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Chapitre 1 Mécanique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Mécanique du point matériel Champ de force centrale Exercices d’entraı̂nement Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 1 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 2 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Cinématique du point matériel ? Trajectoire parabolique Enoncé Les coordonnées cartésiennes d’un point sont données, en fonction du temps, par : x = v0 . cos(α).t y = 21 a.t2 + v0 . sin(α).t z=0 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 3 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter où 1) 2) 3) α et a sont des constantes. Vérifier que la trajectoire est une parabole. Donner l’expressions de la vitesse dans le repère cartésien. Faire de même avec l’accélération. ? Trajectoire parabolique Eléments de correction 1) y = Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 4 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter a x2 2.v02 . cos(α)2 + tan(α).x. ~ 2) ~v = v0 . cos(α).i + (v0 . sin(α) + a.t) .~j. 3) ~a = a.~j. ? Roue de vélo Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 5 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On étudie la roue d’un vélo (de centre C et de rayon R = 350mm) qui se déplace sur un sol horizontal (Ox), dans le plan vertical (xOy). On étudie le mouvement par rapport au référentiel du sol. On se place dans le repère cartésien (Oxyz). On appelle θ, l’angle dont a tourné la roue. Le centre de la roue (C) a une trajectoire rectiligne uniforme parcourue à la vitesse constante vC = 20km/h. On s’intéresse à un point M de la circonférence de la roue. 1) Déterminer l’expression de la vitesse du point M en fonction des vecteurs ~ex et ~eθ . 2) Déterminer l’expression de la vitesse du point M dans le repère cartésien. Pour que la roue ne dérape pas, il faut que la vitesse de tout point M de la roue soit nulle lorsqu’il passe au niveau du sol. 3) Donner la relation qui existe dans ce cas entre vC et θ. ? Roue de vélo Eléments de correction 1) ~v = vC .~ex + R.θ̇.~eθ . 2) e~θ = − sin(θ).~ex + cos(θ).~ey ⇒ ~v = vC − R.θ̇. sin(θ) .e~x + R.θ̇. cos(θ).~ey . Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 6 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 3) θ = − π2 ⇒ θ̇ = − vRC . ? Trajectoire cycloı̈dale Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 7 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On se place dans le repère cartésien (Oxyz). On s’intéresse à une roue de rayon R et de centre C qui roule sans glisser dans le plan (x0y) : on admet que l’abscisse du centre de la roue est liée à l’angle θ dont a tourné la roue par la relation : xC = −R.θ. Sur cette roue se trouve le point M qui initialement coı̈ncide avec le point O. 1) Exprimer, en fonction de R et de θ, et de ses dérivées, les coordonnées du point M . 2) Faire de même pour la vitesse de M . 3) Faire de même pour l’accélération de M . ? Trajectoire cycloı̈dale Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 8 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) x = R. (−θ + sin θ) et y = R. (1 − cos θ). 2) ẋ = R. (−1 + cos θ) .θ̇ et ẏ = R. sin θ.θ̇. 3) ẍ = R. − sin θ.θ̇2 − (−1 + cos θ) .θ̈ et ÿ = R. cos θ.θ̇2 + sin θ.θ̈ . ? Trajectoires circulaires Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 9 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Un mobile se déplace à la vitesse v = 10m.s−1 constante sur une trajectoire continue et dérivable partout, formée d’un segment [AB] suivi d’un quart de cercle de R = 10m entre B et C, suivi d’un autre quart de cercle de R entre C et D (de courbure opposée au quart de cercle précédent), et enfin d’un segment [DE] parallèle à [AB]. 1) Préciser la norme a de l’accélération subie par le mobile : 1.a) entre A et B ; 1.b) entre B et C ; 1.c) entre C et D ; 1.d) entre D et E. ? Trajectoires circulaires Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 10 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) Entre A et B : a = 0. Entre B et C : a = 10m.s−2 . Entre C et D : a = 10m.s−2 . Entre D et E : a = 0. ? Bretelle d’autoroute Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 11 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Une automobile (qu’on assimilera à un point matériel) qui se déplace initialement à la vitesse v0 = 130km.h−1 sort de l’autoroute. La bretelle de sortie est assimilée à un arc de cercle plan horizontal de rayon constant R = 50m. La norme de l’accélération du système ne peut excéder µ.g, avec µ = 1, 0 et g = 10m.s−2 . 