Série 3

32. Pour n > 1, trouver un graphe simple non connexe avec |U| = (n-1) (n-2).
33. Montrer que si G est simple, connexe mais non complet alors il existe trois sommets x, y
et z tels que xy ∈ U et yz ∈ U mais xz ∉ U.
34. Montrer que si G n’est pas connexe alors G son complémentaire l’est.
Si G est connexe alors deux chaînes de longueur maximale ont un sommet en commun.
35. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un 1-graphe f- connexe
avec « n » sommets et « m » arcs. Déterminer la borne inférieure du nombre d’arcs qu’il faut
retirer à un graphe pour lui faire perdre sa f- connexité.
36. Décomposer le graphe suivant en ses composantes fortement connexes et lui associer son
graphe réduit.
37. Montrer que dans un graphe G = (X, U) on a les relations suivantes :
a) si G est complet alors G est connexe.
b) si G est f- connexe alors G est connexe.
et le diagramme suivant :
complet
/
f- connexe ; complet
/
connexe
/
connexe
/
f-connexe
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38. Soit C(G), le nombre de composantes connexes d’un graphe G = (V, E) où V est
l’ensemble des sommets ( appelés vertex en Anglais ) et E l’ensemble des arêtes ( Edges )
Montrer que: C(G) + E ≥ V.
39. Soit G = (X, U, I, T) un graphe orienté. Ajouter un arc à G, c'est considérer un arc u qui
n'appartient pas à U et prolonger I et T à U ∪ {u}.
On obtient G' = (X, U ∪ {u}, I', T') à partir de G tel que :
I' et T' : U ∪ {u}
X
a) Montrer que si on ajoute un arc u = ( ab ) avec ( a , b ) ∈ X x X au graphe G = (X, U)
alors soit le nombre de composantes connexes diminue de une unité soit on crée un cycle
dans G et le nombre de composantes connexes ne change pas.
b) Soit G = ( X , U ) un graphe avec | X | = n et | U | = m. Montrer que :
i) Si G est connexe alors | U | ≥ | X | - 1 ( | U | > n-1 )
ii) Si G est sans cycle alors | U | ≤ n-1
(Indication : raisonner en reconstruisant le graphe G = (X, U) à partir du graphe G' = (X,∅ ))
40. Montrer qu'un graphe est biparti si et seulement si il ne contient pas de cycle impair.
41. Un chemin (respectivement une chaîne) est hamiltonien s'il passe une et une seule fois
par tous les sommets du graphe (on tolère la répétition du sommet initial et final)
Un chemin (respectivement une chaîne) est Eulérien s'il passe une et une seule fois par tous
les arcs du graphe. De même on peut définir cycles et circuits hamiltoniens ou eulériens.
Démontrer le théorème de KÖNIG qui stipule que :
Si G est un 1-graphe complet alors G possède un chemin hamiltonien.
42. ALGORITHME DE DÉTERMINATION D'UN CHEMIN HAMILTONIEN
Soit G = (X, U) un 1-graphe complet
i) soit x1 un sommet tel que d+G (x1) soit maximum
ii) Dans le sous graphe engendré par Γ(x1) - {x1} on appelle x2 un sommet de d+G (x2)
maximum
iii) Dans le sous graphe engendré par
Γ(x1) - {x1, x2} on appelle x3 un sommet de d+G (x)
maximum ........... Alors le chemin [x1, x 2, x 3, ..., xn] est hamiltonien.
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Justifier et montrer la finitude de cet algorithme.
Déterminer un chemin hamiltonien pour le graphe suivant :
43. Montrer que si G = (X, U) est un 1-graphe complet alors les deux assertions suivantes
sont équivalentes.
a) G possède un circuit Hamiltonien
b) G est f-connexe
Ce résultat est connu sous le nom du théorème de CAMION (1959).
44. Soient G = (X, U) un graphe orienté où X = {x1, x2,..., xn} et M = M(G) sa matrice
d'adjacence. Si Mk = M x M x...x M (k fois) = (m
ij
(k)
), 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n et
k ≥ 1.
Montrer alors que m ij(k) est le nombre de chemin de longueur " k " du sommet xi au sommet
xj dans G.
45. *) Soit Γ = Γ + ∪ Γ- un cycle. Considérons les graphes G + = (X, Γ+) et G- = ( X, Γ- )
Montrer que ∀ x ∈ X : d+ G+ ( x ) - d- G+ ( x ) - d+ G- ( x ) + d- G- ( x ) = 0
*) Si Γ est un cycle élémentaire de G le graphe (X, Γ) a tous ses sommets de degré 0 ou 2.
46. Dans le graphe de PETERSEN trouver des cycles simples de longueur respectivement
5, 6, 8 et 9.
47. Un graphe simple est Hamiltonien ( respectivement semi-Hamiltonien ) s'il possède
un cycle Hamiltonien ( une chaîne Hamiltonienne ). Un graphe simple est dit " Eulérien
" (respectivement semi-Eulérien) s'il possède un cycle Eulérien (respectivement une chaîne
Eulérienne). Soit G = (X, U) un graphe simple d'ordre n ≥ 3.
Si ∀ (x, y) ∈ X2, x et y sont non adjacents et si d(x) + d(y) ≥ n alors G est Hamiltonien.
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En déduire que si un graphe est simple d'ordre n ≥ 3 et si ∀ x ∈ X, d(x) ≥ n / 2 alors
G est Hamiltonien.
48. Trouver un graphe simple Eulérien non Hamiltonien et un graphe simple hamiltonien
non Eulérien.
49. La figure suivante peut-elle être tracée sans lever le crayon et sans passer deux fois sur un
même trait ? Si oui comment ?
