Ceci
est contraire à la définition
d’une suite (par exemple,
« u
» n’existe pas).
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
1,2
–5
11
왘 Exemple 10
Soit v la suite définie par récurrence :
v 0 = 0, 5 et v n +1 = 2v n − 1 pour tout entier naturel n.
Calculer v 1 , v 2 , v 3 et v 4 .
Représenter dans un repère les 5 premiers points associés à la suite v .
왘 Solution
v 1 = 2v 0 − 1= 2 × 0, 5 − 1= 0
v 3 = 2v 2 − 1= 2 × ( −1) − 1= −3
v 2 = 2v 1 − 1= 2 × 0 − 1= −1
v 4 = 2v 3 − 1= 2 × ( −3) − 1= −7
0
0
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Sens de variation
Définitions
Soit une suite u définie sur .
u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n,
un ≤ un +1 (resp. un < un +1 ).
u est une TVJUF EÏDSPJTTBOUF (resp. strictement décroissante) si, pour tout
entier n, un ≥ un +1 (resp. un > un +1 ).
u est une suite constante si, pour tout entier n, un = un +1 .
.ÏUIPEFTQPVSÏUVEJFSMFTFOTEFWBSJBUJPOEVOFTVJUF
tOn étudie le signe de la différence un +1 − un de deux termes consécutifs.
Si, pour tout entier n, 0 ≤ un +1 − un alors un ≤ un +1 et donc u est une suite
croissante.
Si, pour tout entier n, 0 ≥ un +1 − un alors un ≥ un +1 et donc u est une suite
décroissante.
sLorsque, pour tout entier naturel n, une suite u est définie explicitement à
l’aide d’une fonction f par un = f (n ) , on étudie le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[ .
Si f est croissante sur [0 ; + ∞[ , alors u est croissante.
Si f est décroissante sur [0 ; + ∞[ , alors u est décroissante.
12
왘 Exemple 11
왘 Solution
Soit v la suite définie par v n = n 2 + 2n − 1pour tout entier naturel n.
Etudier le sens de variation de cette suite en utilisant chacune des deux méthodes
précédentes.
t0OÏUVEJFMFTJHOFEFMBEJGGÏSFODF v n +1 − v n :
Ecrivons ce que vaut v n +1 . Pour cela, on remplace n par (n+1) dans l’expression
2
de v n : v n +1 = (n + 1) + 2(n + 1) − 1
= (n 2 + 2n + 1) + (2n + 2) − 1
v n +1 − v n = (n 2 + 2n + 1) + (2n + 2) − 1− (n 2 + 2n − 1)
= 2n + 3
Comme n ≥ 0 , v n +1 − v n ≥ 0 et ainsi v est une suite croissante.
sOn remarque que v n = f (n ) avec f ( x ) = x 2 + 2x − 1. f est une fonction polynôme de degré 2 ayant pour tableau de variation le tableau suivant :
x
variations
de f
–∞
–1
+∞
Ainsi f est une fonction croissante sur [0 ; + ∞[ et donc v est une suite croissante.
C
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
On considère la suite ( un ) définie par un = (n + 3) × 2n
La suite u est–elle définie explicitement ou par récurrence ?
Calculer u , u , u et u .
0
1
5
12
Exercice 2
u = 7
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier n par  0
un +1 = 2un − 8
La suite u est-elle définie explicitement ou par récurrence ?
Ecrire une phrase pour traduire l’égalité u
n +1 = 2un − 8
Calculer u , u , u et u .
1
Exercice 3
2
3
6
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier n par un = (n + 2)(n − 1)
Calculer u , u , u , u et u .
0
1
2
3
4
Représenter les points associés au cinq premiers termes de la suite ( u ) dans
n
un repère.
13
Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.
Exercice 4
u = 6
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier n par  0
un +1 = un + 5
Calculer u , u , u , u et u .
0
1
2
3
4
Représenter les points associés au cinq premiers termes de la suite ( u ) dans
n
un repère.
Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.
Exercice 5
On considère la suite ( u ) définie pour tout entier n par u = n 2 + 3n − 1.
n
n
Donner l’expression de un +1 , un −1 et u 2n .
.ÐNFRVFTUJPOBWFDMBTVJUF v définie pour tout entier n par v = 2n (n + 5) .
n
n2
.ÐNFRVFTUJPOBWFDMBTVJUF w définie pour tout entier n par w =
n n +1.
Exercice 6
On considère la suite ( an ) définie pour tout entier n par an = n (n + 3)
Donner l’expression de a
n +1 en fonction de n.
Calculer a
n +1 − an .
En déduire le sens de variation de la suite a .
Exercice 7
Exercice 8
n +1
On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier n par v n =
.
n +2
Déterminer le sens de variation de cette suite.
Soit f une fonction définie sur
donnée ci-dessous.
0;+∞ 
Soit la suite u définie pour tout n
par un = f (n ) .
10
Lire les valeurs des 6 premiers
termes de cette suite.
9
8