1) Questions préliminaires : 1.a) Montrer que la voiture ne peut aborder le virage à la vitesse v0 , au risque de quitter la route. 1.b) Expliquer pourquoi il ne faut pas freiner dans le virage au risque, encore, de quitter la route. Il faut donc prévoir une zone de décélération que l’on assimilera à un segment rectiligne plan. 2) Calcul dans le cas d’un terrain sec : 2.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ? 2.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ? 3) Calcul dans le cas d’un terrain mouillé : Dans cette question, v0 = 110km.h−1 et µ = 0, 30. 3.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ? 3.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ? ? Bretelle d’autoroute Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 12 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Questions préliminaires : v2 1.a) a = R0 = 26m.s−2 > amax = µ.g = 10m.s−2 . r 2 2 v02 v2 1.b) Si on freine : a = + dv > R0 > amax . R dt 2) Calcul dans √ le cas d’un terrain sec : 2.a) vmax = µ.g.R = 22m.s−1 = 80km/h. 2 v 2 −vmax v 2 −µ.g.R 2.b) lmin = 02.µ.g = 0 2.µ.g = 40m. 3) Calcul dans √ le cas d’un terrain mouillé : 3.a) vmax = µ.g.R = 12m.s−1 = 44km/h. 2 v 2 −vmax v 2 −µ.g.R 3.b) lmin = 02.µ.g = 0 2.µ.g = 130m. ? Course de voitures Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 13 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Lors d’une course de voiture, 2 voitures (numérotées 1 et 2) arrivent au même instant, de front, à l’entrée d’un virage qu’elles négocient de manière différente. La première voiture prend le virage à l’extérieur : elle suit à vitesse constante v1 un demi-cercle de rayon r1 = 110m. La seconde voiture, elle, prend le virage à la corde : elle suit à une autre vitesse constante v2 un autre demi-cercle de rayon r2 = 100m. 1) Déterminer puis calculer les distances d1 et d2 parcourues respectivement par les deux automobiles. Du fait des frottements sur le sol, les normes des accélérations des deux voitures ne peuvent excéder µ.g, avec µ = 1, 21 et g = 9, 81m.s−2 . 2) Déterminer les vitesses maximales des deux bolides. 3) En déduire les durées ∆t1 et ∆t2 nécessaires aux 2 voitures pour négocier le virage. Conclure. 4) Même question si la piste est mouillée : µ = 0, 342. ? Course de voitures Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel max Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Lien web Page de garde JJ II J I Page 14 / 63 Retour Plein écran Quitter en tête. 4) ∆t1 = en tête. Référentiels non galiléens Fermer 1) d1 = π.r1 = 346m ; d2 = π.r2 = 314m. √ √ 2) v1max = µ.g.r1 = 34, 8m.s−1 = 125km/h ; v2max = µ.g.r2 = 33, 1m.s−1 = 119km/h. q q r1 r2 3) ∆t1 = v1d1 = π. µ.g = 9, 56s et ∆t2 = v2d2 = π. µ.g = 9, 12s : la voiture 2 passe d1 v1max max q r1 = π. µ.g = 18, 0s et ∆t2 = d2 v2max q r2 = π. µ.g = 17, 2s : la voiture 2 passe 2. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 15 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Changement de référentiel ? Etude de la chute d’une bille dans différents référentiels Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 16 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à la chute d’une bille assimilée à un point matériel de masse m en M qu’on laisse tomber en t = 0 d’une fenêtre de hauteur h par rapport au sol, le point O centre du repère étant à la verticale de la fenêtre, au sol. Elle est lâchée sans vitesse initiale dans le référentiel R0 du sol qu’on supposera plan horizontal. L’accélération de la pesanteur est ~g = −g.~uz . On négligera les forces de frottement. 1) Quelle est l’équation du mouvement et la trajectoire de M dans un reférentiel lié à une voiture en translation rectiligne (initialement en O à t = 0) : 1.a) la voiture étant à l’arrêt dans R0 ; 1.b) la voiture roulant à la vitesse ~v = u.~ux uniforme dans R0 ; 1.c) la voiture étant uniformément accélérée, d’accélération ~a = a.~ux dans R0 , initialement au repos à t = 0 dans R0 . ? Etude de la chute d’une bille dans différents référentiels Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel 2 Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 17 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Trajectoire de M dans : 2 1.a) R1 = R0 : z(t) = − g.t2 + h et x(t) = 0 donc la trajectoire est une droite. 2 g.x 1.b) R2 : z(t) = − g.t2 + h et x(t) = u.t donc z(x) = − 2.u 2 + h ⇒ la trajectoire est une parabole. 