nn→o xn"$ * g#x nL$ nL$ d #xn,xn"$$ # kd #xn,xn"p$ # d

P.Aimé. 28/07/07
Calcul di¤érentiel/Di¤érentielles/Rang et di¤érentiabilité demo9.pdf
Outil préliminaire. Théorème du point …xe.
Rn est muni d’une distance d dont la topologie associée est la topologie
usuelle.
Soit g : Rn ! Rn une application k-contractante, autrement-dit il existe un
réel k 2 ]0; 1[ tel que
8 (x; y) 2 Rn
Rn ; d(g(x); g(y))
k d(x; y).
Alors, g possède un point …xe unique a, et pour tout x 2 Rn , a = limn!1 g n (x).
De plus, on peut remplacer Rn par n’importe quelle partie fermée non vide
de Rn .
Démonstration
On dé…nit une suite (xn ) dans Rn à partir d’un point quelconque x0 = x, et
xn+1 = g(xn ) pour n 0.
Alors,
d (xn ; xn+1 ) = d (g (xn
1 ) ; g (xn ))
k d (xn
1 ; xn ) .
Il en résulte que
k n d(x0 ; x1 ),
d (xn ; xn+1 )
et donc
d (xn ; xn+p )
d (xn ; xn+1 ) + :: + d (xn+p 1 ; xn+p )
k n + ::: + k n+p 1 d(x0 ; x1 )
1 kp
d(x0 ; x1 )
= kn
1 k
kn
d(x0 ; x1 ).
1 k
La suite (xn ) est de Cauchy, donc convergente, et sa limite a est un point
…xe de g compte tenu de la continuité de g.
Théorème d’inversion locale
Soit f une application de classe C 1 , dé…nie sur un ouvert U Rn , à valeurs
dans Rn , et a un point de U tel que l’application linéaire da f soit inversible.
Alors, il existe un voisinage ouvert W de a, inclus dans U , et un voisinage ouvert V de b = f (a), tels que la restriction de f à W soit un C 1 di¤ éomorphisme de W sur V .
On dit alors que f est un di¤éomorphisme local.
Démonstration
Etape 1
1
Il est su¢ sant de démontrer le théorème dans le cas où a = b = 0, et
d0 f = Id.
En e¤et, si la composée (à gauche par exemple) de f avec la bijection linéaire
1
(da f )
f et la composée de cette application à droite et à gauche avec des
translations, est un di¤éomorphisme local, alors f est un di¤éomorphisme local.
Etape 2
Envisageons la famille des applications gy : x 7 ! y + x f (x), dé…nies et
C 1 sur U , et paramétrée par y 2 Rn .
Remarquons que g0 (0) = 0.
Dans cette étape, on envisage de démontrer que pour tout y appartenant à
un voisinage convenable de 0, l’application gy admet un point …xe unique, c’est
à dire que y admet un antécédent unique par f .
Pour cela,
a) Prouvons que la norme de l’application linéaire dx (gy ) est majorée par
une constante plus petite que 1, uniformément en y, pourvu que x appartienne
à un voisinage convenable de 0.
On a en e¤et dx (gy ) = dx (g0 ) = Id dx f , donc d0 (gy ) = 0. Par continuité
de d (gy ), il existe une boule fermée A de centre 0, de rayon , contenue dans
1
U , telle que N (dx (gy ))
2 pour x 2 A, indépendemment de y (l’intérêt de
supposer A fermé apparaîtra ci-dessous pour l’application du théorème du point
…xe). N désigne la norme dans L (Rn ) subordonnée à la norme choisie dans Rn .
b) Prouvons maintenant que gy stabilise A, pourvu que y reste dans un
voisinage convenable B de 0.
Cela vient des majorations suivantes (la deuxième est le théorème des accroissements …nis, voir l’article 334 consacré à ce théorème).
kgy (x)k
kyk + kg0 (x)k
1
kyk + kxk .
2
Il apparaît que si y appartient à la boule fermée B de centre 0, de rayon 2 ,
alors gy (A) A.
c) Dans ces conditions, gy est 12 -contractante sur A, donc possède un point
…xe (unique), ce qui prouve que, pour tout y 2 B, il existe un point unique
x 2 A tel que y = f (x).
