TD15 – Puissance, transformateur et contacteur…

TD : E – Conversion de puissance
XV – Puissance, transformateur et contacteur…
Sciences Physiques : PSI
TD15 – Puissance, transformateur et contacteur…
A – Travaux Dirigés
151 – Puissance moyenne consommée par un dipôle
On considère le montage suivant. La puissance moyenne consommée par le dipôle vaut 500 W.
On donne : R1 = 5,0  ; R2 = 4,0  ; = 4,0 
1°) Calculer la valeur efficace de i.
2°) Calculer la valeur de la puissance moyenne dissipée dans chacune des résistances.
Rép : 1°) I=13,66A 2°)
152 – Relèvement du facteur de puissance
On modélise une installation électrique par un dipôle inductif D d'impédance Z = R + jL. Le dipôle
consomme une puissance moyenne P=4,6 kW. On considère le montage suivant :




1°) Calculer R et L.
2°) Calculer la capacité à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 1.
3°) Calculer la capacité à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 0,9. Que
vaut alors le courant appelé par l'installation ?
Rép : 1°)


2°)


3°)
153 – Transformateur torique
Sur un tore magnétique, on dispose deux enroulements. Le primaire est constitué de N 1 spires, et
relié à un générateur de force électromotrice e(t) par l'intermédiaire d'une résistance R1. Le secondaire
comprend N2 spires, il est branché sur une résistance R2. Les résistances des enroulements sont nulles. Le
tore est constitué d'un matériau de perméabilité
. Sa section est notée S. Son rayon
a est grand devant le rayon b de la section S. On néglige les variations du champ magnétique à l'intérieur
du tore. On le prend de la forme :
1°) Déterminer le champ magnétique dans le tore. Définir les bornes homologues.
2°) Établir les expressions des flux
, traversant respectivement le primaire et le secondaire.
3°) Déterminer le coefficient de mutuelle inductance M existant entre les deux circuits, ainsi que leurs
inductances propres respectives L1 et L2, en fonction de
Laurent Pietri
~1~
Quelle relation existe entre M, L1 et L2 ?
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4°) On étudie le cas où e(t) est un échelon défini par : e(t) = 0 pour t < 0 ; e(t) = E pour t > 0. Établir les
équations différentielles liant i2 et e d'une part, i1 et e d'autre part.
5°) Pour t < 0, i1(t) et i2(t) sont nuls. Quelles grandeurs physiques restent continues en t = 0 ? En déduire
une relation entre i1(0+) et i2(0+).
Rép : 1°)
5°)
2°)
4°) –
3°)
….
154 – Contacteur électromagnétique en translation
On considère un noyau de fer doux immobile, en forme de U, de perméabilité
. On dispose
d'un enroulement de N spires relié à un générateur de force électromotrice u par l'intermédiaire d'une
résistance R. Un ressort est fixé à un barreau de fer doux de perméabilité relative
de masse m pouvant
se déplacer sans frottement sur un axe horizontal. On définit S la section commune du noyau en U et du
barreau. La forme des lignes de champ magnétique est représentée en pointillés sur le schéma. On
suppose le champ magnétique uniforme en tout point d'une section orthogonale aux lignes de champ.
On appelle l1 (respectivement l2) la longueur de la ligne de champ dans le noyau de fer doux
(respectivement dans le barreau). On pose
. On appelle x la distance entre le noyau de fer doux
et le barreau. On suppose qu'il n'y a pas de flux de fuite.
1°) Énoncer le théorème d'Ampère avec le vecteur excitation magnétique. Déterminer le champ
magnétique le long de la ligne de champ. En déduire l'inductance propre en fonction de
2°) Déterminer l'énergie magnétique du système
3°) On admet que la force électromagnétique que subit le barreau est
. Déterminer cette force.
Est-elle attractive ou répulsive ? Pour quelle valeur de x, la norme de la force est-elle maximale ?
4°) Expliquer le fonctionnement d'un contacteur électromagnétique. Quels sont les avantages et
inconvénients ?
Rép : 1°)
2°)
3°)
4°) Il n’y a aucun point commun entre partie commande et partie « puissance »…
B – Exercices supplémentaires
155 – Adaptation d’impédances
On considère le circuit suivant où un générateur modélisé par le théorème de Thévenin alimente
une impédance de charge. On pose
1°) Quelle la condition sur l'impédance de charge pour que cette impédance reçoive le maximum de
puissance du générateur ?
2°) Déterminer la puissance moyenne reçue par l'impédance de charge lorsqu'elle est adaptée en
puissance.
Rép : 1°) La charge est adaptée en puissance si les deux conditions sont vérifiées :
Laurent Pietri
~2~
2°)
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156 – Convertisseur de puissance
Le but est ici de montrer les limites d'utilisation d'un montage potentiométrique pour obtenir une
tension variable. Cette fonction, utile dans la conversion de puissance, doit alors être réalisée par un autre
moyen.
Données : E = 24 V, R = 80  ; on pose r1 + r2 = R' avec R' = 1 k.
1°) Montrer que l'ensemble constitué de la source de tension et des deux résistances r 1 et r2 est équivalent
à un générateur de tension. Déterminer sa force électromotrice, notée E et sa résistance interne Re.
Exprimer  et Re en fonction de r1 et r2.
2°) En déduire la puissance P2 dissipée dans la résistance de charge R en fonction de E, , R' et R.
3°) Calculer la puissance fournie P1 par la source de tension E en fonction de E, , R' et R.
4°) En déduire le rendement en puissance du circuit
Application numérique : calculer pour =3/4. Que pensez-vous de la valeur obtenue ?
5°) Tracer l'évolution du rendement pour la gamme de valeurs accessibles à .
Rép : 1°) 

