Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l`espace
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Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l`espace
Vestiges d'une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l'espace rapporté à un repère orthonormé 2. Quelques conséquences Comme le point H appartient au plan P alors Formule donnant la distance entre un point et un plan L'espace est rapporté à un repère orthonormé O; i, j,k . ( ) La distance entre le point A ( x A ; y A ; z A ) et le plan P d'équation cartésienne a.x + b.y + c.z + d = 0 est donnée par : distance ( A; P ) = a.x A + b.y A + c.z A + d a 2 + b2 + c2 Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des distances AM existant entre le point A et chaque point M de E. La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du premier vérifient l'équation du second. Donc a.x A + b.yA + c.z A + d = 0 . D'où : a.x A + b.yA + c.z A + d 0 = 0 = distance ( A; P ) a +b +c a + b2 + c2 Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n'appartient pas à P. 2 2 2 = 2 La preuve de la formule 1. Où la distance AM est-elle minimale ? Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P. A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P. A Voyons pourquoi il en est ainsi ! Pour tout point N du plan P, le triangle ANH est rectangle en H. Donc en application du théorème de Pythagore, il vient : H AN 2 = AH 2 + HN 2 N P d 'où Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du a plan P d'équation a.x + b.y + c.z + d = 0 est n b . c 3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières Le produit scalaire n.AH peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé : a xH − xA n.AH = b . yH − y A = a × ( x H − x A ) + b × ( y H − yA ) + c × ( z H − z A ) c z −z A H = a.x H + b.y H + c.z H ) − ( a.x A + b.yA + c.z A ) = − ( a.x A + b.y A + c.z A + d ) ( =− d Car le point H appartient à P En utilisant le fait que les vecteurs n et AH ont même direction (mais pas nécessairement même sens) A En effet, tout deux sont normaux ou orthogonaux au plan P. n.AH = ± n × AH Le plus ou moins indique n si les vecteurs ont même sens. H 2 2 2 P =± a + b + c × AH Norme dans un repère orthonormé Ainsi venons-nous d'établir l'égalité : − ( a.x A + b.yA + c.z A + d ) = n.AH = ± a 2 + b 2 + c2 × AH a.x A + b.yA + c.z A + d = a 2 + b2 + c2 × AH On a passé l'égalité à la valeur absolue pour éliminer le − et le ±. Rappelons qu'un réel positif est sa propre valeur absolue. HN 2 étant un réel positif ou nul, il vient alors : AN 2 ≥ AH 2 a.x H + b.yH + c.z H + d = 0 . Ses coordonnées en vérifient l'équation... AN 2 ≥ AH 2 donc AN ≥ AH La racine est une fonction croissante sur [ 0;+∞[. AH = a.x A + b.yA + c.z A + d Conclusion : la distance entre le point A et le plan P est égale à la distance existant entre le point A et son projeté orthogonal H sur P. Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com) a 2 + b 2 + c2 D'où la formule !