Quelle conjecture peut-on émettre
sur le sens de variation de cette
suite ?
7
6
5
4
3
2
1
0
0
14
et dont la représentation graphique est
1
2
3
4
5
6
Exercice 9
A partir des exemples ci-dessous, définir une suite de la façon suivante :
- indiquer ce que représente le terme général
- indiquer le terme initial
- donner la formule (explicite ou par récurrence) qui définit la suite.
Pierre place 500 € sur un compte rémunéré au taux annuel de 3 %.
Chaque année, la largeur d‘une dune diminue de 5 m sous l’effet de l’érosion.
Sa largeur en 2010 est de 50 m.
Le prix d’une course de taxi est défini de la façon suivante : prise en charge
2€ ; prix du kilomètre 1,48 €
Un laboratoire met en culture 100 bactéries d’une souche donnée. Chaque
heure le nombre de bactéries double.
Exercice 10
Au début d’une épidémie de grippe, un organisme réalise une étude sur le
nombre de personnes malades dans une ville. Le premier jour, on recense
5 000 personnes malades. Chaque jour, on constate que 10 % des personnes guérissent mais que 600 nouveaux cas de maladie sont déclarés.
On note .n le nombre de malades le nième jour de l’étude. Ainsi .1 = 5000 .
Que valent . et . ?
2
3
Donner l’expression de .
n +1 en fonction de .n .
L’organisme établit que, pour tout entier n ≥ 1, .n = 6000 − 1000 × 0, 9n −1 .
Retrouver les valeurs de . et . .
2
3
Calculer . .
15
L’organisme estime que le seuil épidémique est atteint lorsque le nombre de
malades une même journée dépasse 5 800 cas. A partir du combientième jour
de l’étude dépasse-t-on le seuil épidémique ?
15
3 TICE
A
Calcul de termes d’une suite
et représentation graphique
avec le tableur
왘 Exemple 12
Suite définie explicitement
Suite définie explicitement
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier n par un = n 2 − 5 .
Le but cet exemple est d’obtenir une page de calculs du tableur
« OpenOffice.org Calc » affichant les valeurs des termes u 0 , u1 , u 2 … et la
représentation graphique des termes de la suite.
Afficher une colonne indiquant le rang d’un terme de la suite.
Recopier la capture d’écran ci-dessous.
Sélectionner la plage indiquée ci-dessous.
A l’aide de la poignée de recopie, effectuer un « copier-glisser » de la plage
A2-A3 dans la colonne A (jusqu’à A27 par exemple) comme ci-dessous :
16
Afficher une colonne indiquant les termes successifs de la suite.
Recopier la capture d’écran ci-dessous. Dans la cellule B2, rentrer la formule suivante « =A2^2–5 ». Cette formule correspond à la formule un = n 2 − 5 qui définit la suite u : en effet, u 0 = 02 − 5 . Sélectionner la cellule B2 :
Comme précédemment, à l’aide de la poignée de recopie, effectuer un « copierglisser » de la cellule B2 dans la colonne B (jusqu’à B27 par exemple) comme
ci-dessous :
17
Représenter graphiquement les premiers termes.
Sélectionner la plage de données A1 : B27 et cliquer sur l’icône diagramme
Une boîte de dialogue s’affiche. Sélectionner le type de diagramme « Ligne » puis
« Points seuls » puis « suivant ».
Sélectionner « Série en colonnes » puis cocher « Première ligne comme étiquette » et « Première colonne comme étiquette » puis « Suivant ». Cliquer à
nouveau sur « Suivant » puis sur « Terminer ». On obtient la représentation graphique ci-dessous.
700
600
500
400
300
un
200
100
0
–100
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11121314 1516 1718 1920 2122 232425
왘 Exemple 13
Suite définie par récurrence
Suite définie par récurrence
u = 0, 5
On considère la suite ( un ) pour tout entier n>0 par  0
un +1 = 2un − 1
Reproduire la feuille de calcul suivante :
Dans la cellule B3, rentrer la formule suivante « =2*B2–1 ». Cette formule
correspond à la formule de récurrence un +1 = 2un − 1 qui définit la suite u :
en effet, u1 = 2u 0 − 1. A l’aide de la poignée de recopie, effectuer un « copierglisser » de la cellule B3 dans la colonne B (jusqu’à B16 par exemple) comme
ci-dessous :
19
B
Algorithmique et calculatrice
pour les suites définies par
récurrence
Langage
왘 Exemple 14
« naturel »
Pour une suite définie par récurrence et dont le terme initial est u , écrire un
0
algorithme qui permet de calculer un terme de rang donné.
Calculer le terme u pour la suite définie pour tout entier n>0 par
5
u 0 = 0, 5