Sans changer la notation, remplaçons A par le fermé f 1 (B), on a obtenu
un voisinage fermé A de 0, et un voisinage fermé B de 0, tels que la restriction
de f à A soit une bijection de A sur B.
Etape 3
Démontrons que la bijection f jA : A ! B est un homéomorphisme, c’est à
dire la continuité de la réciproque.
En écrivant x = x f (x) + f (x) pour tout x 2 A, il vient
kx1
x2 k
kf (x1 )
kf (x1 )
f (x2 )k + kg0 (x1 ) g0 (x2 )k
1
f (x2 )k + kx1 x2 k ,
2
2
et par suite
kx1
x2 k
2 kf (x1 )
f (x2 )k ,
ce qui assure le résultat.
Etape 4
Démontrons que f 1 est di¤érentiable au point 0.
L’hypothèse de di¤érentiabilité de f à l’origine permet d’écrire, pour x 2 A,
f (x) = d0 f (x) + kxk "(x) = x + kxk "(x)
Ceci s’écrit aussi, pour y 2 B,
f
1
(y) = y
1
f
1
(y) "(f
(y)),
et, compte-tenu de la majoration obtenue à l’étape précédente,
f
1
(y)
y
2 kyk "(f
1
(y)) ,
ce qui prouve que f 1 est di¤érentiable à l’origine, avec d0 f 1 = Id (il n’y a
pas d’autre possibilité puisque d0 (f ) = Id), sachant que f 1 est continue.
Etape 5
Démontrons que f 1 est de classe C 1 au voisinage de 0.
f étant de classe C 1 sur U , et d0 f étant inversible, il existe un voisinage
ouvert de 0 en tout point duquel dx f est inversible (en e¤et, det (dx f ) est une
composition de deux applications continues).
Tout ce qui précède peut-être appliqué en remplaçant le point a = 0 par un
point quelconque x 2 .
Pour chaque x, f se restreint en un homéomorphisme d’un voisinage de x
sur un voisinage de y = f (x), dont la réciproque est di¤érentiable en y.
Il reste à prouver la continuité de l’application y 7 ! dy f 1 . Pour cela,
on décompose cette application en produit des trois applications continues :
y 7 ! x 7 ! dx f 7 ! dy f
1
= (dx f )
1
.
Ceci achève la démonstration.
Corollaire (Théorème d’inversion globale).
Si f est une application injective et de classe C 1 , dé…nie sur un ouvert U
Rn , à valeurs dans Rn , si de plus la di¤ érentielle da f en chaque point a 2 U
est une bijection linéaire, alors f (U ) est ouvert et f est un C 1 -di¤ éomorphisme
de U sur f (U ).
C’est une conséquence évidente du théorème d’inversion globale.
3
Théorème du rang
Soit f une application C 1 dé…nie sur un ouvert de Rn , à valeurs dans Rp ,
2
avec (n; p) 2 ]p] .
On suppose que f est de rang constant k.
Alors, pour tout point a 2 Dom f , il existe
- un C 1 -di¤ éomorphisme , dé…ni sur un voisinage ouvert de a, noté Dom ,
à valeurs dans Rn ,
- un C 1 -di¤ éomorphisme , dé…ni sur un voisinage ouvert de b = f (a),
noté Dom , à valeurs dans Rp ,
tels que
1
f
soit la restriction à Im de l’application linéaire (y1 ; :::; yn ) 7 !
(y1 ; :::; yk ; 0; ::; 0) de Rn dans Rp .
Démonstration
Etape 0 (Lemme)
Si f est une application C 1 dé…nie sur un ouvert de Rn , à valeurs dans Rp ,
l’ensemble des points de Dom f où le rang est maximum est un ouvert.
En e¤et, si f est de rang r = inf(n; p) en un point a 2 Dom f , la matrice
jacobienne de f en a admet un mineur non nul d’ordre r. Par continuité de
l’application x 7 ! det (Jx f ), ce mineur est non nul lorsque x appartient à un
voisinage ouvert convenable V de a, ce qui prouve que le rang de f aux points
x appartenant à V est au moins égal à r, donc égal à r.
