Modélisation et prévision Séries chronologiques

Modélisation et
prévision
Cours SG042
Modélisation et
prévision
Séance 4
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles
d’intervention
Modélisation et prévision
Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
1
Exemple
Séries chronologiques - Séance 4
Modèles d’intervention
Conclusion
Modèles d’intervention
Tendance déterministe
Modèles d’intervention
2
Exemple
3
Conclusion
Frédéric Sur
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Conclusion
École des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/modprev/
2/16
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Chronique avec tendance
Modélisation et
prévision
Modélisation et
prévision
Tendance déterministe
F. Sur - ENSMN
1. Tendance stochastique .
Ex : marche aléatoire Xt+1 = Xt + εt
avec (εt ) bruit blanc.
F. Sur - ENSMN
Xt = f (t) + ut .
Modèles
d’intervention
Modèles
d’intervention
Mais on peut aussi estimer les paramètres a, b, c, . . . de f
par moindres carrés, et Box-Jenkins sur (ut ) :
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Conclusion
Xt = f (t) +
Θ(B)
εt
Φ(B)
f (t) = a + bt
ou modèle ARIMA si tendance stochastique en plus :
f (t) = a + bt + ct 2
etc.
(1 − B)d Xt = (1 − B)d f (t) +
On peut s’en sortir avec modèle ARIMA (différentiation).
ou SARIMA. . .
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Exemple
Conclusion
modèle ARMA :
2. Tendance déterministe .
Ex : Xt = f (t) + ut
avec (ut ) stationnaire et. . .
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Θ(B)
εt
Φ(B)
Modélisation et
prévision
Cas particulier
Intérêt : permet de traiter aussi les cas où
f (t) = αItt0 avec Itt0 de la forme :
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
Exemple : trafic aérien aux USA
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles
d’intervention
Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Exemple
Conclusion
Conclusion
0.1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
→ Modèles d’intervention.
Trafic aérien aux États-Unis de janvier 1990 à décembre 2003.
Effet du 11 septembre 2001 ?
Question : l’intervention est-elle significative ?
(i.e. α est-il significativement non nul ?)
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Exemple : effet d’une loi
Modélisation et
prévision
Les modèles d’intervention
F. Sur - ENSMN
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Problème des ruptures de tendance : la chronique n’est
pas stationnaire, et ne peut pas être stationnarisée par
dérivation.
Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
→ Les modèles d’intervention permettent d’intégrer dans la
modélisation un phénomène ponctuel (éventuellement avec
effet long terme, pouvant s’atténuer avec le temps).
Conclusion
(Box & Tao 1975, Jenkins 1976)
Exemples :
changement de réglementation,
événement climatique,
grève,
attentat. . .
Effet de la ceinture de sécurité obligatoire au 1er janvier 1983 ?
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Modélisation et
prévision
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Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Conclusion
Modélisation et
prévision
Modèles d’intervention : méthodologie
Modélisation et
prévision
Intervention adaptée aux données
1
1
2
3
Même dérivation sur
Itt0
0.7
Modèles
d’intervention
;
0.5
0.4
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Conclusion
1
0.9
Xt =
e+α
e(1 −
(1 − B) Xt = µ
B)d Itt0
+ ut
+ ut
0.7
0.6
0.5
et Itt0 =
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
Identification d’un ARMA (SARMA) sur les résidus ut :
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t0
t0
d’où : Xt = αItt0 + αδ 2 It−1
+ · · · + αδ n It−n
+ · · · + ut
avec εt b.b.g.
(1 − B)d Xt = µ + α(1 − B)d Itt0 +
t0
α
1−δB It
0.8
avec : 0 < δ < 1
Ω(B) t0
Généralisation : Xt = ∆(B)
It + ut , avec :
Ω(B) = ω0 − ω1 B − . . . ωs B s (α ↔ ω0 )
∆(B) = 1 − δ1 B − . . . δr B r
Θ(B)
εt
Φ(B)
(réestimation de α, µ dans ce modèle.)
Vocabulaire :
Ω(B)
∆(B) =
fonction de transfert.
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Le modèle d’intervention général
Modélisation et
prévision
Séance 4
F. Sur - ENSMN
Modèle final : Xt =
Ω(B) t0
∆(B) It
+ résidut ,
où les résidus sont un processus SARIMA, i.e.,
Ω(B) t0
I
∆(B) t
Φp (B)ΦP (B τ )
+µ +
εt
Θq (B)ΘQ (B τ )
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Modèles
d’intervention
1
Conclusion
Modèles d’intervention
Tendance déterministe
Modèles d’intervention
(1 − B)d (1 − B τ )D Xt = (1 − B)d (1 − B τ )D
Cas simple :
Ω(B)
∆(B)
= α, ou
Ω(B)
∆(B)
=
α
1−δB
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prévision
F. Sur - ENSMN
Modèles
d’intervention
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Modèles
d’intervention
Exemple
1
Conclusion
Estimation de α
e, µ
e, et ut stationnaire tel que :
et :
→ Comment adapter la vitesse de
décroissance aux données ?
0.6
Exemple
Θ(B)
ut =
εt
Φ(B)
F. Sur - ENSMN
0.9
0.8
Dériver Xt pour la stationnariser, à l’intervention
près (éventuellement ordre τ si saisonnalité) ;
d
4
F. Sur - ENSMN
Intervention : Itt0
Chronique : Xt
2
Exemple
3
Conclusion
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Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Conclusion
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prévision
Exemple
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F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles
d’intervention
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Chronique ozone
Exemple
Modèles
d’intervention
1
Conclusion
→ pollution moyenne mensuelle dans la ville de Los Angeles
de 1955 à 1972.
→ une loi imposant le pot catalytique a été appliquée à
partir de janvier 1960
→ cette loi a-t-elle un impact significatif ?
Modélisation et
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Conclusion
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Modèles
d’intervention
Modèle d’intervention :
Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Xt = µ + αItt0 + ut
avec les résidus ut comme processus SARIMA.
→ pour prendre en compte une rupture de tendance dans la
chronique,
→ permet de mesurer la significativité de l’impact d’un
événement donné sur une chronique.
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Conclusion
Modèles d’intervention
Tendance déterministe
Modèles d’intervention
2
Exemple
3
Conclusion
15/16
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Tendance déterministe
Modèles
d’intervention
Exemple
Conclusion