Interpolation Numérique

Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Interpolation numérique
Conclusion
Pablo CROTTI & Mathias RIME
Interpolation Numérique
Résumé
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
L’interpolation numérique consiste à approximer une
fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains
points.
Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut
trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour
i = 0, . . . , m, m ≤ n.
On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }.
Lorsque Φ est un polynôme, on obtient :
quand m < n : l’approximation par les moindres carrés
quand m = n : l’interpolation de Lagrange.
Interpolation Numérique
Résumé
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
L’interpolation numérique consiste à approximer une
fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains
points.
Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut
trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour
i = 0, . . . , m, m ≤ n.
On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }.
Lorsque Φ est un polynôme, on obtient :
quand m < n : l’approximation par les moindres carrés
quand m = n : l’interpolation de Lagrange.
Interpolation Numérique
Résumé
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
L’interpolation numérique consiste à approximer une
fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains
points.
Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut
trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour
i = 0, . . . , m, m ≤ n.
On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }.
Lorsque Φ est un polynôme, on obtient :
quand m < n : l’approximation par les moindres carrés
quand m = n : l’interpolation de Lagrange.
Interpolation Numérique
Résumé
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
L’interpolation numérique consiste à approximer une
fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains
points.
Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut
trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour
i = 0, . . . , m, m ≤ n.
On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }.
Lorsque Φ est un polynôme, on obtient :
quand m < n : l’approximation par les moindres carrés
quand m = n : l’interpolation de Lagrange.
Interpolation Numérique
Résumé
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
L’interpolation numérique consiste à approximer une
fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains
points.
Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut
trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour
i = 0, . . . , m, m ≤ n.
On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }.
Lorsque Φ est un polynôme, on obtient :
quand m < n : l’approximation par les moindres carrés
quand m = n : l’interpolation de Lagrange.
Interpolation Numérique
Plan
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
1
Approximation par les moindres carrés
2
Interpolation de Lagrange
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Plan
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
1
Approximation par les moindres carrés
2
Interpolation de Lagrange
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Plan
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
1
Approximation par les moindres carrés
2
Interpolation de Lagrange
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Plan de section
Interpolation
Numérique
Résumé
1
Approximation par les moindres carrés
Meilleure approximation
Problème des moindres carrés
Application à l’approximation polynomiale
Lissage de données
2
Interpolation de Lagrange
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Meilleure approximation
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Définition
Soient V un espace vectoriel muni d’un produit scalaire h−, −i,
W un sous-espace de V et (w0 , w1 , . . . , wm ) une base
orthogonale de W . La projection orthogonale d’un vecteur
v ∈ V sur W , notée ΠW (v ) ∈ W , est définie par :
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
ΠW (v ) :=
m
X
hv , wi i
i=0
hwi , wi i
wi .
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Théorème
La projection orthogonale ΠW (v ) est la meilleure
approximation de v dans W , dans le sens où
Conclusion
kv − ΠW (v )k< kv − w k, ∀w ∈ W , w 6= ΠW (v )
Interpolation Numérique
Meilleure approximation
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Définition
Soient V un espace vectoriel muni d’un produit scalaire h−, −i,
W un sous-espace de V et (w0 , w1 , . . . , wm ) une base
orthogonale de W . La projection orthogonale d’un vecteur
v ∈ V sur W , notée ΠW (v ) ∈ W , est définie par :
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
ΠW (v ) :=
m
X
hv , wi i
i=0
hwi , wi i
wi .
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Théorème
La projection orthogonale ΠW (v ) est la meilleure
approximation de v dans W , dans le sens où
Conclusion
kv − ΠW (v )k< kv − w k, ∀w ∈ W , w 6= ΠW (v )
Interpolation Numérique
Meilleure approximation
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
V
v-
v
(v)
W
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
(v)
W
W
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Fig.: Projection orthogonale du vecteur v sur le sous-espace W
Conclusion
Interpolation Numérique
Problème des moindres carrés
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Problème
On cherche une solution approximée d’un système linéaire
inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R),
b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n.
Solution
1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans
l’image de A est ΠIm(A) (b).
Lissage de données
2
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé
système normal du système inconsistant :
At Ax = At b
Conclusion
3
Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b).
Interpolation Numérique
Problème des moindres carrés
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Problème
On cherche une solution approximée d’un système linéaire
inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R),
b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n.