2 2 1.c) R2 : z(t) = − g.t2 + h et x(t) = a.t2 donc z(x) = − g.x a + h ⇒ la trajectoire est une droite. ? Cycloı̈des d’un point à la circonférence d’une roue de vélo Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 18 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à un vélo dont le cadre (assimilé à un référentiel R1 ) est en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse ~v = v0 .~ux par rapport au sol (assimilé à un référentiel R0 ). O est un point fixe du sol. Une des roues de ce vélo (assimilée à un référentiel ~ = −Ω.~uz dans R1 . La roue, de rayon R, R2 ) est en rotation uniforme de vecteur rotation Ω a pour centre O0 qui est fixe dans R1 et dans R2 . On s’intéresse au mouvement d’un point M de la circonférence de la roue initialement en O. 1) Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de M dans R0 et la tracer en distinguant trois cas : 1.a) v0 = Ω.R ; 1.b) v0 < Ω.R ; 1.c) v0 > Ω.R. ? Cycloı̈des d’un point à la circonférence d’une roue de vélo Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale 1) Equations paramétriques de M dans R0 : x(t) = v0 .t − R. sin(Ω.t) y(t) = R. (1 − cos(Ω.t)) Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 19 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1.a) v0 = Ω.R : cf. figure 1. Il s’agit d’une cycloı̈de. 1.b) v0 < Ω.R : cf. figure 2. Il s’agit d’une cycloı̈de raccourcie. 1.c) v0 > Ω.R : cf. figure 3. Il s’agit d’une cycloı̈de rallongée. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens 2 1.5 1 Lien web 0.5 Page de garde JJ II J I 0 2 4 6 8 10 Page 20 / 63 Retour Plein écran Fermer Fig. 1 – Trajectoire de M si v0 = Ω.R Quitter 12 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale 2 Oscillateurs Référentiels non galiléens 1.5 1 Lien web Page de garde JJ II J I 0.5 0 1 2 3 Page 21 / 63 Retour Plein écran Fermer Fig. 2 – Trajectoire de M si v0 = 0, 3.Ω.R Quitter 4 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens 2 1.5 1 0.5 0 Lien web 5 10 15 20 Page de garde JJ II J I Page 22 / 63 Retour Plein écran Fermer Fig. 3 – Trajectoire de M si v0 = 2, 0.Ω.R Quitter 25 3. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 23 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Dynamique du point matériel ? Force dérivant d’un potentiel à deux dimensions - n˚1 Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 24 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à ~ avec k > 0. une force F~ = −k.OM 1) Energie potentielle : 1.a) Montrer que la force F~ dérive d’une énergie potentielle Ep (x, y) qu’on déterminera. 1.b) Calculer le travail de la force F~ lorsque le point M se déplace du point A(a, 0) au point O(0, 0) 2) Positions d’équilibre : On se place dans le cas où F~ est la seule action mécanique s’exerçant sur M . 2.a) Calculer les dérivées premières de Ep . 2.b) Existe-t-il des positions d’équilibre ? 2.c) Calculer les dérivées secondes de Ep . 2.d) S’agit-il d’équilibre(s) stable(s) ? ? Force dérivant d’un potentiel à deux dimensions - n˚1 Eléments de correction 1) Energie potentielle 2: 1.a) Ep (x, y) = k. x2 + Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 25 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter y2 2 + cste. 2 1.b) F~ dérive d’un potentiel ⇒ W = −∆Ep = + k.a 2 . 2) Positions d’équilibre : ∂E ∂E 2.a) ∂xp = k.x et ∂yp = k.y. 2.b) Position d’équilibre : point O(0, 0). ∂2E ∂2E 2.c) ∂x2p = k : minimum suivant (Ox) ; ∂y2p = +k : minimum suivant (Oy) ; et 2.d) La position d’équilibre est donc stable. ∂ 2 Ep ∂x∂y = 0. ? Force dérivant d’un potentiel à deux dimensions - n˚2 Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 26 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à une force x+y F~ = k. x−y avec k > 0. 1) Travail : Calculer les travaux de la force F~ lorsque le point M se déplace du point A(−a, 0) au point D(+a, 0) 1.a) W1 , pour un trajet le long de l’axe (Ox) ; 1.b) W2 , pour un trajet le long d’un rectangle ABCD où les coordonnées dans le repère cartésien sont B(−a, b) et C(+a, b) . 2) Energie potentielle : 2.a) Montrer que la force F~ dérive d’une énergie potentielle Ep (x, y) qu’on déterminera. 2.b) Qu’est-ce que cela a comme conséquence pour W1 et W2 ? 3) Positions d’équilibre : On se place dans le cas où F~ est la seule action mécanique s’exerçant sur M . 3.a) Calculer les dérivées premières de Ep . 3.b) Existe-t-il des positions d’équilibre ? 3.c) Calculer les dérivées secondes de Ep . 3.d) S’agit-il d’équilibre(s) stable(s) ? ? Force dérivant d’un potentiel à deux dimensions - n˚2 Eléments de correction Page de garde 1) Travail : 1.a) W1 = 0. 1.b) W2 = 0. 2) Energie potentielle :2 2 2.a) Ep (x, y) = −k. x2 + x.y − y2 + cste. 2.b) F~ dérive d’un potentiel, elle est donc conservative : il est normal de trouver W2 = W1 . 