Cours 4

COURS 4
Version de 3 février 2016.
Une grande partie du quatrième cours a consisté à discuter des sujets
qui sont traités dans les notes du troisième cours.
1. Formule de Schiffler
Notre but est de démontrer les énoncés (ii) et (iii) pour les algèbres
amassées associées aux polygones, en donnant une formule explicite
pour les variables d’amas.
Cette formule a été découverte plusieurs fois. Fomin et Zelevinsky
la connaissaient. (Les algèbres amassées seraient un sujet intéressant
pour une étude de la sociologie des mathématiques. Comment expliquer
l’explosion d’intérêt pour ce sujet ? Il est clair que Fomin et Zelevinsky
y ont contribué. En particulier, ils ont laissé la porte ouverte à bien
d’autres gens pour s’impliquer dans l’étude des algèbres amassées, en
n’écrivant pas de démonstrations de tout ce qu’ils savaient démontrer.)
Comme j’ignorais qu’ils laissaient le travail de démonstration à d’autres,
j’ai été très surpris de voir la formule de Schiffler. En effet, j’avais supposé que si un telle formule existait, elle aurait dû être démontré plus
tôt.
Soit T une triangulation, et γ une diagonale pas dans T . La notion clé
est celle d’un T -chemin pour γ. Il s’agit d’un chemin, que nous notons
comme une suite d’arêtes e1 , . . . , em , où chaque ei est une diagonale de
T ou une arête du polygone. Il commence à une extrémité de γ et il se
termine à l’autre extrémité. Il ne retourne pas à une arête qu’il a déjà
visité. Contrairement à ce que j’ai dit dans le cours, il peut retourner à
un sommet qu’il a déjà visité, (donc, c’est ce que l’on appelle un chemin
simple dans la théorie des graphes). Sa longueur (m, le nombre d’arêtes)
est impaire. Une arête en position paire doit croiser γ. On rencontre les
points d’intersection du chemin avec γ dans le même ordre si on suit γ
ou le chemin. Pour un exemple d’un chemin qui ne satisfait pas à cette
dernière condition, voir les diagrammes.
Pour un T -chemin e, on définit le monôme me :
Q
i impair w(ei )
me = Q
i pair w(ei )
Ici w(ei ) est la variable d’amas ou la variable gelée associée à l’arête ei .
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P
La formule de Schiffler est : xγ = e un T -chemin me .
La démonstration de la formule de Schiffler est par induction sur
le nombre de fois que γ croise des diagonales de T . La formule est
certainment correcte si γ ne croise qu’une seule diagonale de T — dans
ce cas, la formule se déduit immédiatement de la relation d’échange qui
exprime la valeur de xγ . Voir les diagrammes.
Maintenant, supposons que nous avons une diagonale γ qui croise
au moins deux diagonales de T , et supposons que nous savons déjà
que la formule de Schiffler fonctionne pour n’importe quelle diagonale qui croise T moins souvent. Mettons Pγ pour le sous-polygone
qui est constitué des triangles par lesquels γ passe. Remarquons qu’un
T -chemain pour γ ne peut pas sortir de Pγ , vu que les arêtes paires
doivent croiser γ, et si une arête impaire sortait de Pγ , l’arête suivante
(paire) ne pourrait pas croiser γ. Également, la variable d’amas xγ peut
être calculée sans faire référence à quoi que ce soit hors de Pγ . Donc,
nour pouvons mettre de côté tout ce qui est en dehors de Pγ .
Étiquetons les extrémités de γ par P et Q. Mettons Z et W pour les
sommets de Pγ adjacents à Q. On remarque que l’un d’entre eux n’a
qu’une seule diagonale de T qui la croise, tandis que l’autre en a plus
d’une. Mettons Z pour celui qui n’a qu’une seule diagonale de T qui la
croise.
Étiquetons les arêtes du triangle qui contient Q comme dans le diagramme.
Nous pouvons supposer que la formule de Schiffler est correcte pour
les arêtes P Z et P W .
Nous savons que
axP W
cxP Z
xγ =
+
.
b
b
Mettons T (P W ) pour les T -chemins pour P W , et T (P Z) pour les
T -chemins pour P Z.