Solution
1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans
l’image de A est ΠIm(A) (b).
Lissage de données
2
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé
système normal du système inconsistant :
At Ax = At b
Conclusion
3
Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b).
Interpolation Numérique
Problème des moindres carrés
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Problème
On cherche une solution approximée d’un système linéaire
inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R),
b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n.
Solution
1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans
l’image de A est ΠIm(A) (b).
Lissage de données
2
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé
système normal du système inconsistant :
At Ax = At b
Conclusion
3
Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b).
Interpolation Numérique
Problème des moindres carrés
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Problème
On cherche une solution approximée d’un système linéaire
inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R),
b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n.
Solution
1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans
l’image de A est ΠIm(A) (b).
Lissage de données
2
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé
système normal du système inconsistant :
At Ax = At b
Conclusion
3
Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b).
Interpolation Numérique
Application à l’approximation polynomiale
Problème des moindres carrés pour des fonctions
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Donnée
Nous avons des données {(xi , yi ) , i = 0, . . . , n} où yi = f (xi )
pour une certaine fonction f .
Par exemple, les résultats d’une expérience qu’il faut
synthétiser.
Problème
Nous cherchons un polynôme p̃ ∈ Pm , m ≤ n, tel que
n
X
[yi − p̃(xi )]2 ≤
i=0
n
X
[yi − pm (xi )]2
i=0
pour tout pm ∈ Pm .
Interpolation Numérique
Application à l’approximation polynomiale
Problème des moindres carrés pour des fonctions
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Donnée
Nous avons des données {(xi , yi ) , i = 0, . . . , n} où yi = f (xi )
pour une certaine fonction f .
Par exemple, les résultats d’une expérience qu’il faut
synthétiser.
Problème
Nous cherchons un polynôme p̃ ∈ Pm , m ≤ n, tel que
n
X
[yi − p̃(xi )]2 ≤
i=0
n
X
[yi − pm (xi )]2
i=0
pour tout pm ∈ Pm .
Interpolation Numérique
Application à l’approximation polynomiale
Problème des moindres carrés pour des fonctions
Interpolation
Numérique
Résumé
Solution : résoudre le système normal associé
on écrit p̃(x ) sur une base de Pm :
Approximation
par les
moindres
carrés
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
p̃(x ) =
m
X
aj x j
j=0
les composantes aj de p̃ sont les solutions du système
normal suivant :
B t Ba = B t b
où
B est la matrice rectangulaire (n + 1) × (m + 1) de
coefficients bij = (xi )j
a = (a0 , a1 , . . . , am )
b = (y0 , y1 , . . . , yn ).
Interpolation Numérique
Lissage de données
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
15
15
10
10
5
5
0
0
Meilleure
approximation
Problème des
moindres carrés
−5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Application à
l’approximation
polynomiale
Lissage de données
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Exemple
À partir de 10 perturbations (croix) d’une loi quadratique
(f (x ) = 10x 2 ), nous avons effectué une approximation de degré
2 (trait plein) au sens des moindres carrés, et une interpolation
de Lagrange de degré 9 (trait discontinu)
Interpolation Numérique
Plan de section
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
1
Approximation par les moindres carrés
2
Interpolation de Lagrange
Construction du polynôme d’interpolation
Erreur d’interpolation
Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis
Contre-exemple de Runge
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Problème
Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1
couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n
Approximation
par les
moindres
carrés
Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou
polynôme interpolant de degré n.
Interpolation
de Lagrange
Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation.
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit
qu’ils sont équirépartis.
Théorème (Existence et unicité)
Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme
Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n.
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Problème
Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1
couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n
Approximation
par les
moindres
carrés
Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou
polynôme interpolant de degré n.
Interpolation
de Lagrange
Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation.
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit
qu’ils sont équirépartis.
Théorème (Existence et unicité)
Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme
Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n.
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Problème
Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1
couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n
Approximation
par les
moindres
carrés
Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou
polynôme interpolant de degré n.
Interpolation
de Lagrange
Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation.
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit
qu’ils sont équirépartis.
Théorème (Existence et unicité)
Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme
Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n.
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Problème
Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1
couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n
Approximation
par les
moindres
carrés
Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou
polynôme interpolant de degré n.
Interpolation
de Lagrange
Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation.
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit
qu’ils sont équirépartis.