50. Le graphe suivant appelé le dodécaèdre, est-il hamiltonien ?
51. Prouver que si G est un graphe simple biparti et d'ordre impair strictement supérieur à
un alors G est non Hamiltonien. En déduire que le graphe simple appelé de HERSCHEL
est non Hamiltonien
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52. Montrer qu'un multigraphe G admet une chaîne Eulérienne si et seulement si il est
connexe et si le nombre des sommets de degré impair est 0 ou 2 (Théorème d'EULER).
En déduire que le problème de KOENISBERG n'a pas de solutions.
53. Montrer qu'un graphe est EULERIEN si et seulement si il est connexe et tous ses sommets
soient de degré pair (à des points isolés).
54. G admet un circuit Eulérien si et seulement si G est connexe et
d+G (x) = d-G (x), ∀ x ∈ X.
55. G admet un chemin Eulérien joignant a et b si et seulement si G est connexe et
d+G (a) = d-G (a) + 1 ,d+G (b) = d-G (b) - 1 et d+G (x) = d-G (x) ∀ x ∈ X - { a, b }.
56. ALGORITHME POUR TRACER UN CYCLE EULERIEN ( FLEURY )
Soit G = (X, U) un graphe.
Un isthme est une arête dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes.
Considérons un multi graphe G connexe dont tous les sommets sont de degré pair.
i) On part d'un sommet « a » quelconque et l'on suit une chaîne sans jamais utiliser deux
fois la même arête.
ii) Arrivé en un sommet x ≠ a , à la k ième étape on ne prendra jamais une arête qui au
moment considéré est un isthme pour le graphe G engendré par les arêtes non encore
utilisées ( excepté si x est un sommet pendant de G )
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iii) Si on arrive au sommet a , on repart par une arête quelconque nouvelle si elle existe
sinon stop et fin.
Le graphe suivant possède-t-il un cycle Eulérien ? Si oui, le déterminer. Possède-t-il un
circuit Eulérien ? Pourquoi ?
57. Étant donnés deux circuits disjoints ( n'ayant aucun arc en commun)
C ' = ( x0 , u'1 , x'1 , u'2 ,....,x'p’-1 , u'p’ )
C" = ( x0 , u'‘1 , x’'1 , u’'2 ,....,x’'p’’-1 , u’'p’’ )
et possèdent ( dans la description arcs-sommets ) un sommet x0 en commun , on peut
fusionner ces deux circuits en un seul :
C = ( x0 , u'1 , x'1 , u'2 ,....,x'p’-1 , u'p’ , x0 , u'‘1 , x’'1 , u’'2 ,....,x’'p’’-1 , u’'p’’ )
ALGORITHME DE RECHERCHE D'UN CIRCUIT EULERIEN :
Soit un graphe G = ( X , U ) tel que : d+G (x) = d-G (x) ∀ x ∈ X
Dans l'algorithme présenté, le circuit Eulérien est construit de manière progressive par
fusions successives de circuits. On désigne par C la séquence partielle qui à la fin de
l'application de l'algorithme sera le circuit Eulérien cherché.
A chaque étape de l'algorithme on désigne par U$ l'ensemble des arcs du graphe qui
n'appartiennent pas encore à la séquence C.
On colorie le sommet x :
. En rouge si : d ( X , U$ ) ( x ) = 0
( Si tous les arcs adjacents à x ont été pris en compte ).
. En jaune si : 0 < d ( X , U$ ) ( x ) < d G ( x ) ; d+ ( X , U$ ) ( x ) = d- ( X , U$ ) ( x )
( Si certains arcs adjacents à x ont été pris en compte , mais pas tous )
. En vert si : d+ ( X , U$ ) ( x ) < d- ( X ,
)(x)
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ALGORITHME :
(0) Aucun sommet n'est colorié. Soit x ∈ X, colorier x en vert,
Poser U$ = U, C = C' = ∅, F = 0.
Aller en (1).
(1). Soit u = (xy) ∈ U$
Poser U$ : U$ - { u } , C' : C' ⊕ u
.Si y n'est pas colorié en vert, aller en (2)
. Si y est colorié en vert, aller en (3)
(2). Si d- ( X , U$ ) ( x ) = 0 colorier y en rouge
. Si d- ( X , U$ ) ( x ) > 0 colorier y en jaune
Poser x : = y
Aller en (1).
(3). Si d- ( X , U$ ) (y) = 0 colorier y en rouge , aller en (4)
. Si d- ( X , U$ ) (y) > 0 , poser x : = y , aller en (1)
(4). Si F = 0 Poser C = C' ; C' = ∅ ; F = 1 . Aller en (5)
. Si F = 1 les circuits C et C' ont le sommet y en commun
Fusionner les circuits C et C' et appeler C le nouveau circuit obtenu.
Poser C' = ∅ . Aller en (5).
(5). S'il existe un sommet colorié en jaune, soit x un tel sommet.
Colorier x en vert. Aller en (1).
. S'il n'existe pas de sommet colorié en jaune, terminer ;
C est le circuit Eulérien cherché.
Appliquer cet algorithme au cas du graphe suivant :
Justifier cet algorithme. De même discuter de sa finitude.
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58. Soit G un 1-graphe donné sous forme de dictionnaire. Représenter ce graphe.
Admet- il des circuits ?
x
ΓG - (x)
b
c, d
c
d, g
d
∅
e
a, g
f
e, a
g
a, h
h
B
59. Est-il possible de mettre en ordre le graphe suivant ? Admet-il un chemin Hamiltonien
?
Si oui, le déterminer.
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