Discrétisation par différences finies des

École Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Discrétisation
par différences finies
des problèmes
transitoires
août 2007
MA261 Introduction au calcul scientifique
@Eric Lunéville
Introduction
Discrétisation des problèmes transitoires
eq. des ondes
:
eq. de la chaleur :
∂t2 u − c2 △u = f
∂t u − α△u = f
différences finies en espace et en temps
• rôle différent des 2 discrétisations : sens du temps
• lien entre les pas de discrétisation lié à la vitesse de propagation
exemple modèle : équation des ondes 1D (corde vibrante)
 2
2 2
−
∂
u(x,
t)
c
∂x u(x, t) = f (x, t)

t


u(0, t) = u(1, t) = 0
u(0, x) = u0 (x)



∂t u(x, 0) = v0 (x)
x ∈ ]0, 1[ , t > 0
t>0
x ∈ ]0, 1[
x ∈ ]0, 1[
1
Un exemple encore plus simple : l’équation de transport
∂t u(x, t) + c∂x u(x, t) = 0 x ∈ R, t > 0
u(0, x) = u0 (x)
x∈R
premier ordre
pas de condition limite
solution évidente : u(x, t) = u0 (x − ct)
ct
u0
u(., t) = u0 (. − ct)
x
équation conservative, propagation à vitesse finie (c)
similaire à l’équation des ondes
2
Discrétisation de l’éq. de transport
abscisses de discrétisation xj = j△x j ∈ Z
instants de discrétisation tn = n△t n ≥ 0
t
tn = n△t
x
t0 = 0
x0 = 0
xj = j△x
unj approximation de u(xj , tn )
on a u0j = u0 (xj ) ∀j ∈ Z (condition initiale)
3
n+1
Idée :
fabriquer un schéma qui construit u
n+1 = uj
à partir
j∈Z
des approximations aux instants précédents un , un−1 , ...
schéma décentré (DF d’ordre 1)
n
n
n
−
un+1
u
u
−
u
j
j
j
j−1
+c
= 0 ∀n ≥ 0, ∀j ∈ Z
△t
△x
n
c△t
n+1
n
n
uj = uj − α uj − uj−1 avec α =
△x
schéma explicite à 2 pas!
n+1
n
j −1 j
j+1
schéma saute-mouton (leapfrog) (DF d’ordre 2)
n−1
un+1
−
u
unj+1 − unj−1
j
j
+c
= 0 ∀n ≥ 1, ∀j ∈ Z
2△t
2△x
n
n+1
n−1
n
uj = uj − α uj+1 − uj−1
n+1
n
n−1
j−1 j
j +1
schéma explicite à 3 pas! (il faut construire u1 )
4
Ordre des schémas
le schéma décentré est d’ordre 1, le schéma saute-mouton est d’ordre 2
dms : u solution régulière de l’équation de transport
erreur de troncature pour le schéma décentré :
u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )
u(xj , tn ) − u(xj−1 , tn )
n
εj =
+c
△t
△x
= ∂t u(xj , tn ) + O(△t) + c∂x u(xj , tn ) + O(△x)
= O(△x) + O(△t)
erreur de troncature pour le schéma saute-mouton :
u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn−1 )
u(xj+1 , tn ) − u(xj−1 , tn )
εnj =
+c
2△t
2△x
2
2
= ∂t u(xj , tn ) + △t
∂
u(x
,
t
)
+
O(△t
)
j
n
2 t
2
2
∂
u(x
,
t
)
+
O(△x
)
+ c∂x u(xj , tn ) + c △x
j
n
2 x
= O(△x2 ) + O(△t2 ) car ∂t2 u = −c∂x2 u
5
Stabilité des schémas et convergence
erreur enj = unj − u(xj , tn ) on a pour le schéma décentré :
n
n+1
n
n
ej = ej − α ej − ej−1 + △tεnj

..
 .
 α 1−α

en+1 = Aen + △tεn avec A= 
..
..

.
.