un +1 = 2un − 1
왘 Solution
Entrées : u 0 , k (rang du terme à calculer), f (fonction associée à la formule de
récurrence) et A (variable qui sert à stocker les calculs)
Initialisation : A = u 0 ; i = 0
Traitement :
Pour i allant de 1à k
.FUUSFG"
EBOT"
.FUUSFJEBOTJ
Fin du Pour
Sortie :
Afficher « uk =» A
Fin de l’algorithme
La fonction f associée à cette suite est f ( x ) = 2x − 1
Présentons les résultats dans un tableau :
f (A)
Initialisation
i
0,5
0
Etape 1
2 × 0, 5 − 1= 0
0
1
Etape 2
2 × 0 − 1= −1
–1
2
Etape 3
2 × ( −1) − 1= −3
–3
3
Etape 4
2 × ( −3) − 1= −7
–7
4
Etape 5
2 × ( −7) − 1= −15
–15
5
Sortie
20
A
–15
Langage
« calculatrice »
Casio
5FYBT*OTUSVNFOU
A\
Avant de faire fonctionner l’algorithme, il faut
rentrer l’expression de la fonction f associée à la
formule de récurrence dans le menu « f(x) » dans Y1
Avant de faire fonctionner l’algorithme, il
faut rentrer l’expression de la fonction f
associée à la formule de récurrence dans le
menu « Graph Func »
Remarque
Cet algorithme permet le calcul de termes d’une suite dont le
terme initial est u 0 .
- Certaines calculatrices ont un menu « suite » qui permet d’obtenir directement les termes d’une suite définie par récurrence.
- Pour les suites définies explicitement, procéder de la même
façon que pour étudier une fonction. La table de valeurs commencera à 0 si le terme initial est u 0 , à 1 si le terme initial est
u1 … et le pas sera réglé à 1.
C
Exercice 11
Exercices d’apprentissage
8n 2 − 2
Soit la suite ( un ) définie pour tout entier n par un =
.
n2 + 3
Afficher sur la feuille de calcul d’un tableur les valeurs des termes u 0 , u1 , u 2 ,
… , u 50 et la représentation graphique des termes de la suite.
21
Exercice 12
v = 4
.
Soit la suite ( v n ) définie pour tout entier n > 0 par  1
v n +1 = 1, 5v n − 10
Afficher sur la feuille de calcul d’un tableur les valeurs des termes v , v , …,
1 2
v 10 et la représentation graphique des termes de la suite.
&O VUJMJTBOU MB GPODUJPO 40..& EV UBCMFVS FGGFDUVFS MB TPNNF EFT UFSNFT
consécutifs de la suite v 1 + v 2 + ... + v 10 .
Exercice 13
Pour une suite définie par récurrence et dont le terme initial est u , écrire un
1
algorithme qui permet :
- de calculer le terme de rang N donné.
- d’effectuer la somme des termes consécutifs de la suite du terme initial au
terme de rang N.
Programmer cet algorithme sur une calculatrice.
Exécuter cet algorithme pour la suite ( v ) de l’exercice cd : calculer le
n
terme v 10 et la somme des termes consécutifs de la suite : v 1 + v 2 + ... + v 10 .
Exercice 14
.POTJFVS%VQPOUTPVIBJUFBDIFUFSVOTUVEJPRVJDPßUFé/FEJTQPTBOU
pas de l’argent nécessaire à cet achat, il contracte un prêt sur 20 ans auprès de
sa banque.
Le remboursement de ce prêt se fait de la façon suivante :
- la première année, l’annuité est de 4 000 €
- chaque année, l’annuité augmente de 3 % par rapport à l’année précédente.
On note an l’annuité remboursée la nième année. Ainsi, a1 = 4000
Calculer a et a .
2
3
Etablir une formule de récurrence liant a
n +1 et an .
Sur la feuille de calculs d’un tableur, afficher la suite des annuités.
En utilisant la fonction « Somme » du tableur, déterminer le montant total du
prêt.
Exercice 15
Le césium 137 est un élément radioactif. On appelle « période » la durée nécessaire pour que la moitié des éléments du césium se désintègre.
Une centrale nucléaire enterre 10 000 g (soit 10 kg) de césium 137. On note
c 0 = 10000 cette masse initiale et c n la masse restante après n périodes.
Calculer c .
1
Etablir une formule de récurrence liant c
n +1 et c n .
Utiliser un tableur pour afficher les termes de la suite ( c ).
n
Combien de périodes sont nécessaires pour que la masse de césium 137 soit
inférieure à 5 g ?
Sachant que la période du césium est de 30,15 ans, combien cela représente-
t-il d’années ?
22
4 Synthèse du cours
Définition
Définition
Une suite de nombres réels est une fonction définie sur (ou une partie de )
à valeurs dans .
Notation et vocabulaire
– u ou ( un ) désigne la suite (avec n un entier naturel).
– Le nombre un (on lit « u ène » ou « u indice ène ») est le terme de rang n de
la suite u .
– Le premier terme de la suite est appelé terme initial.
Deux modes de construction d’une suite
Une suite peut être définie de façon FYQMJDJUF ou par récurrence.
Représentation graphique
Sens de variation
Dans un repère (O ;i , j ) , la représentation graphique d’une suite u est
l’ensemble des QPJOUTEFDPPSEPOOÏFT n ;un ).
Soit une suite u définie sur .
u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n,
un ≤ un +1 (resp. un < un +1 ).
u est une TVJUF EÏDSPJTTBOUF (resp. strictement décroissante) si, pour tout
entier n, un ≥ un +1 (resp. un > un +1 ).
u est une suite constante si, pour tout entier n, un = un +1 .
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut :
sétudier le signe de la différence un +1 − un de deux termes consécutifs.
slorsqu’une suite u est définie explicitement à l’aide d’une fonction f par
un = f (n ) , étudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[ .
TICE
L’utilisation des TICE (tableur, calculatrices …) permet d’automatiser les calculs
des termes d’une suite.
23
5
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
Le premier janvier 2010, Pierre disposait de 1 200 € d’économies. Il plaça cet
argent sur un compte rémunéré à intérêts composés à 4 % par an. Le premier
janvier 2011, Pierre ajoute sur son compte ses économies de 2010 à savoir 600
€. Il compte procéder ainsi tous les ans. On note c n le capital disponible sur le
compte le premier janvier (2010+n). Ainsi, c 0 = 1200 .
Que représente c ? Calculer c .
1
1
Etablir une formule de récurrence entre c
n +1 et c n .
"WFD TFT ÏDPOPNJFT 1JFSSF B MJOUFOUJPO EF TBDIFUFS VOF WPJUVSF RVJ DPßUF
20 000 €. Combien d’années devra-t-il attendre pour pouvoir payer sa voiture
comptant ?
Exercice II
L’exercice suivant propose une méthode pour représenter graphiquement des
points associés à une suite définie par récurrence.
Un exemple


