Les machines électriques à pôles lisses

Les machines électriques à pôles lisses
1. I n t r o d u c t i o n
5
L 'i n t e r a c t i o n e n t r e u n c o u r a n t é l e c t r i q u e e t u n c h a m p m a g n é t i q u e e s t à l 'o r i g i n e d 'u n e
fo rc e é le c tro m a g n é tiq u e ; le s m a c h in e s é le c triq u e s d o iv e n t, e n p a rtie , le u r e x is te n c e à c e
p h é n o m è n e .L a q u a n tific a tio n d e s p e rfo rm a n c e s d e s m a c h in e s é le c triq u e s d o it n é c e s s a ire m e n t
f a i r e a p p e l à l 'é l e c t r o m a g n é t i s m e . L a r é s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s d e M a x w e l l e s t r e l a t i v e m e n t
10
a i s é e d a n s d e s s t r u c t u r e s s i m p l e s . L 'a r c h i t e c t u r e d e s m a c h i n e s é l e c t r i q u e s é t a n t c o m p l e x e e t
l 'é t u d e d e l e u r s p e r f o r m a n c e s a v e c d e s m o d è l e s s i m p l e s p r é s e n t e q u e l q u e s i n s u f f i s a n c e s . I l e s t
o p p o rtu n d e fa ire u n e lia is o n e n tre le s m o d è le s s im p le s e t le s m a c h in e s ré e lle s .
2 . L a m a c h in e id é a le
O n c o n s id è re d e u x c y lin d re s c o a x ia u x fa b riq u é s d ’u n m a té ria u fe rro m a g n é tiq u e q u e
l ’ o n c o n s i d è r e i n f i n i m e n t p e r m é a b l e à l a c i r c u l a t i o n d u c h a m p m a g n é t i q u e ( µ =∞) . L ’ e s p a c e
15
e n t r e l e s d e u x c y l i n d r e s e s t d e l ’ a i r ( µ = µ ) q u e l ’ o n a p p e l l e r a e n t r e f e r ; i l a u n e é p a i s s e u r e.
O n c o n s id è re q u e l’e n s e m b le e s t in fin im e n t lo n g d a n s la d ire c tio n p e rp e n d ic u la ire a u p la n d e
l a f i g u r e 1.
→
→
θ
→
j
→
µ =∞
µ =∞
Figure 1 : Représentation schématique du problème continu
2 0
→
→
O n considère les deux densités de courant K et K disposées sur la surf ace intérieure du
cy lindre ex térieur et sur la surf ace ex térieure du cy lindre intérieur respectiv ement. I l s’ agit de
courants superf iciels dirigés suiv ant l’ ax e perpendiculaire au plan de la f igure et dont
l’ intensité v arie en f onction de la position angulaire.
1
→
→
→
→
K
= K
cos(pθ ) k e t K = K cos(q( θ − α )) k
25
o ù :
k e s t l e v e c t e u r d i r e c t e u r d a n s l ’ a x e z . L e s v e c t e u r s i , j,k d e l a f i g u r e 1 f o r m e n t
a in s i u n triè d re d ire c t.
3 0
→ → →
→
-
pe t qs o n t d e s e n tie r s q u e lc o n q u e s
O n c h e rc h e à d é te rm in e r le c o u p le é le c tro m a g n é tiq u e s ’e x e rç a n t s u r le c y lin d re in té rie u r
(ro to r). P o u r c e fa ire , il e s t n é c e s s a ire d e c a lc u le r la ré p a rtitio n d u c h a m p m a g n é tiq u e d a n s la
s tru c tu re e t d ’a p p liq u e r u n d e s th é o rè m e s d o n n a n t le c o u p le é le c tro m a g n é tiq u e .
3 5
L a d é te rm in a tio n d e la ré p a rtitio n d u c h a m p m a g n é tiq u e n é c e s s ite la ré s o lu tio n d e s é q u a tio n s
d e M a x w e ll e n m a g n é to s ta tiq u e q u e v o ic i :
→
→
→
rotH = J ; divB = 0
o ù
→
→
H e t B s o n t r e s p e c t i v e m e n t l e c h a m p e t l 'i n d u c t i o n m a g n é t i q u e s e t
→
J
la densité de
→
→
c o u r ant v o lu m iq u e. N o u s aj o u to ns à c ela l’ éq u atio n q u i c ar ac tér ise les m ilieu x : B = µ H
4 0
→
G r â c e à l’ éq u atio n de c o nser v atio n de f lu x , o n p eu t dir e q u ’ il ex iste u n p o tentiel v ec teu r A
→
→
tel q u e : B = rot A . L a r éso lu tio n des éq u atio ns de M ax w ell est p lu s aisée en u tilisant le
p o tentiel v ec teu r c ar c elu i- c i ne p r ésente q u ’ u ne seu le c o m p o sante su iv ant la dir ec tio n du
→
v ec teu r k .
U ne au tr e sim p lif ic atio n du p r o b lè m e v ient du f ait q u e dans le f er ( µ = ∞ ) , le c h am p
4 5
→
H est
f o r c ém ent nu l c ar l’ indu c tio n est u ne g r andeu r f inie. L ’ étu de est do nc r édu ite à la seu le r ég io n
de l’ entr ef er .