3) Positions d’équilibre : ∂E ∂E 3.a) ∂xp = −k. (x + y) et ∂yp = −k. (x − y). 3.b) Position d’équilibre : point O(0, 0). ∂2E ∂2E 3.c) ∂x2p = −k : maximum suivant (Ox) ; ∂y2p = +k : minimum suivant (Oy) ; et JJ II = −k : selle de cheval. 3.d) La position d’équilibre est donc instable. J I Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page 27 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter ∂ 2 Ep ∂x∂y ? Energie potentielle de Yukawa Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Un point matériel M est soumis à une force F~ qui dérive d’une énergie potentielle r 1 2 Ep = k. − .e− r0 r r0 avec k > 0 et r0 > 0. 1) Tracer l’allure de Ep (r). On donne l’expression du gradient dans le repère sphérique : ~ (f ) = grad Lien web ∂f ∂r 1 ∂f r . ∂θ ∂f 1 r. sin θ . ∂ϕ Page de garde JJ II J I Page 28 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 2) Donner l’expression dans le repère sphérique de la force F~ . 3) Position d’équilibre : 3.a) Montrer qu’il existe une position d’équilibre pour req . 3.b) Calculer la dérivée seconde de Ep en req . 3.c) S’agit-il d’un équilibre stable ? 4) Comportement de M : On suppose que M se trouve initialement en r = req , et qu’on lui communique une vitesse initiale v0 . 4.a) Montrer que M ne peut pas atteindre O. 4.b) Quelle est la valeur minimale de v0 (vitesse de libération vl ) pour que M échappe à l’équilibre ? ? Energie potentielle de Yukawa Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Page de garde JJ II J I Page 29 / 63 Retour Plein écran Quitter 3.b) ∂ 2 Ep 3.k ∂r 2 (req ) = e.r03 . 2 ∂ Ep ∂r 2 (req ) > 0 : Ep r (r0 +2.r).(r0 −r) k.e− r0 r 2 .r02 .~ur . 3.c) minimum en req donc la position d’équilibre est stable. 4) Comportement de M : 4.a) Ep → ∞ siqr → 0 or Em ≥ Ep car Ec ≥ 0. 4.b) v0 ≥ vl = Lien web Fermer 1) L’allure est donnée sur la figure 4. r 2) F~ = k.e− r0 . r12 + r.r1 0 − r22 .~ur = 0 3) Position d’équilibre : 3.a) Position d’équilibre : req = r0 . 2.k e.m.r0 . ? Une balle de golf dans un lac Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 30 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Une balle de golf en M , de masse m, arrive dans un étang en O (centre du repère) avec une vitesse ~v0 = v0 . cos(α).~ux − v0 . sin(α).~uy où (Ox) est un axe horizontal et (Oy) un axe vertical orienté vars le haut. On admet que l’action de l’eau se limite à une force de frottements f~f = −λ.~v où λ > 0. 1) Vitesse : 1.a) Exprimer la vitesse ~v de la balle de golf dans le repère cartésien. 1.b) Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite vlim que l’on exprimera. 2) Trajectoire : ~ de la balle de golf dans le repère cartésien. 2.a) Exprimer la position OM 2.b) Montrer que la trajectoire de la balle admet une asymptote dont on donnera l’équation dans le repère cartésien. ? Une balle de golf dans un lac Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 31 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Vitesse : λ.t λ.t − λ.t m 1.a) vx (t) = v0 . cos α.e− m et vy (t) = −v0 . sin α.e− m − m.g . λ . 1−e m.g m.g 1.b) Si t → ∞, vx (t) → 0 et vy (t) → − λ . Donc vlim = λ . 2) Trajectoire : − λ.t λ.t m.g m m − 1 v . sin α − . e 2.a) x(t) = v0λ.m cos α. 1 − e− m et y(t) = − m.g t + 0 λ λ λ 2.b) La trajectoire admet une asymptote x = v0 .λ m sin α. ? Saut à ski Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 32 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à un skieur assimilé à un point matériel (noté M ) qui fait un saut : il ~ = h.~uy ) avec quitte le tremplin T (qui se trouve à la verticale du centre du repère O : OT une vitesse initiale ~v0 qui fait un angle α avec l’horizontale ~ux . La résistance de l’air est négligée : la seule force qui s’exerce sur le skieur durant le saut est alors son propre poids. 1) Déterminer x(t) et y(t). 2) Montrer que la trajectoire est parabolique : on donnera y = f (x). 3) Exprimer la distance d = OS si S est le point où le skieur touche le sol (Ox). 4) A.N : v0 = 90km/h, h = 8, 0m, α = π4 , g = 9.81m.s−2 . Calculer d. ? Saut à ski Eléments de correction 2 1) x(t) = v0 . cos(α).t et y(t) = − g.t2 + v0 . sin(α).t + h. 2 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 33 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter + tan(α).x + h. 2) y(x) = − 2.v2 .g.x cos2 (α) 0 q v0 . cos(α) 2 2 3) d = . v0 . sin(α) + v0 . sin (α) + 2.g.h . g 4) d = 71m. ? Le pendule du professeur Tournesol Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 34 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à un pendule OM constitué d’un fil de masse négligeable de longueur d, d’une masse ponctuelle m en M et fixé en O (centre d’un repère cylindrique d’axe (Oz) orienté vers le bas). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g et on appelle T~ la tension appliquée par le fil sur M . 1) Projeter le principe fondamental de la dynamique appliqué au point M sur les trois axes du repère cylindrique. On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 de telle sorte qu’il décrive des cercles horizontaux à vitesse angulaire θ̇ constante. 2) Montrer qu’il est possible que le pendule décrive effectivement des cercles horizontaux à vitesse angulaire θ̇ constante. 3) Exprimer alors ~v0 dans le repère cylindrique en fonction de g, d et α. ? Le pendule du professeur Tournesol Eléments de correction 1) On a : Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 35 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter T . sin(α) r̈ − r.θ̇2 = − m ṙ.θ̇ + r.θ̈ = 0 T z̈ = g − m . cos(α) 2) z = d. cos(α) ⇒ ż = 0 ⇒ z̈ = 0, r = d. sin(α) ⇒ ṙ = 0 ⇒ r̈ = 0 et θ̇ = cste ⇒ θ̈ = 0. Les trois précédentes relations deviennent : T . sin(α) θ̇2 = − m 0=0 m.g = T. cos(α) Il est donc possible que le pendule décrive des cercles horizontaux à vitesse angulaire θ̇ constante. q g.d sin(α).~uθ . 3) Pour peu que ~v0 = cos(α) ? Interaction de deux particules chargées Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 36 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à un problème à une dimension (Ox). On fixe en l’origine O une particule de charge électrique e. On s’intéresse au mouvement d’une autre particule de charge q, de masse m, initialement en A d’abscisse a > 0 et de vitesse initiale v0 . 1) Particules de charges opposées : On suppose que q = −e. Quelle vitesse minimale (vitesse de libération vl ) doit-on communiquer à la particule de charge q pour qu’elle échappe à l’attraction de la particule placée en O ? 2) Particules de charges de même signe : On suppose que q = +e et ~v0 = −v0 .~ux . 2.a) Montrer que cette particule ne peut pas atteindre O. 2.b) Calculer la distance minimale d’approche dmin . ? Interaction de deux particules chargées Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 37 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Particules de charges opposées : v0 ≥ vl = √2.π.εe .m.a . 0 2) Particules de charges de même signe : 2.a) Ep → ∞ si x → 0 or Em ≥ Ep car Ec ≥ 0. a.e2 2.b) x ≥ dmin = e2 +2.π.ε 2. 0 .m.a.v 0 ? Lancement d’un pendule Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 38 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à un pendule OM constitué d’un fil de masse négligeable de longueur d, d’une masse ponctuelle m en M et fixé en O (centre d’un repère d’axe (Oz) orienté vers le haut). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g . On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 orthogonale à ~uz . 1) Altitude maximale : 1.a) Calculer zmax , l’altitude où le point M a une vitesse nulle, si l’on fait abstraction du fil. 1.b) Dans quel domaine varie z ? 1.c) Ré-exprimer zmax en prenant en compte cette dernière contrainte selon la valeur de v0 . 2) Mouvements du pendule : 2.a) Montrer que si v0 > v1 que l’on déterminera, le pendule fait un tour complet autour de O, le fil restant tendu. 2.b) Montrer que si v0 < v2 que l’on déterminera, le pendule oscille, le fil restant tendu. 2.c) Que se passe-t-il si v0 ∈ ]v2 ; v1 [ ? ? Lancement d’un pendule Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 39 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Altitude maximale : v02 1.a) zmax = −d + 2.g . 1.b) z ∈ [−d; +d]. √ v02 , sinon zmax = +d. 1.c) Si v0 < 2. g.d, alors zmax = −d + 2.g 2) Mouvements du pendule : √ 2.a) zmax = +d ⇒ v0 ≥ v1 = 2. g.d : le pendule fait un tour complet autour de O, le fil restant tendu. √ 2.b) zmax ≤ 0 ⇒ v0 < v2 = 2.g.d : le pendule oscille, le fil restant tendu. 2.c) v0 ∈ ]v2 ; v1 [ ⇒ zmax ∈ ]0; +d[ : mouvement circulaire suivi d’une chute libre (le fil ne reste pas tendu). ? Mouvement d’une bille sur un ballon Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 40 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On s’intéresse à une bille qu’on assimile à un point matériel M de masse m et à un ballon fixe dans le référentiel du sol R qu’on assimile, lui, à une sphère de rayon r, de centre O, le centre du repère d’axe (Oy) vertical orienté vers le haut. La bille est lâchée à l’instant initial avec une vitesse initiale ~v0 = v0 .~ux sur le sommet S du ballon. 