u 0 = 6
. Nous
Soit ( un ) une suite définie pour tout n par 

2

,
u
=
0
25
u
−
u
+
2

n
n

 n +1
allons représenter sur l’axe des abscisses les points .0 , .1 , .2 , . 3 et . 4
d’abscisse respective u 0 , u1 , u 2 , u 3 et u 4 .
왘 1ère étape
Soit f la fonction définie par f ( x ) = 0, 25x 2 − x + 2 associée à la suite ( un ).
Pour tout n, on a un +1 = f (un ) .
Représenter dans un même repère la courbe C représentant la fonction f et la
droite d d’équation y = x
24
왘 2ème étape
Placer le point .0 (V 0 ; 0 ) et le point A0 de la courbe C d’abscisse u 0 . A0 a pour
ordonnée u1 car f (u 0 ) = u1 . Ainsi, A0 a pour coordonnées A0 (u0 ;u1) .
왘 3ème étape
Placer le point B0 situé sur la droite d et ayant la même ordonnée que A0 .
Comme la droite d a pour équation y = x , l’abscisse de B0 est égale à son
ordonnée. Ainsi, B0 a pour coordonnées B0 (u1 ;u1) .
왘 4ème étape
Tracer la parallèle à l’axe des ordonnées passant par B0 . On obtient ainsi le point
de l’axe des abscisses d’abscisse u1 : c’est le point .1(V1 ; 0 ) .
왘 5ème étape
On procède de la même façon pour obtenir le point .2 puis . 3 puis . 4 .
7
B0
6
B1
A1
5
4
B2
C
A2
3
2
A0
B3
A3
1
0
0
1
M4 2
3 M3 4
5M2
6M1 M07
8
d

