Groupes de frises On se place dans le plan réel affine

Groupes de frises
−
On se place dans le plan réel affine euclidien P . On fixe un vecteur →
v non nul du plan
→
−
vectoriel P associé. Le but du problème est de trouver tous les groupes d’isométries de P
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contenant la translation t de vecteur →
v et ne contenant aucune translation autre que les
−
translations tn (de vecteur n→
v ) avec n ∈ Z. Un tel groupe s’appelle un groupe de frises.
→
−
Si G est un groupe de frises on note G l’ensemble des applications linéaires associées aux
→
−
→
−
éléments de G. On sait que G est un groupe d’isométries du plan vectoriel P . Si g est une
−
application affine, on note →
g l’application linéaire associée.
−1
−
1. Montrer que pour toute isométrie g de P et tout vecteur →
w on a gt−
→
→
−
w g = t−
g (→
w ).
−
Soit G un groupe de frises, montrer que si g ∈ G alors →
g est un élément de {± Id, σ, ρ},
−
où σ est la réflexion par rapport à la droite engendrée par →
v et ρ la réflexion par
→
−
rapport à la droite orthogonale. Que peut-on dire si G = {Id} ?
→
−
2. On suppose que G = {± Id}. Montrer que G contient une rotation d’angle π et que
G est engendré par cette rotation et tv .
→
−
3. On suppose que G = {Id, ρ}. Montrer que si g ∈ G a pour image ρ alors g est une
réflexion r d’axe orthogonal à v. Montrer que G est engendré par r et tv .
→
−
4. On suppose que G = {Id, σ}. Montrer que si g ∈ G a pour image σ alors g est
une symétrie glissée d’axe parallèle à v et de vecteur nv/2 avec n ∈ Z − {0} ou une
réflexion d’axe parallèle à v. Montrer que dans le cas où G contient une symétrie
glissée de vecteur v/2, cet élément engendre G. Montrer que si G ne contient pas de
symétrie glissée de vecteur v/2, alors il est engendré par tv et une réflexion.
→
−
5. On suppose que G a 4 éléments. En utilisant les question précédentes, montrer que
G contient un sous-groupe G1 engendré par tv et une réflexion r d’axe orthogonal à v
et un sous-groupe G2 engendré soit par une symétrie glissée de vecteur v/2 soit par
tv et une réflexion d’axe parallèle à v. En déduire dans chaque cas des générateurs de
G.
6. Pour chacun des types de groupes de frises, donner un exemple de configuration du
plan dont les isométries sont un groupe de ce type.