Intégrales impropres et Suite d`intégrales

Optimal Sup-Spé. Le n° 1
Intégrales impropres et
Suite d’intégrales
Maths Spé - Concours 2014
Problématique
On considère dans ce point de cours une fonction f , continue sur r1, `8r, on on cherche le lien entre les deux
propriétés suivantes :
ż `8
— l’intégrale
f ptq dt converge (i),
ˆż n1
˙
— la suite
f ptq dt
converge (ii).
1
nPN˚
Résolution du problème en trois étapes
1. La première implication est vraie.
On noteraż tout d’abord que la convergence de l’intégrale assure la convergence de la suite d’intégrales.
En effet,
żx
`8
si l’intégrale
f ptq dt converge, cela signifie que la fonction qui au réel x associe l’intégrale
f ptq dt admet une
1
1
limite finie en `8, que l’on peut par exemple noter `. Si l’on note F cette fonction, on a donc : lim F pxq “ `. Il en
xÑ`8
résulte naturellement que : lim F pnq “ `. La convergence de la suite d’intégrales est donc établie.
nÑ`8
Rappel de cours
A retenir : la convergence de l’intégrale assure la convergence de la suite d’intégrales vers la valeur de cette
intégrale impropre convergente.
2. La seconde implication n’est pas toujours vraie.
On peut en effet imaginer une fonction dont le graphique serait sinusoïdal, telle que pour tout entier naturel n,
l’intégrale de 1 à n serait nulle. La suite d’intégrales serait donc la suite nulle, donc convergerait. Une telleż fonction
x
pourrait pourtant ne pas admettre d’intégrale impropre convergente de 1 à `8 : soit parce que la quantité
f ptq dt
1
Optimal Sup/Spé - 11, rue Geoffroy l’Angevin 75004 Paris - tel : 01.40.26.78.78 - www.optimalsupspe.fr
2
- Concours 2014
n’admet pas de limite lorsque x tend vers `8, soit parce que cette quantité admet une limite infinie lorsque x tend
vers `8.
Attention !
La convergence de la suite d’intégrales n’assure pas toujours la convergence de l’intégrale impropre.
3. La seconde implication est vraie lorsque f est positive.
żx
On notera que lorsque la fonction f est positive, alors la fonction F , qui à x associe
f ptq dt, est une fonction
1
croissante : plus x augmente, plus l’intégrale est élevée, s’agissant ici d’une aire puisque f est positive. Pour s’en
convaincre, on peut aussi, le cas échéant la dériver. En vertu du théorème de la limite monotone, cette fonction F
admet en `8 une limite, qui est soit finie, soit égale à `8. On notera ` cette limite finie ou infinie.
Supposons, toujours dans le cas où f soit positive, que la propriété (ii) soit vraie, c’est-à-dire que la suite d’intégrales
pF pnqqnPN ˚ soit convergente. Alors, puisque la fonction F admet une limite notée ` en `8, on a : lim F pxq “ `.
nÑ`8
Or cette limite est supposée réelle puisque l’on a pris pour hypothèse que la suite d’intégrales soit convergente. On en
déduit que ` est réel.
ż `8
f ptq dt converge. La seconde implication a donc bien été
On peut alors conclure, par définition, que l’intégrale
démontrée. Retenez ce théorème important :
1
Rappel de cours
Théorème de la limite monotone. Si f est une fonction réelle définie et croissante sur sa, br, alors f admet
au point b une limite finie ou égale à `8 ; au point a un limite finie ou égale à ´8, et enfin, en tout point x0
de sa, br, une limite finie à gauche et une limite finie à droite.
4. Conclusion
En guise de conclusion on pourra rappeler que si l’on a la convergence de la suite d’intégrales et que l’on veut
aboutir à la convergence de l’intégrale impropre on pourra se référer au point méthode suivant.
Point méthode
Montrer la convergence de l’intégrale impropre lorsque la suite d’intégrales converge. On pourra
procéder par étapes :
— Montrer que f est positive,
żx
— En déduire que la fonction F , qui à x associe
f ptq dt, est croissante.
1
— En déduire, à l’aide du théorème de la limite monotone, que cette fonction F admet en `8 une limite
finie ou égale à `8
— En notant ` cette limite finie ou infinie, exploiter la convergence de la suite d’intégrales qui n’est autre
que pF pnqqnPN ˚ , et par unicité de la limite, conclure que ` ne peut être qu’un réel
— Conclure à l’aide de la définition de la convergence d’une intégrale impropre.