stratégie de maintenance préventive de type âge

3e Conférence Francophone de MOdélisation et SIMulation «Conception, Analyse et Gestion des Systèmes Industriels»
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
STRATÉGIE DE MAINTENANCE PRÉVENTIVE DE TYPE ÂGE :
APPROCHE BASÉE SUR L'INTEGRATION DE LA SIMULATION ET DES
PLANS D'EXPÉRIENCE
Ali Gharbi, Yves Beauchamp et Sylvia Andriamaharosoa
École de technologie supérieure,
Université du Québec,
1100 rue Notre-Dame Ouest, Montréal, (Québec), Canada, H3C 1K3
RÉSUMÉ : La politique de maintenance traitée dans cet article est de type âge. Elle vise à minimiser les coûts moyens
de remplacement d'un système sujet à des défaillances aléatoires. L’expression analytique du coût moyen de
remplacement a déjà été développée pour cette stratégie dans la littérature. Les conditions d’existence et d’unicité d’un
optimum ont aussi déjà été établies. Des simulations utilisant les distributions de probabilité des pannes Normale
tronquée, Lognormale sont effectués. Elles permettent de vérifier et valider les résultats analytiques de coûts optimaux
établis précédemment. Des plans d’expérience sont ensuite utilisés pour étudier le comportement du coût moyen de
remplacement dans la zone autour du temps de remplacement optimal. Une zone optimale pour le temps de
remplacement au lieu d'une valeur unique, permettrait de mieux planifier les activités d'entretien et ainsi de moins
perturber la production.
MOTS-CLÈS : Maintenance préventive, Simulation, Plans d'expérience, Optimisation.
1.
INTRODUCTION
La stratégie de maintenance de type âge consiste à faire
un remplacement préventif seulement lorsque
l’équipement a atteint l’âge T soit la période de
remplacement préventif choisie. La durée de la période T
est déterminée de façon à effectuer un remplacement
préventif un peu avant le moment où on estime que
l’équipement risque de tomber en panne. Toutefois, si
une panne survient avant l'âge T, un remplacement
correctif est effectué. Les instants de panne arrivent de
façon aléatoire, qu'on représente par des distributions de
probabilité (normale, lognormal, weibull, exponentielle,
etc.).
La stratégie optimale est définie par la détermination de
l'âge optimal de remplacement préventif T* qui minimise
le coût total moyen par unité de temps sur un horizon
infini. Le modèle mathématique de cette stratégie a déjà
été développé par Barlow et Proschan (1965), sous
certaines hypothèses (l'équipement ne peut être qu'en
deux état, en opération ou en panne, les pannes sont
détectées instantanément, les temps des actions
préventives et correctives sont négligeables, suite à une
intervention l'équipement est remis à neuf, le coût de
remplacement préventif est inférieur au coût correctif).
Le modèle développé est difficile à résoudre
analytiquement. Il est résolu à l'aide de méthodes
numériques. Barlow et Proschan (1965) ont démontré
que si le taux de panne du système est une fonction
monotone croissante, alors il existe une stratégie
optimale finie et unique définie par T*. Il est intéressant
de noter que le coût total d'une telle stratégie est toujours
inférieur à une stratégie de maintenance purement
corrective.
La politique de maintenance de type âge semble être
préférable, d'un point de vue économique, à celle du type
bloc qui consiste à remplacer les composants défaillants
aux instants k.T (k=1,2,3…). En effet, la politique de
type âge est basée sur l'utilisation effective de
l'équipement. Elle permet donc d'éviter le remplacement
d'un équipement neuf après une courte période de la date
de son installation. Cependant, plusieurs auteurs
s'accordent sur le fait que la politique de type âge est
plus difficile à administrer que celle de type bloc, car
elle nécessite à la fois une surveillance continue et un
enregistrement de l'information sur l'utilisation de
l'équipement Cléroux et Ait-kadi (1988). Différentes
caractéristiques de la politique de type âge ont été
analysées par Barlow et Hunter (1960), Barlow et
Proschan (1962, 1965) et Nachlas (1987). L'équipement
analysé peut avoir un cycle de travail variable de telle
sorte que le remplacement préventif soit impossible ou
impraticable. Dans ce cas, la politique de maintenance
devrait être aléatoire pour profiter du temps d'inactivité
de l'équipement pour effectuer le remplacement
(Flehinger (1962)). Idéalement, on devrait développer
des modèles qui traitent simultanément de la gestion de
la production et de la maintenance.
