AM AB = AN AC = MN BC alors ( BC ) // ( MN )

THEOREME DE THALES ET RECIPROQUE
1 ) CONFIGURATIONS DE THALES
Soit ABC et AMN deux triangles tels que :
•
M ∈ ( AB )
•
N ∈ ( AC )
•
les points A, B, M sont alignés dans le même ordre que les points A, C, N .
On appelle configurations de Thalès les trois figures-clés ci dessous :
N
figure 1
figure 2
A
M
figure 3
A
N
B
B
C
M
A
C
M
B
N
C
2 ) THEOREME DE THALES
•
•
•
•
Soit ABC un triangle.
Soit M un point de ( AB ) , distinct de A.
Soit N un point de ( AC ) , distinct de A.
Si les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles,
AM AN MN
=
=
AB AC BC
alors
Autrement dit, sous les hypothèses précédentes,
on obtient le tableau de proportionnalité ci-contre :
Il y a 4 hypothèses
indispensables
triangle AMN
AM
AB
AN
AC
MN
BC
triangle ABC
Ex : ( calcul de longeurs )
On considère la figure ci-dessous avec ( MN ) // ( BC )
Calculer AB et BC .
M
2,5
N
5
A
3
La figure est
volontairement fausse
6
C
x
y
B
Dans le triangle ABC, on a :
•
M ∈ ( AB ) et M ≠ A
•
N ∈ ( AC ) et N ≠ A
•
( MN ) // ( BC )
Ainsi, d'après le théorème de Thalès , on a :
AM = AN = MN
AB AC BC
De AM = AN , on obtient :
AB AC
5 3
=
x 6
5×6
càd x =
3
càd x = 10
De AN = MN , on obtient :
AC BC
3 2,5
=
6
y
2,5 × 6
càd y =
3
càd y = 5
3 ) RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES
•
•
•
•
•
Soit ABC un triangle.
Soit M un point de ( AB ) , distinct de A.
Soit N un point de ( AC ) , distinct de A.
Si AM = AN ,
AB AC
et si les points A , B , M sont alignés dans le même
ordre que les points A , C , N ,
alors
( BC ) // ( MN )
Il y a 5 hypothèses
indispensables
Ex : ( parallélisme de deux droites )
On considère la figure ci-dessous.
Démontrer que les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles.
M
La figure est
volontairement fausse
2,5
A
N
3
C
On a ,
AM = 1 et AN =1
AB 2
AC 2
Donc AM = AN
AB AC
D'autre part, dans le triangle ABC, on a :
•
M ∈ ( AB ) et M ≠ A
•
N ∈ ( AC ) et N ≠ A
•
Les points A , B , M sont alignés dans le même ordre que les
points A , C , N
1,5
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès , on a :
5
( BC ) // ( MN )
B