Relaxation du périmètre avec contraintes de connexité dans le plan.

Transcription

Relaxation du périmètre avec contraintes de connexité
dans le plan.
François Dayrens
Rencontre ANR Geometrya et Optiform
17 mars 2016
Travail en collaboration avec Simon Masnou et Matteo Novaga
François Dayrens
Relaxation du périmètre connexe
17 mars 2016
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Introduction
Périmètre et connexité
Soit E un ensemble régulier déconnecté
François Dayrens
17 mars 2016
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Introduction
qu’on approche par une suite d’ensembles connexes.
François Dayrens
17 mars 2016
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Introduction
`
qu’on approche par une suite d’ensembles connexes.
François Dayrens
17 mars 2016
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Introduction
Périmètre limite
Ainsi on obtient
lim P(En ) = P(E ) + 2`.
n→+∞
Peut-on quantifier une longueur ` minimale ?
François Dayrens
17 mars 2016
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Introduction
Plan
1
Présentation du résultat
2
Formalismes et topologies
Le périmètre
La topologie L1
Les arbres de Steiner
Énoncé du théorème
3
Éléments de preuve
Preuve de la Γ − lim inf
Preuve de la Γ − lim sup
4
Extension et application
François Dayrens
17 mars 2016
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Plan
1
2
Le périmètre
La topologie L1
3
4
François Dayrens
17 mars 2016
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Périmètre connexe minimal
`
` : longueur minimale.
François Dayrens
17 mars 2016
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Suite approchante.
François Dayrens
17 mars 2016
6 / 37
Arbre de Steiner.
François Dayrens
17 mars 2016
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En introduisant St(E ), la longueur des arbres de Steiner de E , on a :
inf{lim P(En ) | (En ) connexe, En → E } = P(E ) + 2St(E ).
François Dayrens
17 mars 2016
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Périmètre simplement connexe minimal
De manière similaire en approchant E par des ensembles simplement
connexes.
François Dayrens
17 mars 2016
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connexes.
François Dayrens
17 mars 2016
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connexes.
`c
`
périmètre limite : P(E ) + 2` + 2`c
François Dayrens
17 mars 2016
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Résultats intuitifs
I
Approximation par des ensembles connexes :
inf{lim P(En ) | (En ) connexe, En → E } = P(E ) + 2St(E )
I
Approximation par des ensembles simplement connexes :
inf{lim P(En ) | (En ) simplement connexe, En → E } =
P(E ) + 2St(E ) + 2St(R2 r E )
Les bornes inférieures correspondent chacune à une enveloppe semi
continue inférieurement d’une énergie impliquant le périmètre et une
contrainte de connexité.
François Dayrens
17 mars 2016
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Plan
1
2
Le périmètre
La topologie L1
3
4
François Dayrens
17 mars 2016
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Le périmètre
Ensembles de périmètre fini
Soit E un ensemble mesurable de Rd .
Périmètre
E est de périmètre fini si la variation totale de sa fonction indicatrice
Z
1
d
d
TV (1E ) = sup
divϕdx ϕ ∈ Cc (R , R ), |ϕ| 6 1
E
est finie. On note P(E ) = TV (1E ) le périmètre de E .
I
I
I
On retrouve P(E ) = Hd−1 (∂E ) pour un ensemble E régulier.
La topologie naturelle associée à P est la topologie L1 .
P est semi continue inférieurement :
P(E ) 6 lim inf P(En )
n→+∞
L1
I
dès que En → E en topologie
(c-à-d |E ∆En | → 0).
1
P induit de la compacité dans L .
François Dayrens
17 mars 2016
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Le périmètre
Topologie L1 et topologie classique
E1
E2
I
E1 = E2 en topologie L1 (car |E1 ∆E2 | = 0) ainsi P(E1 ) = P(E2 ).
I
∂E1 6= ∂E2 et même Hd−1 (∂E1 ) 6= Hd−1 (∂E2 ).
I
E1 est connexe alors que E2 ne l’est pas.
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Intérieur et bord d’un ensemble
Densité
Soit E un ensemble mesurable, on définit la densité de E en x ∈ Rd par
θE (x) = lim
r →0
|E ∩ B(x, r )|
.
|B(x, r )|
On définit également
E t = {x ∈ Rd | θE (x) = t}.
Si E est de périmètre fini alors
I
θ existe Hd−1 -presque partout,
I
Rd = E 0 ∪ E 1/2 ∪ E 1 est une Hd−1 -presque partition,
I
E 1 est l’intérieur (essentiel) de E et E 1/2 est son bord (essentiel),
I
E = E 1 en topologie L1 et P(E ) = Hd−1 (E 1/2 ).
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Liens entre les topologies
Propriété
Soit E un ensemble de périmètre fini tel que P(E ) = Hd−1 (∂E ), alors on a
◦
E1 = E
mod Hd−1
et E 0 = Rd r E
mod Hd−1 .