.. ..
.
.
n−1
n−k k
n
n 0
e = A e + △t
A
ε







k=0
n
e ≤ △t
n−1
k=0
déf
An−k εk ≤ T max0≤k≤n−1 An−k εk 0 ≤ n ≤
T
△t
le schéma est stable pour la norme si il existe une constante C
indépendante de n, △t et △x telle que :
An u0 ≤ C u0 0≤n≤
T
△t
6
la stabilité implique la convergence
n
e ≤ T
max
0≤k≤n−1
n−k k A
ε ≤ CT
max
0≤k≤n−1
stabilit´eé l2
iξj△x 2
wξ = e
,
(w
)
base
Fourier
de
l
ξ
ξ∈R
j∈Z
k
ε ≤ CT (△t + △x)
pour obtenir la stabilité il suffit de montrer que
An wξ 2 ≤ C wξ 2
(Awξ )j
0≤n≤
T
△t
= (1 − α)eiξj△x + αeiξ(j−1)△x
iξj△x
−iξ△x
=⇒ ∀ξ Awξ = g(ξ, △x, △t)wξ
= 1 − α + αe
e
= g(ξ, △x, △t) (wξ )j
An wξ 2 ≤ sup |g(ξ, △x, △t)|n wξ 2
ξ
Condition suffisante de stabilité :
sup |g(ξ, △x, △t)| ≤ 1
ξ
7
−iξ△x 2
|g(ξ, △x, △t)| = 1 − α + αe
= 1 − 2α(1 − α)(1 − cos ξ△x)
2
c△t
stable si α =
≤ 1 (condition CFL)
△x
interpr´eétation de la CFL
si u est la solution alors : u(xj , tn+1 ) = u(xj − c△t, tn ) = u0 (xj − ctn+1 )
j−1
j
j+1
△x
n+1
△t
n
droite d’équation x − ct = xj − ctn+1
de pente 1/c
CFL :
△t
1
≤
△x
c
△x
vitesse de prop. du schéma ≥
≥ c vitesse de prop. de l’équation
△t
toujours instable si c < 0
utiliser le décentré avant
8
Stabilit´eé du sch´eéma saute-mouton
même approche (un peu plus compliqué car 3 pas)
condition CFL :
c△t ≤1
△x fonctionne (sous CFL) quel que soit le signe de la vitesse c (schéma centré!)
α = 0.3
α = 1.01
9
Discrétisation de l’éq. des ondes 1D
 2
2 2
∂
u(x,
t)
−
c
∂x u(x, t) = f (x, t)

t


u(0, t) = u(1, t) = 0
u(0, x) = u0 (x)



∂t u(x, 0) = v0 (x)
x ∈ ]0, 1[ , t > 0
t>0
x ∈ ]0, 1[
x ∈ ]0, 1[
discrétisation de [0, 1] avec m + 2 pts : xj = j△x j = 0, m + 1
t
tn = n△t
t0 = 0
x0 = 0
1
△x =
m+1
xj = j△x
xm+1
x
=1
10
Schéma saute-mouton
 n+1
n−1
n
n
n
n
u
+
u
−
2u
u
+
u
−
2u

j
j
j
j+1
j−1
j
2
n


−
c
=
f

j

△t2
△x2
un0 = unm+1 = 0

0

u

j = u0 (xj )

 1
uj = u0 (xj ) + △t v0 (xj )
∀j = 1, m ∀n ≥ 1
∀n ≥ 1
∀j = 1, m
∀j = 1, m
n−1
2 n
2
n
2 n
2 n
−u
−
△t
un+1
=
+
α
u
+
2(1
α
)2u
+
α
u
+
fj
j+1
j
j−1
j
j
n+1
schéma explicite à 3 pas
d’ordre 2
n
n−1
j−1
j
j+1
11
forme vectorielle
n
−
→n n −
→
n
u = uj j=1,m f = fj j=1,m (élimination des indices 0 et m + 1)
→n
−
→
−
→
−
→
n+1
2
n
n−1
2−
u
= (2I − α B) u − u
+ △t f
→
−
→
u 1 donnés
u 0, −

2

 −1
avec B = 


−1
2
..
.
∀n ≥ 1



.
 matrice m × m

..
. −1 
−1 2
..
→
u(x, t) solution de l’eq. des ondes : −
u n = (u(xj , tn ))j=1,m
erreur de troncature :
−
→
−
→
→
→
→
u n+1 = (2I − α2 B)−
un−−
u n−1 + △t2 f n + △t2 −
εn
→
avec −
ε n = O(△t2 ) + O(△x2 ) (approx. DF d’ordre 2)
12
Stabilité et convergence du schéma
→
→
→
u n+1 − −
u n vérifie :
l’erreur à l’instant n : −
en=−
−
→
→
→
→
e n+1 = (2I − α2 B)−
en−−
e n−1 + △t2 −
εn
−
→
n+1
−
→n
e
en posant E =
on a :
−
→
en
−
→n+1
E
=
2
(2I − α B) −I
I
0
−
→n
E +
∀n ≥ 1
−
→
εn
−
→n −
→n
= ME + Ξ
−
→
def
0
qui donne par récurrence :
n−1
n−k k
→1
−
→n
n−1 −
2
M
E + △t
E =M
ε
k=1
soit l’estimation d’erreur :
−
−
−
→
→
→n n−1 1
n−k
k
E
≤
M
E
+
△tT
max
M
Ξ
k=1,n−1
13
Si le schéma est stable :
−
−
−
→
→
k →
M X ≤ C X ∀ X , ∀k ≥ 1 avec C indépendant de k
alors on convergence du schéma :
−
−
→
→
n
E ≤ C1 E 1 + O(△t2 ) + O(△x2 )
condition suffisante de stabilit´eé :
ρ (M) ≤ 1
ici M =
2
(2I − α B) −I
I
0
(ρ rayon spectral)
et les valeurs propres de B sont connus
on en déduit après ”quelques calculs” la condition de stabilité :
c△t ≤ 1 (CFL)
|α| = △x (même interprétation que pour l’eq. de transport)
14
Equation des ondes 2D
Utilisation de saute-mouton pour l’équation des ondes 2D dans un carré
15
calcul stable
16
Diffraction d’une onde acoustique (milieu air-mer)
17