Par la formule de Schiffler (pour P W et P Z), nous avons
P
P
a e∈T (P W ) me c e∈T (P Z) me
xγ =
+
b
b
On note que certains des T -chemins pour P Z passent par W , tandis
que pour certains, ce n’est pas le cas. Mettons TW (P Z) pour ceux qui
passent par W , et TW
c (P Z) pour les autres. Par contre, on note que
les T -chemins pour P W ne peuvent pas passer par Z, donc on ne peut
pas faire une telle division de T (P W ). On a maintenant :
xγ =
a
P
e∈T (P W )
b
me
+
c
P
e∈TW (P Z)
b
me )
c
+
P
e∈TW
c (P Z)
b
me )
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Je constate maintenant que ces trois sommes, (1), (2), (3) sont égales
aux sommes des poids des T -chemins pour P Q
(i) qui terminent par ba,
(ii) qui terminent par xc pour x 6= b,
(iii) qui terminent par bc.
Il est clair que (1) est compris en (i). Pour voir que (i) est compris
en (1), notez que l’avant-avant-dernière arête du chemin est forcément
dans PP W .
Il est clair que (2) = (ii) et que (3) = (iii).
2. Algèbres amassées des surfaces plus générales
Vous vous souvenez que, dans notre cadre plus général, nous avons
une surface avec bord, des points marqués sur le bord, et nous associons
les variables d’amas à des classes d’équivalence d’arcs qui ne se croisent
pas et ne sont pas homotopique à un seul segment de bord ou à un point.
Commençons par l’énoncé (i) (que les variables d’amas sont biendéfinies). On a encore le graphe des triangulations de la surface, et
celui-ci a, encore, des cycles distingués d’ordre quatre et cinq. Si on a
deux sommets sur un cycle, les deux suites de mutations qui les lient
dans le cycle, ont, encore, le même effet sur les variables d’amas.
Ce qu’il nous faut de plus, et qui n’est pas évident, c’est que, pour
deux chaines de flips, C1 et C2 , qui mènent d’une triangulation, T , à
une autre, S, il soit possible d’interpoler entre C1 et C2 une suite de
cycles distingués (voir les diagrammes). Voir [FST] pour des références.
Pour démontrer les énoncés (ii) et (iii), on peut encore utiliser la
formule de Schiffler. On peut l’exprimer de cette manière. Considérez
un arc γ. Il croise une suite de triangles de T . Redessinez les triangles
dans le plan, pour faire un polygone Pγ par lequel γ passe. Notez
que certaines diagonales de T peuvent apparaı̂tre plus d’une fois, à
cause de la manière que γ tourne sur la surface. Ne vous en occupez
pas ! On s’imagine comme une fourmi, qui suit l’arc γ et qui remarque
chaque triangle qu’elle croise, sans reconnaı̂tre s’elle l’a déjà vu ou
non. Par ce processus, il en résulte une suite de triangles dessinées
dans le plan, et nous sommes dans une situation où on peut considérer
exactement la même définition de T -chemins que l’on a déjà vue. Il
s’avère que cette définition donne la bonne formule pour les variables
d’amas. (Malheureusement, c’est expliqué d’une façon plus compliquée
dans [ST].)
Par contre, la démonstration n’est pas exactement la même ! Le
problème est que les arcs P W , W Q, QZ, ZP , peuvent ne pas former
un quadrilatère sur la surface (parce qu’ils se croisent les un les autres).
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Voir les diagrammes. Donc, on ne sait pas si la rélation d’échange qu’on
a utilisé dans la démonstration dans le cas d’un polygone, est vérifiée
ou non.
Pour éviter ce problème, nous démontrons qu’il y a un quadrilatère
dans Pγ qui est encore un quadrilatère honnête si on le considère sur la
surface originale S, et qui a γ comme diagonale. (Ceci n’est pas du tout
évident. Voir [ST].) Par induction, les variables de A(S) associées aux
autres arcs du quadrilatère sont données par la formule de Schiffler, et
on sait déjà que les variables associées à ces arcs dans l’algèbre amassée
associée à Pγ sont également données par la formule de Schiffler, et
donc les variables sont égales dans les deux algèbres. Dans les deux
algèbres amassées, xγ peut être calculé par l’échange qui provient de ce
quadrilatère. Il s’en suit que xγ a la même valeur dans les deux algèbres.
Dans celle associée à Pγ , on sait que xγ est donnée par la formule de
Schiffler, et donc il en découle de même pour A(S) aussi.
Références
[FST] S. Fomin, M. Shapiro, and D. Thurston. Cluster algebras and triangulated
surfaces. arXiv :math/0608367.
[FZ]
S. Fomin and A. Zelevinsky.
arXiv :math/0104151.
Cluster
algebras
I
:
Foundations.
[ST]
R. Schiffler and H. Thomas. On cluster algebras arising from unpunctured
surfaces. arXiv :math/0712.4131.