Propriété
Soit E un ensemble de périmètre fini tel que E = E 1 , alors on a
∂E = ∂E 1 = ∂E 0 .
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Composante connexe
Décomposabilité
Soit E un ensemble de périmètre fini, on dit que E est décomposable s’il
existe A, B deux ensembles mesurables non négligeables tels que
E =A∪B
et P(E ) = P(A) + P(B).
I
E est dit indécomposable s’il n’est pas décomposable.
I
Si E est ouvert, connexe et si P(E ) = Hd−1 (∂E ) alors E est
indécomposable.
L. Ambrosio, V. Caselles, S. Masnou, JM. Morel.
Connected components of sets of finite perimeter and applications to
image processing. J. European Math. Soc. 3(3) : 39-92 (2001).
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Composante connexe
Décomposabilité
Soit E un ensemble de périmètre fini, on dit que E est décomposable s’il
existe A, B deux ensembles mesurables non négligeables tels que
E =A∪B
et P(E ) = P(A) + P(B).
Théorème de décomposition
Soit E un ensemble de périmètre fini. Il existe une famille (au plus
dénombrable) (Ei ) d’ensembles indécomposables tel que
I
I
I
I
|Ei | > 0,
P
P(E ) = P(Ei ),
S
E 1 = Ei1 (Hd−1 -presque partout),
(Ei ) est maximale, c-à-d si F ⊂ E est indécomposable alors il existe i
tel que F = Ei .
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Trous et simple connexité
Définitions
Soit E un ensemble de périmètre fini.
I
Si E est indécomposable, on appelle trou de E une composante
indécomposable de Rd r E de volume fini.
I
Si E est indécomposable, on appelle saturation de E la réunion de E
et de ses trous. Elle est notée sat(E ).
I
Si E est décomposable alors la saturation de E , sat(E ), est la réunion
de la saturation des composantes indécomposables de E .
I
E est dit saturé si E = sat(E ).
I
E est dit simple s’il est saturé et indécomposable.
François Dayrens
17 mars 2016
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La topologie L1
Bord essentiel dans R2
Théorème
Soit E un ensemble simple de R2 tel que 0 < |E | < +∞. Alors E 1/2
coïncide H1 -presque partout avec l’image d’une courbe de Jordan
lipschitzienne γ, en particulier on a
P(E ) = H1 (γ) = `(γ).
I
I
Corollaire : soit E un ensemble de périmètre fini de R2 , E 1/2 se
décompose en une famille (au plus dénombrable) de courbes de Jordan
lipschitziennes.
Remarque : soit E un ensemble de périmètre et de volume finis, si E
est indécomposable alors
1
diam(E 1 ) 6 P(E ).
2
François Dayrens
17 mars 2016
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Les problèmes de Steiner
Problème de Steiner
Soit K un compact de R2 , on considère le problème d’optimisation suivant :
σ(K ) = inf{H1 (S) | S ∪ K est connexe}.
Ce problème admet une solution (en utilisant la topologie associée à la
distance de Hausdorff sur les compacts et le théorème de Golab).
Arbres de Steiner
On appelle arbre de Steiner de K un ensemble S solution au problème de
Steiner :
σ(K ) = H1 (S)
avec S ∪ K connexe.
François Dayrens
17 mars 2016
17 / 37
Propriétés des arbres de Steiner
Soit K un compact et S un arbre de Steiner de K.
•
I
S est un graphe dont les arêtes sont des
segments.
I
S ne contient pas de cycle.
I
Les feuilles de S appartiennent à ∂K .
I
Le degré de chaque sommet de S est au
plus 3.
I
Les points triples de S forment un angle de
2π/3.
•
K
S
E. Paolini et E. Stepanov.
Existence and regularity results for the Steiner problem.
CVPDE 46(3) : 837-860 (2013).
François Dayrens
17 mars 2016
18 / 37
Périmètre connexe
Définition
Soit E un ensemble mesurable, on définit l’énergie
(
P(E ) si E est indécomposable
PC (E ) =
+∞ sinon.
Son enveloppe semi continue inférieurement est donnée par
n
o
PC (E ) = inf lim inf PC (En ) | En → E
n→+∞
avec En → E pour la topologie L1 .
François Dayrens
17 mars 2016
19 / 37
Périmètre connexe
Définition
Soit E un ensemble mesurable, on définit l’énergie
(
P(E ) si E est simple
PS (E ) =
+∞ sinon.
n
o
PS (E ) = inf lim inf PS (En ) | En → E
n→+∞
François Dayrens
17 mars 2016
19 / 37
Arbre de Steiner d’un ensemble de périmètre fini
Définition
Soit E un ensemble borné de périmètre fini, on désigne par St(E ) la
longueur des arbres de Steiner de E 1 et par Stc (E ) la longueur de l’arbre de
Steiner de E 0 .