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âge. Ensuite, on prouvera à l'aide de cette approche que
le temps optimal de remplacement préventif se trouve
dans un intervalle dans lequel il n'y a pas de différence
significative de coût. Le reste de l'article est organisé
comme suit : la section 2 décrit brièvement le modèle
de simulation et ses résultats ; la section 3 présente la
méthodologie d'analyse expérimentale qui permet de
trouver une zone optimale de temps de remplacement
préventif ; la section 4 présente une conclusion où l'on
discute des avantages des résultats obtenus.
Cependant, il est difficile, voir même impossible
d'obtenir une forme analytique de la fonction
économique de tels modèles, surtout pour des systèmes
de taille raisonnable. On pense que si on peut modifier
la stratégie de type âge de telle sorte, qu'au lieu de
trouver une valeur optimale unique (T*) à laquelle il
faut effectuer une maintenance préventive, on puisse
avoir un intervalle de temps dans lequel il serait
économique d'effectuer le remplacement préventif alors
on pourrait réduire considérablement un inconvénient
majeur de la stratégie de type âge et, par conséquent,
on se rapprocherait d'une meilleure intégration de la
gestion de la production et de la maintenance.
2.
MODÈLE DE SIMULATION
Un modèle de simulation de la stratégie de
maintenance a été développé à l'aide du langage Visual
SLAM (Pritskert, et al. 1997). Le logigramme de la
figure. 1 illustre la logique de ce modèle.
Dans ce qui suit, on utilisera une intégration de modèle
de simulation et de plan d'expérience pour d'abord
valider le résultat obtenu par Barlow et Proschan
(1965) concernant la stratégie de maintenance de type
Stratégie de maintenance de type âge
Génération d'un instant
de panne t*
oui
non
t* < T
Temps écoulé = temps écoulé + t*
Temps écoulé = temps écoulé + T
Panne
Remplacement préventif
Coût cumulatif = coût cumulatif + coût
de remplacement par du neuf
Coût cumulatif = coût cumulatif + coût
de remplacement préventif
Coût moyen =
coût cumulatif / Temps écoulé
oui
Temps écoulé
< horizon
non
On connaît le coût moyen
FIN
Figure 1 : Logigramme de simulation de la stratégie de maintenance de type âge.
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!
Le modèle de simulation a été utilisé pour une stratégie
de type âge sélectionnée dans Barlow et Proschan
(1965). Le cas considéré correspond à une pièce (tube)
faisant partie d’un circuit électronique de
communication d’un avion. Les bris de ce tube sont
distribués selon une loi normale tronquée et la pièce a
une durée de vie moyenne µ= 9080 heures et un écarttype σ = 3027 heures. Les données de cet exemple
sont :
!
Le coût de remplacement préventif par du neuf
est C2 = 100$
Barlow et Proschan (1965) estiment que, le coût de
remplacement moyen par heure de la stratégie de
maintenance type âge est approximativement de 0.039
$ / hr et l’âge optimal de remplacement préventif est de
4540 heures. Par simulation, dont les résultats sont
présentés à la figure 2, on a obtenu 0.037$/ hr, comme
résultat du coût de remplacement moyen et la valeur de
l’âge optimal est aux alentours de 4300 heures.
Le coût de remplacement à la panne par une pièce
(tube) neuve est C1 = 1100 $
Coût de remplacement moyen
0.12 $
0.10 $
Coût
0.08 $
0.06 $
0.04 $
0.02 $
0.00 $
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Temps de remplacement préventif
Figure 2 : Comportement du coût en fonction de l’âge de remplacement (résultats de la simulation).
3.