1) Dans un premier temps, la bille reste en contact avec le ballon : elle glisse sans frottement. ~ ) la position de M sur le ballon. On repère par θ = (~ux , OM ~ de la sphère sur la bille en fonction de θ, g (l’accélération de Déterminer la réaction N la pesanteur), m et r. 2) La bille décolle du ballon. 2.a) Donner la valeur θmax de θ pour laquelle il y a décollage de la bille. 2.b) A partir de quelle vitesse vmin de v0 la bille décolle-t-elle dès le début ? 2.c) Si v0 = 0, déterminer θmax en degrés. ? Mouvement d’une bille sur un ballon Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 41 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) La bille reste en contact : N = m.g.(3. sin θ − 2) − 2) La bille décolle : v02 . 2.a) θmax = arcsin 23 + 3.g.r √ π 2.b) θmax = 2 ⇔ vmin = g.r. 2.c) θmax = 42◦ . m.v02 r . ? L’enfant sur un toboggan Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 42 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter On étudie dans le référentiel terrestre galiléen le mouvement d’un enfant assimilé à un point matériel M de masse m, qui glisse sur un toboggan, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = 1, 5m, de centre O. On se place dans un repère (Oxyz), le vecteur ~uy étant vertical, dirigé vers le haut (l’accélération de la pesanteur est g = 9.81m.s−2 ). La position ~ ). de M est repérée sur le cercle par l’angle θ = (~ux , OM ◦ L’enfant passe de la position initiale θi = −15 où il possède une vitesse nulle jusqu’à la position θf = −90◦ où il quitte le toboggan. On néglige tous les frottements. 1) Moment cinétique : 1.a) Exprimer le moment cinétique ~σO de M en O. 1.b) En déduire l’équation différentielle suivie par θ. 2) Energie mécanique : 2.a) Exprimer l’énergie mécanique Em . 2.b) Retrouver l’équation différentielle suivie par θ. 2.c) En déduire l’expression de la norme v de la vitesse de M en fonction de θ. 2.d) Calculer la vitesse maximale vmax atteinte par l’enfant. Application numérique. ? L’enfant sur un toboggan Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 43 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Moment cinétique : 1.a) ~σO = −m.r2 .θ̇.~uz . σO ~ O ⇒ θ̈ + g cos θ = 0. 1.b) d~dt =M r 2) Energie mécanique : 2.a) Em = 21 m.r2 .θ̇2 + m.g.r. sin θ. m 2.b) dE = 0 ⇒ θ̈ + gr cos θ = 0. dt p 2.c) v = 2.r.g. p (sin θi − sin θ). 2.d) vmax = 2.r.g. (sin θi − sin θf ) = 4, 7m.s−1 = 17km/h. 2 Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale 1.5 Oscillateurs Référentiels non galiléens 1 Lien web Page de garde JJ II J I 0.5 0 2 4 6 8 x Page 44 / 63 Retour Plein écran Fermer Fig. 4 – Energie potentielle de Yukawa Quitter 10 4. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 45 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Mouvements dans un champ de force centrale ? Caractéristiques géométriques de la trajectoire du premier satellite artificiel Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 46 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Dans le référentiel géocentrique Rg qu’on supposera galiléen, le premier satellite artificiel, qu’on assimilera à un point matériel, de masse m, décrivait une trajectoire elliptique autour de O, centre de la Terre, de rayon RT = 6400km. Il avait son apogée à une altitude hA = 327km et son périgée à une altitude hP = 180km. 1) Déterminer le demi grand axe a. 0 2) Déterminer c = F 2F , la demi distance entre les deux foyers. 3) Déterminer le demi petit axe b. 4) Déterminer le paramètre p. 5) Déterminer l’excentricité e de l’ellipse. ? Caractéristiques géométriques de la trajectoire du premier satellite artificiel Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 47 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) 2) 3) 4) 5) 2.a = 2.RT + hA + hP = 6, 65.103 km. a − c = RT + hP ⇒ c = 73, 5km. a2 = b2 + c2 ⇒ b = 6, 65.103 km. 2 p = ba = 6, 65.103 km. c e = a = 0, 0110. 5. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 48 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Oscillateurs ? Utilisation d’un portrait de phase Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 49 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Etude théorique : On s’intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k placé horizontalement. Son extrémité gauche est fixe (en O, centre du repère d’axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, et l’extrémité droite est liée à un point matériel M de masse m, astreint par une tige à se déplacer sans frottement suivant l’axe (Ox), et qui subit une force de frottement fluide f~ = λ.