La valeur absolue

La valeur absolue
Il est possible de définir les nombres réels comme étant l’ensemble de tous les nombres de
la forme
±bk bk−1 bk−2 · · · b2 b1 b0 , a1 a2 a3 · · · an an+1 · · ·
où les bi et les aj peuvent prendre n’importe quelle valeur parmi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
• Par exemple, 34, 01 = 34, 01000000 . . ., π = 3, 14159... et 5 = 5, 0000000 . . . sont tous
trois des nombres réels puisque chacun d’entre eux satisfait la définition.
Une des propriétés les plus fondamentales des nombres réels est celle qui dit que les nombres
réels peuvent être ordonnés.
• Ceci veut dire que chaque nombre réel peut être situé sur une ligne droite appelée la
droite des nombres réels.
• Et, étant donné deux nombres réels a et b si a 6= b, soit a < b ou a > b.
– Si a < b, le numéro a se trouve à gauche du numéro b sur la droite des réels.
– Par exemple si a = 540, 3564789085 . . . et b = 540, 3564790085 . . . nous déterminons
rapidement que a < b puisque le neuvième chiffre de a est 8 tandis que le neuvième
chiffre de b est 9, et puisque 8 < 9, donc a < b.
• Puisque tous les nombres réels peuvent être situés sur une droite sur laquelle se trouve
le nombre réel 0, il est facile de déterminer la distance qui sépare un nombre réel de
zéro.
– Par exemple, le nombre réel 345,237 se trouve à une distance de 345,237 de 0.
– Le nombre réel −192,1 se trouve à une distance de 192,1 de 0
– À remarquer que lorsqu’on parle de la distance entre un nombre et zéro on ne se
préoccupe pas de l’endroit où se trouve le nombre par rapport à 0, mais seulement
de sa distance
– Par exemple, 5 et −5 sont tous deux à une distance 5 de zéro.
• Cela dit, voici une définition:
– La valeur absolue d’un nombre réel x est le nombre qui donne la distance qui
sépare ce nombre réel de zéro. Nous dénotons la valeur absolue de x comme suit:
|x|.
∗ Puisqu’une distance est toujours “positive”, la valeur absolue d’un nombre
est toujours positive.
∗ Par exemple: |204, 57| = 204, 57 et | − 17, 09| = 17, 09.
1
• Voici une définition un peu plus formelle de la valeur absolue de x:
x
si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
• Par exemple: |45| = 45 puisque 45 ≥ 0. Mais | − 3| = −(−3) = 3 puisque −3 < 0.
Propriétés des valeurs absolues.
Pour tout x et y et pour tout u 6= 0 et a ≥ 0,
x ≤ |x|
(1)
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
(2)
|u|
u
(3)
= 1 ou − 1
|x × y| = |x| × |y|
|x|2 = x2
(4)
(5)
|x + y| ≤ |x| + |y|
| |x| − |y| | ≤ |x − y|
(6)
(7)
Preuves et exemples: (facultatif)
1. Pour toutes valeurs de x, x ≤ |x|.
• Par exemple: 5 ≤ |5| = 5, et −5 ≤ | − 5| = 5.
2. Pour a ≥ 0,
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
• Par exemple, pour a = 15, si |x| ≤ 15, x peut prendre toute valeur entre −15
et 15 (voir, x = −9 ⇒ |x| = | − 9| = 9 ≤ 15); par contre si x = −25 ⇒ |x| =
| − 25| = 25 > 15 .
2
3. Pour tout x 6= 0,
|x|
= 1 ou − 1
x
• Par exemple:
|5|
5
| − 5|
5
= = 1, et
=
= −1.
5
5
−5
−5
4. Pour tout x et y,
|x × y| = |x| × |y|.
• Preuve:
–
–
–
–
Si x ≥ 0 et y ≥ 0 ⇒ |x||y| = xy = |xy|
Si x < 0 et y ≥ 0 ⇒ |x||y| = −xy = −(xy) = |xy|
Si x < 0 et y < 0 ⇒ |x||y| = (−x)(−y) = xy = |xy|
Puisque nous obtenons |xy| = |x||y| dans tous les trois cas on conclut que
|xy| = |x||y| pour tout x et y.