Stc (E )
St(E )
Remarque : E 0 n’est pas borné.
François Dayrens
17 mars 2016
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Théorème (D., Masnou, Novaga - 2015)
Soit E un ensemble borné de périmètre fini satisfaisant P(E ) = Hd−1 (∂E ),
on a
PC (E ) = P(E ) + 2St(E )
et
PS (E ) = P(E ) + 2St(E ) + 2Stc (E ).
Remarque : Si E est un ensemble de périmètre fini tel que E = E 1 alors
St(E ) + Stc (E ) = σ(∂E ).
François Dayrens
17 mars 2016
21 / 37
Plan
1
2
Le périmètre
La topologie L1
3
4
François Dayrens
17 mars 2016
22 / 37
Plan de preuve
La démonstration du théorème est calquée sur le schéma de preuve
classique de Γ-convergence : soit E un ensemble de périmètre fini,
I (Γ − lim inf) on montre que pour tout suite En convergeant vers E en
topologie L1 :
P(E ) + 2St(E ) + 2Stc (E ) 6 lim inf PS (En )
n→+∞
et
P(E ) + 2St(E ) 6 lim inf PC (En ).
n→+∞
I
(Γ − lim sup) on montre (par construction) qu’il existe une suite En
convergeant vers E en topologie L1 telle que
P(E ) + 2St(E ) > lim sup PC (En )
n→+∞
et
P(E ) + 2St(E ) + 2Stc (E ) > lim sup PC (En ).
n→+∞
François Dayrens
17 mars 2016
23 / 37
La Γ − lim inf pour PS
(1/3)
On suppose que PS (E ) < +∞ et soit (En ) une suite d’ensembles
convergeant vers E .
I On peut supposer que supn PS (En ) < +∞, ainsi En est simple et son
bord peut être recouvert par une courbe de Jordan lipschitzienne γn .
I On peut choisir une paramétrisation telle que lip(γn ) = `(γn ) = P(En )
ainsi supn lip(γn ) < +∞ donc par le théorème d’Arzela-Ascoli, (γn )
converge uniformément vers une courbe lipschitzienne γ.
I On récupère de plus
I
I
`(γ) = lip(γ) 6 lim inf lip(γn ) 6 lim inf P(En ) = lim inf PS (En ).
On définit la fonction multiplicité m(x) = card γ −1 ({x}) .
Par la formule de l’aire, on a
Z 1
Z
0
`(γ) =
|γ (t)|dt =
0
François Dayrens
m(x)dH1 (x).
R2
17 mars 2016
24 / 37
I
(2/3)
On montre que pour H1 -presque tout x
x ∈ E 1/2 ⇒ m(x) > 1
I
x ∈ (γ) r E 1/2 ⇒ m(x) > 2.
et
On calcule
Z
m(x)dH1 (x) > P(E ) + 2H1 (γ) ∩ E 0 + 2H1 (γ) ∩ E 1 .
R2
I
I
On montre que
(γ) ∩ E 0 ∪ E 1
et
(γ) ∩ E 1 ∪ E 0
sont "presque" connexes.
Ainsi
H1 (γ) ∩ E 0 > σ(E 1 ) et H1 (γ) ∩ E 1 > σ(E 0 ).
François Dayrens
17 mars 2016
25 / 37
(3/3)
Donc
lim inf PS (En ) > Z
`(γ)
=
m(x)dHd−1 (x)
R2
1
0
1
1
> P(E ) + 2H (γ) ∩ E + 2H (γ) ∩ E
> P(E ) + 2σ(E 1 ) + 2σ(E 0 )
= P(E ) + 2St(E ) + 2Stc (E ).
François Dayrens
17 mars 2016
26 / 37
La Γ − lim inf pour PC
Le démonstration pour PC est très similaire, il suffit de travailler avec une
1/2
famille de courbes (γni ) qui recouvrent En .
François Dayrens
17 mars 2016
27 / 37
La Γ − lim sup - cas régulier - PC
On suppose d’abord que E est régulier et a un nombre fini de
composantes connexes et de trous.
I
Soit S un arbre de Steiner de E 1 et V1/n (S) un voisinage tubulaire
de S d’épaisseur 1/n. On pose En = E ∪ V1/n (S).
En
E
S
François Dayrens
S
17 mars 2016
28 / 37
La Γ − lim sup - cas régulier - PC
On suppose d’abord que E est régulier et a un nombre fini de
composantes connexes et de trous.
I
Soit S un arbre de Steiner de E 1 et V1/n (S) un voisinage tubulaire
de S d’épaisseur 1/n. On pose En = E ∪ V1/n (S).
I
S a un nombre fini de composantes connexes admettant chacune un
nombre fini de sommets.