2°)
3°)

4°) =20% 5°) ….
157 - Actionneur électrostatique
On considère un condensateur formé de deux armatures planes, parallèles, de surface en regard S,
séparées par de l'air assimilé à un isolant électrique représenté en figure. Une des deux armatures est fixe,
la seconde, qui peut se translater suivant l'axe Ox, est reliée à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de
longueur à vide l0. L'autre extrémité du ressort est attachée à un support fixe.
Le dipôle formé par le condensateur est relié à une source de tension, non représentée sur la
figure, qui impose la tension u à ses bornes. On fixe l'origine O des abscisses à la position de l'armature
lorsque le ressort a pour longueur l0 et on désigne par x le déplacement de l'armature mobile par rapport à
O. La figure indique l'armature portant la charge +q et celle portant -q. On néglige la résistance des
conducteurs ainsi que toutes les forces de frottement.
1°) Rappeler l'expression de la capacité d'un condensateur plan et en déduire les expressions de la capacité
du condensateur ainsi que de l'énergie électromagnétique stockée
, en fonction de x et des paramètres
utiles du problèmes. On suppose que le condensateur évolue dans le cadre de l'ARQS électrique. Justifier
que les expressions précédentes soient encore applicables.
2°) Lorsque le condensateur à armature mobile reçoit de l'énergie électrique
, il s'opère une conversion
électromécanique de l'énergie qui permet de communiquer à la partie mobile le travail mécanique
de
Laurent Pietri
~3~
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la force motrice F. Afin de déterminer F, on applique un bilan d'énergie au système formé des deux
armatures du condensateur. On envisage une transformation élémentaire du système au cours de laquelle
il reçoit de l'extérieur l'énergie électrique
, l'énergie mécanique
a) L'énergie du condensateur étant égale à la somme de son énergie cinétique
et de son énergie
électromagnétique
, montrer qu'un bilan d'énergie appliqué au système au cours de la
transformation conduit à l'égalité :
b) Exprimer la relation entre
et F puis montrer qu'au cours de cette transformation, la source de
tension fournit au condensateur le travail
.
c) En déduire que la force F se déduit de l'énergie électromagnétique par :
et
calculer F en fonction de x.
3°) Montrer que lorsque u reste inférieure à une valeur maximale à déterminer, il existe deux positions
d'équilibre de l'armature mobile. Étudier la stabilité de chacune de ces positions.
On posera

De plus, la droite tangente à la courbe d'équation
pour équation
Rép : 1°)
Laurent Pietri
. Cette droite est tangente à la courbe en
2°) a)… b)
c)
passant également par l’origine a
.
3°)
~4~
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