TD 2 - la VaR Normale

D. Herlemont
Mesure de Risque de Marché
TD 2 - la VaR Normale
1. On considère un portefeuille entièrement investi dans une seule action dont le prix initial
est de 100 C. L’évolution du prix de l’action est donné par S = 100 ∗ exp(r), avec le taux de
rendement r normalement distribué de moyenne 0.1 et écart type de 0.2. Quelle est la VaR du
portefeuille a 99%. Pour quelle valeur S ∗ du prix de l’action cette VaR est elle atteinte ?
Corrigé: Réponse
P (∆S ≤ V aR) = 1 − α
(1)
P (S0 er − S0 ≤ V aR) = 1 − α
(2)
On fait apparaı̂tre une loi normale centrée réduite
log(V aR/S0 + 1) − µ
r−µ
≤
=1−α
P
σ
σ
(3)
D’ou
V aR = S0 eµ−zα σ − 1 − 30.65
(4)
∗
Par définition, S − S = V aR, d’ou
S ∗ = S0 eµ−zα σ = 69.35
(5)
2. On considère un portefeuille composé de deux actifs A et B dont les rendements journaliers
sont en moyenne de µA = 50bp et µA = 30 bp, les volatilité journalières sont égales à σA = 2%
et σB = 3%. La correlation entre les actifs A et B est de ρ = 0.5. Le portefeuille est composé de
θA = 2 titres A en position longue et θB = −1 titre B en position courte. Les prix des actifs sont
respectivement de SA = 244 euros et SB = 135 euros.
Quelle est la VaR journalière à 99%
a) 17.758
b) 19,793
c) 18,42
d) 30,23
Justifier la réponse (Ecrire la formule générale de la VaR du portefeuille en fonction positions,
prix, espérances, volatilites et corrélation)
Corrigé: Solution: réponse A
Rappel de cours: soit W la valeur du portefeuille, d’après la définition de la VaR:
P rob(∆W ≤ V aR) = α
Daniel Herlemont
1
∆W est normalement distribué de moyenne µDeltaW et écart type σ∆W . Il suffit de centrer et
réduire pour exprimer la VaR en fonction du quantile zα d’une loi normale centrée réduite.
V aR = µDeltaW − zα σ∆W
avec zα = 2.33 pour α = 0.99
La valeur du portefeuille est
W = θA SA + θB SB
Sa variation est
∆W = θA ∆SA + θB ∆SB
ou encore, en faisant apparaı̂tre le rendement (∆S/S):
∆W = θA SA ∆SA /SA + θB SB ∆SB /SB
On en deduit
µ∆W = θA SA µA + θB SB µB
et
2
2 2 2
2 2 2
σ∆W
= θA
SA σA + θB
SB σB + 2ρθA SA σA θB SB σB
Soit, en remplaçant par les données numériques
µ∆W = 2 ∗ 244 ∗ 50/10000 + (−1) ∗ 135 ∗ 30/10000 = 2.035
σ∆W =
p
22 ∗ 2442 ∗ 0.022 + (−1)2 ∗ 1352 ∗ 0.032 + 2 ∗ 0.5 ∗ 2 ∗ 244 ∗ 0.02 ∗ (−1) ∗ 135 ∗ 0.03 = 8.493
et la VaR
V aR = 2.035 − 2.33 ∗ 8.493 = 17.8
3. Un trader intervient sur les marchés future d’indice du CAC40. La volatilité du CAC40 est de
1.5% par jour calendaire. On suppose que les rendements du CAC40 sont normalement distribués
et de moyenne nulle, une année compte 365 jours calendaires et 252 jours de trading Le contrat
future est à 3000 points et la valeur du point est de 10 euros.
Sa contrainte est de 1 Million d’euros, exprimée en terme de Value at Risk à 99% sur 10 jours
de trading.
Calculer la limite en terme de nombre contrats que le trader ne devra pas dépasser.
Corrigé: Soit x le nombre de contrats a ne pas dépasser. La valeur en euros du portefeuille
√
ou le notionnel de la position est V = x ∗ 3000 ∗ 10
p euros. La volatilité annuelle est de 0.015 ∗ 365
la
p volatilite sur un jour de trading est 0.015 ∗ 365/252 et sur 10 jours de trading σ = 0.015 ∗
10 ∗ 365/252. La VaR à 99% à 10 jours est 2.33V σ elle doit être égale à 1MEuros. D’ou le
nombre de contrats maximum:
x=
106
2.33 ∗ 30000 ∗ 0.015 ∗
p
302 si on applique pas la correction en 365/252.
Daniel Herlemont
p
10 ∗ 365/252
≈ 251,
(6)
2
4. En reprenant les données de l’exercice précédent, on suppose que le trader intervient également
sur l’indice du DAX. La volatilité du DAX est identique à celle du CAC et sa corrélation avec le
CAC est de 0.9. Le DAX est à 5000 points et un point de contrat DAX vaut 25 euros.
La contrainte est toujours de 1 Million d’euros, exprimée en terme de Value at Risk à 99% sur
10 jours de trading.
Exprimer la relation que devront satisfaire les positions dans le CAC et DAX en terme de
nombre de contrats, afin de respecter la limite de la VaR.
Corrigé: Soit Nc le nombre de contrats du CAC40 et Nd le nombre de contrats dans le DAX.
LA valeur V du portefeuille est
V = 10Nc Pc + 25Nd Pd
Si on ne change pas la composition du portefeuille, la variation sur 10 jours est
dV = 10Nc Pc δPc + 25Nd Pd δPd /Pd
La value at risk est zα σdV , celle ci doit etre de 1ME avec
q
σdV = (10 ∗ 3000 ∗ Nc )2 σc2 + (25 ∗ 5000 ∗ Nd )2 σd2 + (10 ∗ 3000 ∗ Nc )σc ∗ 25 ∗ 5000 ∗ Nd σd ρ
1012 = 2.332 ∗(0.015)2 ∗10∗365/252 (10 ∗ 3000 ∗ Nc )2 + (25 ∗ 5000 ∗ Nd )2 + 0.9 ∗ 10 ∗ 3000 ∗ Nc ∗ 25 ∗ 5000 ∗ Nd
soit
15.92 ∗ Nc2 + 276Nd2 + 59.71Nc Nd ≤ 106
ce qui détermine une ellipse.
√ Dans le cas ou on choisit de ne pas investir dans le DAX (Nd = 0),
on retrouve bien 251 (106 / 15.92) contrats pour le CAC.
5. Les différentes VaR à 99% sur 10 jours du ”Trading Book” d’un banque ont été mesurées
comme suit: la VaR des produits ”Taux” est de 200 Millions, celle sur les actions de 15 Millions, et
celle sur les devises de 50 Millions. En supposant qu’il n’y a pas de correlation entre ces différentes
classes d’actifs, determiner le capital minimum tel que définit par BALE II correspondant au risque
de marché:
a) 150 Millions
b) 207 Millions
c) 265 Millions
d) 620 Millions
Justifier la réponse.
Corrigé: reponse D, 3 ∗
Daniel Herlemont
√
2002 + 152 + 502
3