MÉTHODOLOGIE D'ANALYSE
EXPÉRIMENTALE DE LA STRATÉGIE DE
MAINTENANCE DE TYPE ÂGE
En général, l’approche analytique fournit, uniquement
une valeur optimale sans donner une vue globale de la
situation. L'observation de la courbe du coût en fonction
du temps de remplacement préventif (T), montre
qu'autour de l'optimum (T*) le coût semble varier très
peu. Comme les résultats de la simulation fluctuent
d'une répétition à l'autre, et que l'estimé du coût moyen
qu'on cherche devrait se trouver dans un intervalle de
confiance, nous nous sommes donc intéressés au
comportement de la variable coût aux alentours de sa
valeur optimale. Ainsi, on pourra déterminer si cette
valeur de coût optimal fait partie d’un intervalle de
temps pour lequel le coût est approximativement
uniforme.
La combinaison de la simulation et des plans
d'expérience est une approche qui a été utilisée avec
succès pour résoudre des problèmes complexes, très
difficiles ou impossible à résoudre analytiquement.
Gharbi et Kenne (2000) ont étendu le concept du
hedging point à la commande des systèmes de
production équipés de plusieurs machines en contrôlant
leur taux de production et de maintenance préventive.
Pour des distributions de panne et de réparation des
machines quelconques, (i.e., processus non markovien),
Kenne et Gharbi (2000) ont montré que la politique du
hedging point s’applique toujours. Ils ont validé
l’approche proposée en utilisant le modèle d’Akella et
Kumar (1986). De plus, ils ont montré que l'optimum se
trouve dans une zone où le coût ne change pas
significativement.
Nous avons donc
utilisé la technique des plans
d’expérience dans le but d’obtenir d’abord une vue
d’ensemble du problème. Par la suite, la succession des
différents plans d’expérience nous a conduit à
discriminer les valeurs de temps pour lesquelles les
différences de coût ne sont pas significatives. La
méthodologie développée dans cet article est présentée
sur la figure.3.
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T* , erreur
Plan
d'expérience
Analyse de régression
stratégie de type
Age T* élément
de [T1, T2]
Approche
analytique
il existe T*
Modèle de
simulation
T
Figure.3 :Méthodologie à suivre pour obtenir la zone optimale de temps de remplacement préventif
3.1
Plan d'expérience
Dans un premier temps, nous avons déterminé un
intervalle de temps de remplacement préventif
correspondant à un coût maximal d’environ deux fois le
coût optimal obtenu lors de la simulation. Nous avons
réalisé l’analyse expérimentale pour cet intervalle de
temps qui varie entre 1000 et 15000 unités de temps
(avec 2 répétitions). Le tableau 1 présente les résultats de
l’analyse de variance (ANOVA) pour le coût de
remplacement d’une alternative de temps de
remplacement préventif (T).
Source
Entre groupes
SS
2.96056·10-2
DL
16
MS
1.85035·10-2
Avec groupes
2.71301·10-5
17
1.59589·10-5
Total
2.96327·10-2
33
Tableau. 1 :
F-Ratio
1159.45
p=
0.0000
ANOVA pour le coût moyen de remplacement préventif (T variant de 1000 à 15000)
Les résultats des analyses de variance révèlent une
différence significative entre les moyennes des coûts en
fonction du temps de remplacement T (p = 0 < 0.05).
Cela signifie que des valeurs différentes de T résultent
en différentes mesures de performance (coût). De la
table ANOVA on déduit aussi que R2 =99.91%, donc il y
a très peu de bruit dans le modèle et presque toute la
variabilité est causée par la variation de T (Montgomery,
1997).
La figure 4 présente les moyennes des coûts de
remplacement et les intervalles de confiance à 95% pour
une alternative de temps de remplacement préventif (T).