~v , où ~v est sa vitesse et λ > 0, une constante. 1.a) Ecrire l’équation différentielle suivie par l’élongation l = x − l0 , où x est l’absisse du point M . 1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l’oscillateur en fonction de k et m. 1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l’oscillateur en fonction de λ et m. 2) Etude pratique : On donne sur la figure 5 le portrait de phase (x(t), ẋ(t)) de l’oscillateur. Déterminer par lecture graphique : 2.a) la nature du régime de l’oscillateur (qu’est-ce que cela induit ?) ; 2.b) la valeur initiale de la position xi = x(t = 0) ; 2.c) la valeur finale de la position xf = x(tf ) ; t 2.d) le rapport Tf où T est la pseudo-période. ? Utilisation d’un portrait de phase Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 50 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Etude théorique : 1.a) m.¨l + λ.l˙ + k.l = 0 ou ¨l + ωQ0 .l˙ + ω02 .l = 0. q k 1.b) ω0 = m . √ 1 1.c) Q = λ . k.m. 2) Etude pratique : 2.a) Régime pseudo-périodique (⇒ Q > 12 ) ; 2.b) xi = 0 ; 2.c) xf = 0 ; t 2.d) Tf ≈ 2 ; 2.e) δ ≈ 2. ? Tracé d’un portrait de phase Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 51 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) Equation de l’oscillateur : On s’intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k = 11N.m−1 placé horizontalement. Son extrémité gauche est fixe (en O, centre du repère d’axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, et l’extrémité droite est liée à un point matériel M de masse m = 130g, astreint par une tige à se déplacer sans frottement suivant l’axe (Ox), et qui subit une force de frottement fluide f~ = λ.~v , où ~v est sa vitesse et λ = 1, 2N.m−1 .s, une constante. 1.a) Ecrire l’équation différentielle suivie par l’élongation l = x − l0 , où x est l’absisse du point M . 1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l’oscillateur en fonction de k et m. Application numérique. 1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l’oscillateur en fonction de λ et m. Application numérique. 2) Solution de l’équation différentielle : t l(t) = l0 .e− τ .cos(ω.t + ϕ) est solution de l’équation différentielle. 2.a) Justifier le fait que la solution est pseudo-périodique. 2.b) Exprimer la pulsation ω en fonction de ω0 et Q. Application numérique. 2.c) En déduire la pseudo-période T . Application numérique. 2.d) Exprimer le temps τ en fonction de ω0 et Q. Application numérique. 3) Portrait de phase : Les conditions initiales (x(t = 0) = 10cm et ẋ(t = 0) = 0) imposent x0 = 11, 56cm et ϕ = −0, 5256rad. Donner l’alure du portrait de phase (x(t), ẋ(t)) de l’oscillateur. ? Tracé d’un portrait de phase Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens 1) Equation différentielle : 1.a) m.¨l + λ.l˙ + k.l = 0 ou ¨l + ωQ0 .l˙ + ω02 .l = 0. q k 1.b) ω0 = m = 9, 2rad.s−1 . √ 1.c) Q = λ1 . k.m = 1, 0. 2) Solution de l’équation différentielle : 2.a) La solution est pseudo-périodique car Q > 21 . q 1 −1 . 2.b) ω = ω0 . 1 − (2.Q) 2 = 8, 0rad.s 2.c) T = Lien web Page de garde JJ II J I Page 52 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter ω0 . 2.π q1− 1 (2.Q)2 = 0, 79s. 2.d) τ = 2.Q ω0 = 0, 22s. 3) Portrait de phase : Le portrait de phase de l’oscillateur est donné sur la figure 6. Cinématique 0.2 Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale 0.1 Oscillateurs Référentiels non galiléens -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0 Lien web Page de garde JJ II J I -0.1 -0.2 Page 53 / 63 -0.3 Retour Plein écran Fermer Fig. 5 – Portrait de phase (x(t), ẋ(t)) Quitter 0.06 Cinématique Changement de référentiel 0.02 0.04 0.06 0.08 0 Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs -0.1 Référentiels non galiléens -0.2 Lien web Page de garde JJ II J I -0.3 -0.4 Page 54 / 63 -0.5 Retour Plein écran Fermer Fig. 6 – Portrait de phase (x(t), ẋ(t)) Quitter 0.1 6. Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 55 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Référentiels non galiléens ? Pendule dans un ascenseur Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 56 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne vertical. Un pendule simple constitué d’un fil sans masse et d’un point matériel M de masse m est suspendu en O dans l’ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l’angle que fait le fil avec la verticale. L’accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz . 1) Déterminer la période T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants : 1.a) L’ascenseur est immobile ; 1.b) L’ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ; 1.c) L’ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz . ? Pendule dans un ascenseur Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 57 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) La période T des petites oscillations se trouve en écrivant l’équation différentielle suivie par θ : q l . θ̈ + (g−azl). sin θ = 0, soit T = 2.π. g−a z q 1.a) L’ascenseur est immobile : az = 0 ⇒ T = 2.π. gl . q l . 1.b) L’ascenseur commence à monter : az = +a ⇒ T = 2.π. g−a q l 1.c) L’ascenseur commence à descendre : az = −a ⇒ T = 2.π. g+a . ? Pendule dans une voiture Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 58 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d’accélération ~a = a.~ux . Un pendule simple constitué d’un fil sans masse et d’un point matériel M de masse m est suspendu en O dans le véhicule. Sa longueur est l = OM . θ est l’angle que fait le fil avec la verticale (cet angle étant orienté, avec ~uz pointant vers nous, (~ux , ~uy , ~uz ) étant un trièdre direct). L’accélération du champ de pesanteur est ~g = g.~uy . 1) Déterminer l’équation différentielle suivie par θ. 2) Déterminer la position d’équilibre repérée par l’angle α que fait le fil avec la verticale. 3) Quelle est la période des petites oscillations autour de α ? On donne sin (α ± β) = sin α. cos β±cos α. sin β et cos (α ± β) = cos α. cos β∓sin α. sin β. ? Pendule dans une voiture Eléments de correction g. sin θ−a. cos θ l = arctan ag . 1) θ̈ + = 0. Cinématique 2) α Changement de référentiel q l 3) T = 2.π. g. cos α+a. sin α . Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 59 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter ? Entraı̂nement à l’apesanteur Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 60 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Pour s’entraı̂ner à l’impesanteur, les astronautes vont dans un avion. On supposera grossièrement que l’avion est en translation par rapport au sol, supposé galiléen. Le champ de pesanteur ~g = −g.~uz est homogène avec g = 9, 81m.s−2 . 1) Quelle doit être la nature de la trajectoire de l’avion pour obtenir l’effet d’impesanteur pendant le vol ? L’avion vole à une altitude limitée à h = 9000m. 2) Quelle est la durée maximale T pendant laquelle on peut réaliser l’impesanteur par ce procédé ? ? Entraı̂nement à l’apesanteur Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens 1) Dans le référentiel de l’avion, la force d’inertie doit compenser le poids : l’avion doit avoir une accélération ~a = ~g . Soit : z̈ = −g ż = −g.t + v0z 2 z = − g.t2 + v0z .t La nature de la trajectoire de l’avion est donc une parabole. 2) A t = 0, l’avion est au sol. L’altitude maximale z = h de l’avion est atteinte à t = t0 = v0z g . A t = T l’avion retourne au sol. On trouve donc : Lien web s Page de garde JJ II J I Page 61 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter T =2 2.h g ? Ressort vertical dans un ascenseur Enoncé Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 62 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel R2 ), a un mouvement de translation rectiligne vertical. On suspend en un point O de l’ascenseur un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 qui soutient un point matériel M de masse m (initialement immobile dans l’ascenseur). L’accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz . 1) Déterminer l’altitude z de M au cours du temps : 1.a) si l’ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ; 1.b) si l’ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz . 2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même si M n’est pas au repos initialement ? ? Ressort vertical dans un ascenseur Eléments de correction Cinématique Changement de référentiel Dynamique Champ de force centrale Oscillateurs Référentiels non galiléens Lien web Page de garde JJ II J I Page 63 / 63 Retour Plein écran Fermer Quitter 1) La période T des petites oscillations se trouve en écrivant l’équation différentielle suivie par θ : q m k m.z̈ = m.(g − az ) − k.(z − l0 ), soit z = z0 . cos m t + ϕ + l0 + k (g − az ). m Initialement, ż = 0 ⇒ z̈ = 0 ⇒ z = l0 + m k (g) car az = 0. Or z = z0 . cos (ϕ)+l0 + k (g) = m l0 + k (g) ⇒ z0 = 0. 1.a) L’ascenseur commence à monter : az = +a ⇒ z = l0 + m k (g − a). 1.b) L’ascenseur commence à descendre : az = −a ⇒ z = l0 + m k (g + a). 2) Même si M n’est pas au repos initialement, on peut, grâce à des frottement fluides retrouver les mêmes résultats si t → ∞. Aussi, l’axe z peut être gradué pour az .