v 0 = 8
Soit la suite v définie pour tout n par 
. Représenter sur


v
= 1, 5v n −1

 n +1
l’axe des abscisses les points .0 , .1 , .2 , . 3 et . 4 d’abscisse respective
v 0 , v 1 , v 2 , v 3 et v 4 .
On considère les suites suivantes définies sur par :
Exercice III
v n = −6 + 0, 5n
w n = 2n + 4
x n = 10 + ( −1)n
n
0
1
2
3
4
5
10
20
50
100
200
300
500
1000
2000
10000
vn
wn
xn
Quand « n devient très grand », que peut-on conjecturer sur les valeurs des
termes de chacune de ces suites ?
25
Exercice IV
4VJUFEF'JCPOBDDJ
Le problème suivant a été posé par Leonardo de Pisano dit Fibonacci dans le livre
sur l’arithmétique intitulé Liber abbaci qu’il rédigea en 1202.
Supposons qu’un couple (mâle-femelle) de lapins immatures soit mis dans un
champ, que la maturité sexuelle du lapin soit atteinte après un mois qui est aussi
la durée de gestation, que chaque portée comporte exactement deux lapereaux,
un mâle et une femelle et que les lapins ne meurent pas. Combien y aura-t-il de
couples de lapins dans le champ après deux ans ?
Exercice V
1ZSBNJEFEF1PO[J
Une pyramide de Ponzi désigne une escroquerie qui consiste à rémunérer les
investissements effectués par des clients essentiellement par les fonds procurés
QBSMFOUSÏFEFOPVWFBVYDMJFOUT6OUFMTZTUÒNFFTUCJFOTßSJMMÏHBM*MTÏDSPVMF
quand les sommes provenant des nouveaux entrants ne suffisent plus à couvrir
le capital et les intérêts promis à ceux qui quittent le système.
Prenons un exemple : L’escroc propose un rendement annuel de 20 % alors que
les autres banques proposent des placements à 5 % sous la condition de ne retirer cet argent qu’après 3 ans. L’escroc recrute chaque année de nouveaux clients
qui placent, à eux tous, 100 000 €. L’escroc place les sommes perçues dans une
banque au taux annuel de 5 %.
On désigne par (a ) la somme versées aux clients qui se retirent après n ans.
n
Ainsi a1 = 0
a) Expliquer pourquoi a2 vaut 0.
b) Que vaut a3 ?
c) Que vaut a4 ?
On désigne par ( b ) la somme dues aux clients dans le système après n ans.
n
Ainsi b1 = 100000 .
a) Expliquer pourquoi b2 vaut 220000.
b) Que valent b3 et b4 ?
On désigne par (c ) la somme disponible dans le pyramide (après rémunéran
tion des clients sortants) après n ans. Ainsi c1 = 100000 .
a) Expliquer pourquoi c 2 vaut 205000.
b) Que valent c 3 et c 4 ?
somme versées aux clients
qui se retirent
1
2
26
somme dues aux clients
dans le système
somme disponible dans le
pyramide
3
4
5
6
7
8
Sous ces conditions, en combien d’années la pyramide ne peut plus rémunérer
les clients se retirant ?
Remarque
La pyramide de Ponzi tient son nom de Charles Ponzi qui est
devenu célèbre après avoir mis en place une opération basée sur
ce principe à Boston dans les années 1920.
L’escroquerie pour laquelle Bernard Madoff a été condamné en
juin 2009 à 150 ans de prison repose également sur ce type de
mécanisme.
Pour assurer le fonctionnement d’une pyramide de Ponzi, l’escroc
doit recruter sans cesse de plus en plus de nouveaux clients.
■
27

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