• Par exemple:
– Pour x = −2 et y = 3 nous avons:| − 2||3| = 2 × 3 = 6 = | − 6| = |(−2) × 3|
– Pour x = −2 et y = −3 nous avons:|−2||−3| = 2×3 = 6 = |6| = |(−2)×(−3)|
5. Pour tout x,
|x|2 = x2 .
• Preuve:
– Si x ≥ 0, ⇒ |x|2 = |x||x| = xx = x2
– Si x < 0, ⇒ |x|2 = (−x)(−x) = xx = x2
– Donc pour tout x, |x|2 = x2 .
• Par exemple:
– Pour x = −5, nous avons: | − 5|2 = | − 5|| − 5| = 5 × 5 = 25 = (−5)(−5) =
(−5)2
6. Pour tout x et y,
|x + y| ≤ |x| + |y|.
• Preuve:
3
– Soit n’importe quel nombre x et y:
|x + y|2 = (x + y)2
= x2 + 2xy + y 2 (Voir le fichier Algèbre: développement d’expressions)
≤ x2 + |2xy| + y 2
= |x|2 + |2xy| + |y|2
= (|x| + |y|)2 (Voir le fichier Algèbre: factorization d’expressions)
– Nous pouvons conclure que
|x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 .
– Et donc
|x + y| ≤ |x| + |y|. (Puisque, u2 ≤ v2 ⇒ u ≤ v)
• Exemple:
| − 5 + 1| = | − 4| = 4 ≤ | − 5| + |1|
7. Pour tout x et y,
| |x| − |y| | ≤ |x − y|
• Preuve:
– Soient n’importe quel deux nombres x et y. Pour démontrer | |x| − |y| | ≤
|x − y| il suffit de démontrer que
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|
(grace à la propriété numéro 2 donnée ci-dessus.)
∗ On voit que
|x| = |x − y + y|
≤ |x − y| + |y| (Grâce à la propriété (2))
∗ Donc
|x| − |y| ≤ |x − y| (∗)
∗ Aussi,
|y| = |y − x + x|
≤ |y − x| + |x| (Grâce à la propriété (2))
= |x − y| + |x|
∗ Donc
|y| − |x| ≤ |x − y|
4
∗ En multipliant les deux côtés de cette inégalité par −1 (et en se rappellant que a ≤ b ⇒ −b ≤ −a on obtient
−|x − y| ≤ |x| − |y| (∗∗) (En se rappelant que −(b − a) = a − b )
∗ En faisant la combinaison des inégalités (*) et (**) on obtient:
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|
∗ Ce qui veut dire, d’après la propriété (2) que
| |x| − |y| | ≤ |x − y|
comme voulu.
La valeur absolue et les équations.
Il se peut qu’on ait à manipuler des valeurs absolues lorsque qu’on doit résoudre une
équation. (Voir le fichier Équations I à la page des Concepts). Voici un exemple qui illustre bien comment il faut procéder:
Résoudre pour x l’équation |2x − 7| = 5.
Solution.
• Par définition de valeur absolue,
|2x − 7| =
2x − 7
si 2x − 7 ≥ 0
−(2x − 7) si 2x − 7 < 0
• Nous commençons avec le cas où 2x − 7 ≥ 0:
⇒
⇒
⇒
⇒
|2x − 7|
2x − 7
2x
x
x
=
=
=
=
=
5
5
12
12
2
6
• Ensuite on passe au cas où 2x − 7 < 0:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
|2x − 7|
−(2x − 7)
−2x + 7
−2x
x
x
5
=
=
=
=
=
=
5
5
5
−2
−2
−2
1
• Donc la solution de l’équation |2x − 7| = 5 est {1, 6}.
– L’ensemble {1, 6} constitue la solution complète. Il n’y pas d’autres nombres à
part de 1 et 6 qui satisferont l’équation |2x − 7| = 5.
– De plus, on peut vérifier que si x = 1 nous avons
|2 × 1 − 7| = |2 − 7| = | − 5| = 5
.
– Et si x = 6,
|2 × 6 − 7| = |12 − 7| = |5| = 5
– Nous avons vérifié que l’ensemble solution de |2x − 7| = 5 est précisément {1, 6}
c Club Pythagore, 2007
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