Principe de triangulation

MESURE D’UN MERIDIEN
PAR TRIANGULATION
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ERATOSTHENE ( à Alexandrie) mesure un méridien
et donne une bonne valeur approchée du rayon terrestre.
1670
PICARD mesure par triangulation un arc de méridien
entre Amiens et Paris.
1669-1716
1736-1743
Les CASSINI mesurent un arc de méridien entre
Dunkerque et Collioure d’où il ressort que la terre serait
aplatie à l’équateur.
NEWTON déduit du mouvement du pendule à
différentes latitudes l’aplatissement aux pôles.
MAUPERTUIS (en Laponie), BOUGUER et LA
CONDAMINE ( au Pérou) vérifient par triangulation
l’aplatissement aux pôles.
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^
Si on connaît A et B alors :
^
C = …………………………….
car : …………………………………
^
^
Exemple : ABC est un triangle tel que A = 35° et B = 65° alors :
^
A = …………………………….. = ………
Conclusion 1 : Connaître 2 angles et un côté permet de connaître 3 angles
et un côté.
H est le pied de la hauteur issue de A et K
est le pied de la hauteur issue de B.
● Exprimer la longueur AH en fonction de
^
la longueur c et de sin B :
En déduire une expression de l’aire S du
^
triangle en fonction de a, c et sin B .
^
1784
1791
CASSINI de Thury établit par triangulation une carte
précise de la France (180 feuilles)
DELAMBRE et MECHAIN sont chargés par
l’Assemblée Constituante de calculer la longueur de l’arc
de méridien Dunkerque-Barcelone afin de définir le mètre
comme étant le dix millionième du quart du méridien
terrestre.
PARTIE I : Principe fondamental : Si on connaît la mesure de deux
angles et d’un côté dans un triangle alors, on peut connaître la mesure du
troisième angle et celle des deux autres côtés.
● Exprimer la longueur AH en fonction de la longueur b et de sin C .
En déduire une expression de l’aire S du triangle en fonction de a, b et
^
sin C .
^
● Exprimer la longueur BK en fonction de la longueur c et de sin A .
En déduire une expression de l’aire S du triangle en fonction de b, c et
^
sin A .
● A l’aide des trois expressions obtenues pour S, retrouver la
a
b
c
formule des sinus :
=
=
.
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ
Conclusion 2 : Si on connaît les trois angles et a alors la formule des sinus
permet de trouver b puis c . Connaître deux angles et un côté permet donc
de connaître toutes les mesure d’un triangle.
C’est sur cette conclusion que s’appuie la méthode utilisée par Méchain et
Delambre : il suffit de n’effectuer qu’une seule mesure linéaire (celle de
la base) et une série de mesures angulaires ( beaucoup plus simples à
réalisées). Sa mise en œuvre consiste à recouvrir l’arc de méridien par une
chaîne de triangles.
PARTIE II : Illustration du principe de Delambre et Méchain
[EF] joue ici le rôle de la méridienne
Dunkerque-Barcelone. Le but est d’en
mesurer la longueur. Notre triangulation ne
comporte que 4 triangles.
On décompose EF en EI + IJ + JK + KF.
Les résultats numériques seront donnés à
0,01 près.
1. Les premières mesurent réalisées sont
AB = 7,5 (la base), et les trois angles
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b) En résolvant CJK, déterminer JK et CK.
JK est le troisième ( et avant dernier) morceau de notre méridienne.
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4. On mesure enfin DCF = 46°.
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a) Calculer CKF , puis KFC .
b) Calculer pour terminer KF , 4e ( et dernier) morceau de notre
méridienne.
5. Juste une addition : calculer EF, longueur de notre méridienne.
Quelques chiffres : La triangulation entre Dunkerque et Bacelone
comporte 90 triangle ; durant cette aventure 500 000 mesures d’angles ont
été effectuées ; l’estimation faite en 1980 (mesures effectuées par
satellites) de la distance Dunkerque-Barcelone diffère de la valeur de
Delambre et Méchain de ….. 10 mètres soit moins de 0,001% !
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BAE = 56°, ABE = 45° et AEF = 30°.
a) Dans le triangle ABE, on connaît un côté
et deux angles. On peut donc le résoudre :
^
Calculer AEB puis avec la formule des sinus déterminer AE.
b) A présent, dans le triangle AEI on connaît un côté et deux angles. On
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peut donc le résoudre. Déterminer EIA , EI et AI.
EI est le premier morceau de notre méridienne.
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2. On mesure alors BAC = 45° et ABC = 67°.
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a) La résolution de ABC est possible. Déterminer ACB puis AC.
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b) Calculer AIJ ( on connaît EIA ).
c) La résolution de AIJ est donc possible (on connaît AI). Déterminer IJ
et AJ.
IJ est le second morceau de notre méridienne.
d) En déduire JC.
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3. On mesure à présent ACD = 64° et CAD = 54°.
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a) Calculer CJK .
cercle répétiteur utilisé
pour mesurer les angles