Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique

Licence de Mathématiques Fondamentales
Calcul Scientifique
feuille de DM 1
A rendre pour le
Polynômes de Tchebychev et de Legendre
Exercice - 1 Estimation de l’erreur d’interpolation
Soit f ∈ C n+1 ([a, b], R), et soient a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b. Soit P le polynôme d’interpolation
de Lagrange de degré n associé aux points xi .
1- Soit x ∈ [a, b] fixé, distinct des xi . Posons :
K(x) =
f (x) − P (x)
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
et soit W (t) = f (t) − P (t) − (t − t0 )(t − x1 ) · · · (t − xn )K(x).
a- Montrer que W s’annule au moins n + 2 fois.
b- En déduire qu’il existe ξ, avec min(x0 , x) < ξ < max(xn , x), tel que W (n+1) (ξ) = 0.
2- Montrer que :
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) (n+1)
f
(ξ)
f (x) − P (x) =
(n + 1)!
où a ≤ min(x0 , x) < ξ < max(xn , x) ≤ b.
3- En déduire que
|f (n+1) (x)|
max |(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )|
x∈[a,b] (n + 1)! x∈[a,b]
|f (x) − P (x)| ≤ max
Exercice - 2 Polynômes de Tchebychev
L’exercice consiste à montrer que les racines des polynômes de Tchebychev sont les meilleurs points
d’interpolation, i.e. minimisent l’erreur maxx∈[a,b] |(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )|.
Pour tout x ∈ [−1, 1] posons :
Tn (x) = cos(nArccos x)
1- Montrer les relations suivantes :
T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x)
2- En déduire que Tn est un polynôme de degré n, de coefficient dominant 2n−1 .
3- Montrer que Tn a des zéros simples aux points :
xk = cos
2k − 1
π
2n
k = 1, . . . , n
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4- Montrer que Tn atteint son extremum sur [−1, 1] aux points :
k
x′k = cos π
n
k = 0, . . . , n
pour lesquels il prend alternativement les valeurs −1 et 1.
1
Tn pour n ≥ 1. Soit En l’ensemble des polynômes de degré n de coefficient
5- Posons T n = 2n−1
dominant égal à 1. Montrer que :
1
= max |T n (x)| ≤ max |P (x)|
−1≤x≤1
2n−1 −1≤x≤1
∀P ∈ En
(indication : raisonner par l’absurde, et considérer le polynôme R = T n − P aux points x′k ).
6- Soit f ∈ C n+1 ([a, b], R). Soit P le polynôme d’interpolation de Lagrange de degré n associé aux
points de Tchebychev, i.e. :
2k + 1
a+b b−a
+
cos
π
xk =
2
2
2(n + 1)
Montrer que :
|f (x) − P (x)| ≤
(b − a)n+1
max |f (n+1) (x)|
(n + 1)!22n+1 x∈[a,b]
(indication : se ramener à l’intervalle [−1, 1] par le changement de variable x =
b−a
2 t
+
a+b
2 ).
Exercice - 3 Polynômes d’interpolation d’Hermite
De la même manière que dans l’interpolation de Lagrange, on impose que le polynôme prenne un
certain nombre de valeurs, mais de plus on fixe la valeur des dérivées en ces points.
Précisément, considérons les n + 1 triplets (xi , yi , yi′ ) pour i = 0, 1, . . . , n où les xi sont tous
distincts.
1- Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré au plus 2n + 1 tel que
∀i ∈ {0, . . . , n} P (xi ) = yi et P ′ (xi ) = yi′
2- Notons (li )0≤i≤n la suite des polynômes élémentaires de Lagrange associés aux xi . On rappelle
que :
n
Y
x − xi
li (x) =
x
− xj
j=0 i
j6=i
Posons :
hi (x)
ki (x)
=
=
(1 − 2(x − xi )li′ (xi ))li2 (x)
(x − xi )li2 (x)
a- Vérifier que pour tous i, j compris entre 0 et n on a :
hi (xj ) = δij , h′i (xj ) = 0, ki (xj ) = 0, ki′ (xj ) = δij
b- En déduire que
P (x) =
n
X
i=0
4
1−x .
yi hi (x) +
n
X
yi′ ki (x)
i=0
3- Considérons la fonction f (x) =
Déterminer le polynôme d’interpolation d’Hermite de degré
3 tel que :
P (0) = f (0) = 4
P ′ (0) = f ′ (0) = 4
P (2) = f (2) = −4
P ′ (2) = f ′ (2) = 4