En examinant les profils des moyennes du coût avec un
intervalle de confiance de 95% pour ces plans
d’expérience, nous pouvons vérifier qu’il existe une
différence significative entre les moyennes des coûts et
que le coût minimum est situé dans un intervalle autour
de 4000 unités de temps. Afin de déterminer où se
situent les différences observées entre les coûts, nous
avons appliqué un test de comparaison multiple (test de
Newman- Keuls). Les résultats de ce test confirment que
le coût moyen est statistiquement non différent pour des
périodes de remplacement préventif qui se situent entre
3000 et 5000 unités de temps et que le coût minimum
correspond à une valeur de temps de remplacement
préventif remplacement préventif (T) proche de 4000
unités de temps. Pour confirmer d'avantage les résultats
du test de comparaison multiple qui suggère l'existence
d'une zone où le coût moyen ne change pas de façon
significative, des simulations ont été conduites, pour
valeurs de (T) qui varie entre 3000 et 5000 unités de
temps, avec un incrément de 200 unités de temps avec
trois répétitions chacune. Les résultats de l'analyse de
variance pour le coût de remplacement d’une alternative
de temps de remplacement préventif (T) sont représentés
à la table 2. Ces résultats ne révèlent aucune différence
significative entre les moyennes des coûts en fonction du
temps de remplacement préventif (p = 0.1119 > 5%).
Tous les temps de remplacement préventif T compris
entre 3000 et 5000 entraînent des coûts statistiquement
non différents.
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Moyennes et intervalles de confiance à 95%
0.135
0.115
Coût
0.095
0.075
0.055
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9080
9000
8000
7000
6000
5000
4540
4000
3000
2000
1000
0.035
Temps de remplacement préventif
Figure. 4 : Profil des moyennes des coûts de remplacement et intervalles de confiance à 95% des différents temps de
remplacement préventif T.
Source
SS
DL
MS
F-Ratio
p=
Entre groupes
3.46177·10-5
10
3.46177·10-5
1.84
0.1119
Avec groupes
4.13659·10-5
22
1.88027·10-5
-5
Total
7.59836·10
32
Tableau. 2 :
ANOVA pour le coût moyen de remplacement préventif (T variant de 3000 à 5000)
3.2
Analyse de régression
Les courbes des figures 2 et 4 suggèrent un modèle de
régression quadratique du coût en fonction du temps de
remplacement préventif, surtout dans la zone où T varie
entre 2000 et 7000 unité de temps Les tableaux 3 et 4
présentent les résultats de l'analyse de régression et de
l'analyse de la variance du coût en fonction du temps de
Paramètre
CONSTANT
Tableau 3 :
Tableau 4 :
Estimé
8.72902·10-2
remplacement préventif (T variant entre 2000 et 7000).
Cette dernière analyse montre que la variation du coût
en fonction de T est bien représentée par le modèle de
régression quadratique. En effet on déduit du tableau 4
que R2=94.52%. Ceci qui signifie que près de 95% de la
variabilité totale est expliquée par le modèle quadratique
(Montgomery 1997).
Erreur- Standard
3.54236. 10-3
T-Statistique
24.6418
p=
0.0000
T
-2.23298·10-5
1.67713. 10-6
-13.3143
0.0000
T2
2.5196·10-9
1.83596. 10-10
13.724
0.0000
Analyse de régression pour le coût en fonction du temps de remplacement préventif (T).
Source
Modèle
SS
57.0393·10-5
DL
2
MS
28.5197·10-5
Résidus
3.3086·10-5
11
0.30078·10-5
F-Ratio
94.82
p=
0.0000
Total
60.348·10-5
13
Analyse de la Variance du modèle de coût en fonction du temps de remplacement préventif (T).
La résolution numérique de l'équation (1) pour obtenir
le coût minimum et ainsi trouver les valeurs optimales
du paramètre T donne le résultat suivant: (Coût* =
0.0378 $/heure; T* = 4431 heures). Ce résultat est
proche du résultat trouvé de façon analytique et
numérique par Barlow et Proschan (1965) (Coût* =
0.039 $/heure T* = 4540 heures).
Du tableau 3, on dégage un modèle de régression
polynomiale du coût en fonction du temps de
remplacement préventif T qui est représenté par
l'équation (1).