Théorème (Existence et unicité)
Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme
Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n.
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Problème
Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1
couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n
Approximation
par les
moindres
carrés
Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou
polynôme interpolant de degré n.
Interpolation
de Lagrange
Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation.
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit
qu’ils sont équirépartis.
Théorème (Existence et unicité)
Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs
correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme
Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n.
Interpolation Numérique
La formule d’interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Construction du polynôme
Définissons les fonctions
li ∈ Pn : li (x ) =
n
Y
x − xj
j=0
j6=i
xi − x j
,
i = 0, . . . , n.
Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange).
On trouve la formule d’interpolation de Lagrange :
Πn (x ) =
n
X
yi li (x ).
i=0
Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme
Πn (x ) est noté Πn f (x )
Interpolation Numérique
La formule d’interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Construction du polynôme
Définissons les fonctions
li ∈ Pn : li (x ) =
n
Y
x − xj
j=0
j6=i
xi − x j
,
i = 0, . . . , n.
Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange).
On trouve la formule d’interpolation de Lagrange :
Πn (x ) =
n
X
yi li (x ).
i=0
Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme
Πn (x ) est noté Πn f (x )
Interpolation Numérique
La formule d’interpolation de Lagrange
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Construction du polynôme
Définissons les fonctions
li ∈ Pn : li (x ) =
n
Y
x − xj
j=0
j6=i
xi − x j
,
i = 0, . . . , n.
Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange).
On trouve la formule d’interpolation de Lagrange :
Πn (x ) =
n
X
yi li (x ).
i=0
Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme
Πn (x ) est noté Πn f (x )
Interpolation Numérique
Erreur d’interpolation
Estimation d’erreur
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Théorème
Dans le cas de n + 1 noeuds équirépartis sur un intervalle [a, b],
nous avons l’estimation d’erreur suivante :
En (f ) =
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
≤
max |f (x ) − Πn f (x )|
x ∈[a,b]
1
4(n + 1)
b−a
n
n+1
max |f (n+1) (x )|
x ∈[a,b]
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Comportement de l’erreur lorsque n → ∞
1
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
2
Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X
données, on définit l’erreur d’interpolation
En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . .
On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale,
l’interpolation pour laquelle
En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn .
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Propriété
En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )),
n = 0, 1, . . .
où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X .
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Comportement de l’erreur lorsque n → ∞
1
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
2
Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X
données, on définit l’erreur d’interpolation
En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . .
On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale,
l’interpolation pour laquelle
En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn .
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Propriété
En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )),
n = 0, 1, . . .
où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X .
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Comportement de l’erreur lorsque n → ∞
1
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
2
Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X
données, on définit l’erreur d’interpolation
En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . .
On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale,
l’interpolation pour laquelle
En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn .
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Propriété
En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )),
n = 0, 1, . . .
où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X .
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Conséquences
On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X
sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue
f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f .
L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher
convenablement toute fonction continue.
Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation
polynomiale peut devenir instable.
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Conséquences
On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X
sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue
f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f .
L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher
convenablement toute fonction continue.
Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation
polynomiale peut devenir instable.
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Défauts de l’interpolation de Lagrange
Convergence et stabilité
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Conséquences
On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X
sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue
f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f .
L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher
convenablement toute fonction continue.
Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation
polynomiale peut devenir instable.
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique
Le contre-exemple de Runge
Interpolation
Numérique
1
1
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
0
0.5
−1
−2
0
Interpolation
de Lagrange
Construction du
polynôme
d’interpolation
−3
−0.5
−5
0
5
−4
−5
0
Erreur
d’interpolation
Défauts de
l’interpolation avec
noeuds équirépartis
Contre-exemple de
Runge
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Contre-exemple de Runge
Interpolation de Lagrange avec noeuds équirépartis de la
fonction f (x ) = 1/(1 + x 2 ) (trait plein).
Cette interpolation diverge pour |x | > 3.63 . . .
Conclusion
Interpolation Numérique
5
Plan de section
Interpolation
Numérique
Résumé
1
Approximation par les moindres carrés
Approximation
par les
moindres
carrés
2
Interpolation de Lagrange
3
Interpolation de Lagrange par morceaux
Principe de l’interpolation par morceaux
Erreur d’interpolation
Interpolation par morceaux de la fonction de Runge
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange par morceaux
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
Observation
L’interpolation de Lagrange de bas degré est assez précise
quand on l’utilise sur des intervalles petits (y compris avec des
noeuds équirépartis).
