ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie
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ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie
ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée, où n est un entier naturel non nul. A-t-on plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce ? On note P(n) la probabilité d’obtenir n piles en lançant 2n fois la pièce. Exprimer P(n) en fonction de n. P( n + 1 ) 2n + 1 = Montrer que, pour n ∈ N∗ , . P( n ) 2( n + 1 ) On désigne par X le nombre de piles en lançant 2n fois la pièce . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et préciser son espérance mathématique. Partie B : Une urne contient 10 boules : 7 boules rouges toutes numérotées 1, et 3 boules jaunes toutes numérotées 0. On tire simultanément 2 boules de cette urne. On considère les événements A : « les deux boules sont de la même couleur » et B : « les deux boules sont de couleurs différentes ». Déterminer les probabilités P(A) et P(B). On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité de X et préciser son espérance mathématique. CORRIGE : Partie A : Il s’agit d’un schéma de Bernouilli avec 2n lancers et une probabilité de succès pour chaque 4 8 1 1 lancer de ½ . La probabilité d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce est = 4 2 2 6 8− 4 = 70 35 = et la 28 128 12−6 12 1 1 924 231 280 35 probabilité d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce est = 6 = 12 = ; donc on a < = 2 1024 1024 128 2 2 plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce . n 2 n− n k 2 n−k n+1 2( n+1 )−( n+1 ) 1 2( n +1 ) 1 1 2( n+1 ) 1 = n +1 2 n+2 . ; de plus P(n + 1) = n +1 2n 2 2 2 2 ( 2 n + 2 )! 2( n +1 ) 1 n +1 2 n+ 2 P( n + 1 ) 2n + 1 ( n + 1 )!( n + 1 )! 1 ( 2n + 2 )( 2n + 1 ) 2 = = × = = D’où, pour n ∈ N∗ , . ( 2n )! P( n ) 4 4( n + 1 )2 2( n + 1 ) 2nn 1 2n n! n! 2 La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres 2n et ½ ; d’où 2n 1 1 On a P(n) = n 2 2 = 2n n 2n 1 1 p( X = k ) = k . L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres = n. 2 2 Partie B : P(A) = P(« obtenir deux boules rouges » ou « obtenir deux boules jaunes ») = P(« obtenir deux boules rouges » ) + P(« obtenir deux boules jaunes ») = 7 2 10 2 3 2 + 10 = 2 7 1 8 7 . P(B) = 1 - P(A) = . + = 15 15 15 15 La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules jaunes ») = 1 ; 15 7 ; et P(X = 1) = P(« obtenir une boule jaune et une boule rouge ») = 15 7 1 7 7 7 . Son espérance mathématique est E(X) = 0 × + 1× + 2 × = . 15 15 15 15 5 P(X = 2) = P(« obtenir deux boules rouges ») =