I
Donc En → E en topologie L1 et P(En ) → P(E ) + 2H1 (S).
I
En est bien indécomposable.
Donc
P(E ) + 2H1 (S) > lim sup PC (En ).
n→+∞
François Dayrens
17 mars 2016
28 / 37
La Γ − lim sup - cas régulier - PS
Pour PS , la construction est la même sur S, un arbre de Steiner de E 1 et
sur Sc , un arbre de Steiner de E 0 . Cependant un nouveau cas apparaît.
E
Sc
François Dayrens
•
S
17 mars 2016
29 / 37
La Γ − lim sup - cas régulier - PS
Pour PS , la construction est la même sur S, un arbre de Steiner de E 1 et
sur Sc , un arbre de Steiner de E 0 . Cependant un nouveau cas apparaît.
En
E
Sc
•
S
Donc En est simple, converge vers E et
P(En ) → P(E ) + 2H1 (S) + 2H1 (Sc ).
Ainsi
P(E ) + 2H1 (S) + 2H1 (Sc ) > lim sup PS (En ).
n→+∞
François Dayrens
17 mars 2016
29 / 37
La Γ − lim sup - cas général
Si E est un ensemble de périmètre fini, on l’approche par l’intérieur.
Théorème
Soit E un ensemble de Rd ouvert, borné, de périmètre fini et satisfaisant
P(E ) = Hd−1 (∂E ). Alors, pour tout ε > 0, il existe un ensemble régulier
Eε tel que
I
Eε ⊂ E ,
I
Eε ∆E ⊂ Vε (∂E ) ∩ Vε (∂Eε ),
I
P(Eε ) 6 P(E ) + ε.
T. Schmidt.
Strict interior approximation of sets of finite perimeter and functions of
bounded variation.
Proceedings AMS 143(5) : 2069-2084 (2015).
François Dayrens
17 mars 2016
30 / 37
La Γ − lim sup - cas général
Si E est un ensemble de périmètre fini, on l’approche par l’intérieur.
Théorème
Soit E un ensemble de Rd ouvert, borné, de périmètre fini et satisfaisant
P(E ) = Hd−1 (∂E ). Alors, pour tout ε > 0, il existe un ensemble régulier
Eε tel que
I
Eε ⊂ E ,
I
Eε ∆E ⊂ Vε (∂E ) ∩ Vε (∂Eε ),
I
P(Eε ) 6 P(E ) + ε.
I
En bouchant les "petits" trous et en enlevant les "petites"
composantes connexes, on peut approcher E par des ensembles
réguliers et ayant un nombre fini de trous et de composantes connexes.
σ, la longueur des arbres de Steiner, se comporte bien avec ces
opérations.
Donc on peut étendre les inégalités aux ensembles de périmètre fini.
I
I
François Dayrens
17 mars 2016
30 / 37
Plan
1
2
Le périmètre
La topologie L1
3
4
François Dayrens
17 mars 2016
31 / 37
Extension
Lorsqu’on approche un ensemble, on veut souvent de la régularité sur la
suite approchante. On peut définir
(
P(E ) si E est lisse et connexe
PCr (E ) =
+∞ sinon.
n
o
PCr (E ) = inf lim inf PCr (En ) | En → E
n→+∞
De même, on peut définir PSr avec une suite d’ensembles simplement
connexes.
François Dayrens
17 mars 2016
32 / 37
Extension - Résultat
Soit E un ensemble borné et de périmètre fini, on a
PCr (E ) = PC (E )
et
PSr (E ) = PS (E ).
Remarque : on n’a pas besoin de l’hypothèse P(E ) = Hd−1 (∂E ).
François Dayrens
17 mars 2016
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Application
On étudie l’énergie
ZZ
min P(E ) +
|E |=v
E ×E
dxdy
|x − y |α
avec v > 0 et 0 < α < 2.
H. Knüpfer et C. Muratov.
On a isoperimetric problem with a competing non-local term I - The
planar case.
Com. Pure & Applied Math. 143(5) : 2069-2084 (2015).
François Dayrens
17 mars 2016
34 / 37
Application - Résultats connus
v
v2 (α)
pas de solution
?
v1 (α)
solution
disque
v0 (α)
α0
α
Si la solution existe, elle est connexe et régulière.
François Dayrens
17 mars 2016
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Application - Nouveau résultat
Les problèmes d’optimisation
ZZ
E ×E
dxdy
|x − y |α
E ×E
dxdy
|x − y |α
min PC (E ) +
|E |=v
et
ZZ
min PS (E ) +
|E |=v
admettent chacun au moins une solution pour tout v > 0 et 0 < α < 2.
François Dayrens
17 mars 2016
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Merci pour votre attention.
François Dayrens
17 mars 2016
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Relaxation du périmètre avec contraintes de connexité dans le plan.

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