Conséquences
On peut introduire une partition τh de [a, b] en N
sous-intervalles Ij = [xj , xj+1 ] de longeur h
et utiliser une interpolation de Lagrange de degré k ≥ 1,
assez petit, sur chaque intervalle Ij
Typiquement, le degré d’interpolation k est 1, 2 ou 3.
Interpolation Numérique
Interpolation de Lagrange par morceaux
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
Observation
L’interpolation de Lagrange de bas degré est assez précise
quand on l’utilise sur des intervalles petits (y compris avec des
noeuds équirépartis).
Conséquences
On peut introduire une partition τh de [a, b] en N
sous-intervalles Ij = [xj , xj+1 ] de longeur h
et utiliser une interpolation de Lagrange de degré k ≥ 1,
assez petit, sur chaque intervalle Ij
Typiquement, le degré d’interpolation k est 1, 2 ou 3.
Interpolation Numérique
Estimation d’erreur
Pour l’interpolation par morceaux
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Proposition
Pour une fonction f ∈ C k+1 ([a, b]), l’estimation d’erreur d’une
interpolation par morceaux de degré k sur des intervalles de
longueur h est donnée par :
Ehk (f ) = kf − Πkh f k∞ ≤ Chk+1 kf (k+1) k∞ .
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
Remarque
Si N est le nombre de morceaux, on a h = (b − a)/N, et on
peut étudier l’exposant de h dans la formule précédente en
observant que
log Ehk (f ) ≤ C̃ − (k + 1) log(N)
On a une droite logarithmique de pente −(k + 1)
Interpolation Numérique
Estimation d’erreur
Pour l’interpolation par morceaux
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Proposition
Pour une fonction f ∈ C k+1 ([a, b]), l’estimation d’erreur d’une
interpolation par morceaux de degré k sur des intervalles de
longueur h est donnée par :
Ehk (f ) = kf − Πkh f k∞ ≤ Chk+1 kf (k+1) k∞ .
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
Remarque
Si N est le nombre de morceaux, on a h = (b − a)/N, et on
peut étudier l’exposant de h dans la formule précédente en
observant que
log Ehk (f ) ≤ C̃ − (k + 1) log(N)
On a une droite logarithmique de pente −(k + 1)
Interpolation Numérique
Interpolation par morceaux de la fonction de Runge
Interpolation
Numérique
1
1
Résumé
0.8
0.8
Approximation
par les
moindres
carrés
0.6
0.6
0.4
0.4
Interpolation
de Lagrange
0.2
0.2
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
0
−5
0
5
0
−5
0
Exemple
Interpolation linéaire par morceaux de la fonction
f (x ) = 1/(1 + x 2 ) (trait plein).
L’interpolation converge vers la fonction lorsque le nombre de
morceaux augmente
Interpolation Numérique
5
Erreur d’interpolation par morceaux pour la
fonction de Runge
Interpolation
Numérique
1
2
10
10
Résumé
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Principe de
l’interpolation par
morceaux
Erreur
d’interpolation
Interpolation par
morceaux de la
fonction de Runge
Conclusion
1
Erreur (log)
10
Erreur (log)
Approximation
par les
moindres
carrés
0
10
0
10
−1
10
−1
10
−2
10
−2
10
1
3
5 7 9
log(N)
13
21 29 39
2
4
6
8 10
log(N)
14
20 26 32 40
Exemple
Erreurs (ronds) pour l’interpolation linéaire par morceaux de la
fonction de Runge. En trait plein l’estimation théorique.
Le degré d’interpolation étant k = 1, la droite théorique est de
pente −2
Interpolation Numérique
Conclusion
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Nous avons vu
L’approximation polynomiale par les moindres carrés :
stable, lissages de données
L’interpolation de lagrange : pas forcément convergente,
instable, mais précise sur de petits intervalles
L’interpolation par morceaux : convergente et efficace
(ordre 2,3 ou 4)
Interpolation Numérique
Référence
Interpolation
Numérique
Résumé
Approximation
par les
moindres
carrés
Interpolation
de Lagrange
A.Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri, (2007) Méthodes
numériques. Springer, Italia.
Interpolation
de Lagrange
par morceaux
Conclusion
Interpolation Numérique