Coût = 0,0829 + 10-6·(- 22,33.T + 0.002519·T 2 )
(1)
- 801 -
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
3.3
Calcul
de
la
zone
remplacement préventif
optimale
T0.975, DL : est la statistique de Student à 97,5%, ou un
niveau de confiance de 95%, et DL le degré de liberté
de l’erreur expérimentale.
MS erreur : est la variance de l’erreur expérimentale
obtenue de la table ANOVA.
de
Pour valider les résultats obtenus précédemment (test
de Newman-Keuls), nous avons calculé de façon plus
précise l'intervalle de temps [T1,T2] dans lequel le
coût moyen ne change pas significativement. Pour ce
faire, nous avons établi une procédure schématisée
dans la figure 5.
Pour trouver l'intervalle [T1,T2], il suffit de résoudre
l'équation du second degré (2) :
Coût* + erreur de l'estimé =
0,0829 + 10-6·(- 22,33.T + 0.002519·T 2 )
Erreur de l'estimé :
(T0.975 , DL )∗
À partir de l'information du tableau 4, l'erreur de
l'estimé de l'exemple est donc:
(T0.975,11 ) ⋅ 143079 ⋅ 10 −6 = 0.00237
La résolution de l'équation donne: T1 = 3460 et T2
= 5400 heures
Les résultats de l’ANOVA (tableau 5) ne révèlent
aucune différence significative entre les moyennes des
coûts pour l’intervalle entre T1 et T2. (p=0.24 > 5 %).
(2)
MS erreur
Coût de remplacement
variation significative
•
Coût +
Erreur de
l’estimé
•
variation non significative
•
Coût*
T1
T2
T*
Temps de remplacement préventif
Figure. 5 : Méthode pour délimiter la zone des variations non significatives du coût.
Source
Entre groupes
SS
2.93155·10-6
2
DL
MS
1.46·10-6
Avec groupes
1.8485·10-6
3
6.161·10-7
F-Ratio
2.38
p=
0.2405
Total
4.78·10-6
5
Tableau 5 : ANOVA pour le coût de remplacement d’une alternative de temps de remplacement préventif entre T1 =
3460 et T2 = 5400 heures.
3.
CONCLUSION/DISCUSSION.
Dans cet article, nous avons présentée une approche
basée sur l'intégration de la simulation et des plans
d'expérience qui a permis une contribution à la politique
classique de maintenance préventive de type âge. En
effet, au lieu de trouver une valeur optimale unique (T*)
à laquelle il faut effectuer une maintenance préventive
comme le fait l'approche classique, on détermine un
intervalle de temps dans lequel il serait économique
d'effectuer le remplacement préventif.
Cette modification de la politique classique de
maintenance préventive de type âge devrait nous
- 802 -
MOSIM’01 – du 25 au 27 avril 2001 – Troyes (France)
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Pritsker A. A., O’Reilly J. J. and LaVal D. K. (1997)
"Simulation With Visual SLAM and AweSim",
JohnWilley& Sons.#
rapprocher d'une meilleure intégration de la gestion de
la production et de la maintenance. En effet, la
connaissance d'une zone optimale de maintenance
préventive, donne de la flexibilité pour planifier le
remplacement lors du temps d'inactivité de
l'équipement. Intuitivement, cette politique modifiée
devrait être meilleure que la politique classique si l'on
considère que le coût de remplacement préventif
dépend de l'état de l'équipement (actif : C3 ou inactif:
C2, avec C3>C2).
Il est important de mentionner que l'intervalle de temps
[T1,T2] dépend de la distribution de probabilité des
pannes. En effet, la procédure présentée à la figure 5 a
été appliquée dans le cas où la distribution de
probabilité des pannes est une loi lognormale dont la
moyenne et l'écart-type sont les mêmes que ceux de la
loi normale tronquée présentée en détail dans les
sections précédentes le résultat obtenue est [T1,T2] =
[3762.2 , 4663.1]. Il est à noter que contrairement à
l'approche analytique, notre procédure peut s'appliquer
assez facilement à n'importe quelle distribution de
probabilité des pannes pour autant que le taux de panne
du système soit une fonction monotone croissante.
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