Etape 1
En composant à droite f avec la translation de vecteur a, et à gauche avec
la translation de vecteur b, on est ramené au cas a = 0; b = 0.
En composant à droite et à gauche avec des isomorphismes convenables de
Rn , et Rp , correspondant à des changements de bases, on peut supposer que
x
@f i
(x)
@xj
= det
(i;j)2]k]2
est non nul en tout point x appartenant à un voisinage ouvert de 0. La conclusion
étant locale, on supposera que ce voisinage coincide avec Dom f .
Etape 2
Notons ' la fonction à valeurs dans Rn , dé…nie sur Dom f par
' (x) = f 1 (x); :::; f k (x); xk+1 ; :::; xn
La matrice jacobienne de ' en x 2 Dom f est
x
0
In
k
et par suite ' se restreint en un di¤éomorphisme d’un voisinage ouvert Dom
de 0 dans Rn , sur un voisinage ouvert Im de 0 dans Rn .
4
Etape 3
1
Exprimons l’application f
.
Compte tenu de la dé…nition de , on a
1
f
1
(y)
y ; :::; y ; f k+1
=
k
1
(y) ; :::; f n
De plus, la matrice jacobienne de f
1
0
Ik
0
1
@
@ (f i
) A
@y j
1
1
en y 2 Im
(y)
est
(i;j)2fK+1;::;pg2
1
L’application f
étant de rang k sur Im , il est nécessaire que les fonci
1
tions f
ne dépendent que de y 1 ; :::; y k , pour i = k + 1 à p.
Il est commode d’écrire
1
f
(y)
1
=
y ; :::; y k ; f k+1
:::; f p
après identi…cation de Rn à Rk
intersection de Im avec Rk .
Rp
k
1
1
y 1 ; :::; y k ;
y ; :::; y k
1
, y 1 ; :::; y k appartenant à l’ouvert
Etape 4
Notons la fonction à valeurs dans Rp , dé…nie sur
(z) =
z 1 ; :::; z k ; z k+1 + f k+1
1
:::; z p + f p
La matrice jacobienne de
Rp
k
par
1
z 1 ; :::; z k ;
z ; :::; z k
1
étant
Ik
0
Ip k
l’application
est un di¤éomorphisme local. On notera
streinte à un voisinage ouvert de 0 contenu dans Im f .
la réciproque, re-
Etape 5
1
On exprime maintenant
f
sur .
1
1
Si z =
f
(y), il résulte des expressions de
(z) = (z) et de
1
1
1
k
k
k+1
p
f
(y) que z = y ; :::; z = y , z
= ::: = z = 0, ce qu’il fallait
prouver.
Corollaire 1
Soit f une application C 1 dé…nie sur un ouvert de Rn , à valeurs dans Rp ,
avec n p, et a 2 Dom f .
5
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) L’application linéaire da f est surjective (on dit que f est une submersion en a).
(2) Il existe un di¤ éomorphisme local de Rn , dé…ni au voisinage de a, tel
1
que f
soit la restriction à un voisinage de (a) de la projection canonique
n
: R = R p Rn p ! R p .
(3) f est localement inversible à droite en a.
Démonstration
De (1) à (2), la propriété est un cas particulier du théorème du rang.
De (2) à (3), il su¢ t de considérer une application linéaire s inverse à droite
1
de , pour avoir localement f
s = I:
De (3) à (1), il su¢ t de di¤érentier la fonction composée.
Corollaire 2
Soit f une application C 1 dé…nie sur un ouivert de Rn , à valeurs dans Rp ,
avec p n, et a 2 Dom f .
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) L’application linéaire da f est injective (on dit que f est une immersion
en a).
(2) Il existe un di¤ éomorphisme local
de Rp , dé…ni au voisinage de b =
f (a), tel que
f soit la restriction à un voisinage de a de l’injection canonique
R n ! Rp = R n Rp n .
(3) f est localement inversible à gauche en a.
La démonstration est analogue à celle du corollaire précédent.
6