L ’ indu c tio n d’ entr ef er , ex p r im ée dans u n r ep è r e c y lindr iq u es est ex p r im ée de la m aniè r e
su iv ante :
→
→
→
B = B u + Bθ uθ
5 0
av ec :
[
p[α r
B = − p α r
Bθ =
−
−
+ β r−
− β r−
−
]sin( pθ ) − q[α r
]cos(pθ ) + q[α r
−
−
2
+ β r −
−
− β r−
−
−
]sin(q( θ − α ))
]cos(q( θ − α ))
L e c a lc u l d u c o u p le e x e rc é s u r le c y lin d re in té rie u r p e u t ê tre c a lc u lé d e d iffé re n te s
m a n iè re s . N o u s e x p o s o n s b riè v e m e n t c e lle q u i re p o s e s u r l’e x p re s s io n d e la d e n s ité d e fo rc e
5 5
→
→
→
→
é l e c t r o m a g n é t i q u e : f = Q v× B o ù Q e s t l a c h a r g e d e l a p a r t i c u l e e t v s a v i t e s s e .
→
L e c o u p le é le c tr o m a g n é tiq u e e s t a lo r s : Γ=
∫
→
→
f × r dv
E n a n a ly s a n t le s d iffé re n te s e x p re s s io n s p ré c é d e n te s , o n s ’a p e rç o it q u e le c o u p le m o y e n
e s t to u jo u rs n u l s a u f d a n s le c a s o ù p = q . D a n s c e c a s , s o n in te n s ité s ’e x p rim e d e la m a n iè re
s u iv a n te :
6 0
Γ=
o ù
µ
2p
C K K sin( pα )
C est une constante qui dépend de la géométrie.
D e l’ étude précédente, nous tirons les conclusions suiv antes :
6 5
1 - I l ne peut y av oir couple électromagnétique que si les densités de courant au
stator et au rotor ont la mê me polarité ( p=q)
2 - L e couple dépend du déph asage spatial entre les deux densités de courants
( statorique et rotorique) ; il est max imal lorsque les deux densités sont en
quadrature ( α =
π
2
).
3 - L e couple dépend du produit de leurs intensités K K
7 0
3. Q u e l q u e s c o n t r a i n t e s i n é v i t a b l e s
3.1. D e n s i t é d e c o u r a n t s u p e r f i c i e l l e
L a densité superf icielle de courant est une grandeur math ématique introduite comme
7 5
artif ice de calcul dans les dispositif s électromagnétiques. E n ef f et, les courants circulent
touj ours dans des conducteurs souv ent en cuiv re. I l s' agit là de f il ou de plaque aussi f ines
soient elles, présentent quand mê me des dimensions non nulles.
E n pratique et dans le cas des mach ines électriques, on " creuse" sur ch acun des deux cy lindres
de la f igure 1
8 0
des entailles que l' on appellera " encoch es" dans lesquelles on place des
conducteurs en cuiv re pour f aire circuler le courant électrique. C ette opération modif ie la
structure continue initiale sur deux points principaux :
L es dimensions de l' encoch e f ont que le courant ne circule plus sur une surf ace mais
dans un v olume qui est celui du cuiv re.
3
P o u r d e s ra is o n s d e te n u e m é c a n iq u e e t th e rm iq u e , o n n e p e u t p a s c re u s e r u n e in fin ité
8 5
d 'e n c o c h e s d a n s l e f e r . L e n o m b r e d 'e n c o c h e s e s t d o n c f i n i e n t r a î n a n t a i n s i u n e d i s c o n t i n u i t é
d e s s o u rc e s d e c o u ra n t s u iv a n t la p o s itio n a n g u la ire θ.
P o u r c e s d e u x p o i n t s , i l c o n v i e n t d 'é t u d i e r l 'é q u i v a l e n c e e n t r e l e m o d è l e t h é o r i q u e d u c o u r a n t
s u p e rfic ie l e t le c o u ra n t ré e l v o lu m iq u e .
C o n s i d é r o n s u n e e n c o c h e s t a t o r i q u e e n f a c e d 'u n r o t o r p l e i n ( f i g u r e 2 ) ; e l l e c o n t i e n t
d e s c o n d u c te u rs fa is a n t c irc u le r u n
9 0
l 'i n t e n s i t é d u
c o u r a n t t o t a l I! . E n
u t i l i s a n t l e t h é o r è m e d 'A m p è r e ,
c h a m p m a g n é t i q u e c r é é d a n s l ' e n t r e f e r v a u t : H# =
I
r e m p l i t l 'e n c o c h e
" . S i l 'o n
2e
d e f e r e t q u e l 'o n r e m p l a c e l e s c o u r a n t s d a n s l e s c o n d u c t e u r s p a r u n e d e n s i t é d e c o u r a n t K s u r
l 'i s t h m e
d e
l 'e n c o c h e , o n
o b tie n d ra it la
p r é c é d e m m e n t à c o n d i t i o n q u e : K = I$ / ε .
m ê m e
µ( ∞
ré p a rtitio n
d e
c h a m p
m a g n é tiq u e
q u e
µ( ∞
% &
ε
ε
'
9 5
)
*
)
*
'
+
)
*
b ob ines" d ont il d if f icile d e tenir comp te
d ans les mod è les théoriques.
Les machines électriques ont une longueur
ax iale f inie f aisant ainsi une d if f érence
av ec le mod è le théorique p récéd emment
étab li. A
chaque ex trémité, les cond ucteurs
sortants d ' une encoche d oiv ent rentrer d ans
une autre encoche constituant ainsi d es
1 0 5
*
F ig u re 2 : E q u iv a le n c e e n tre c o u ra n t d ’e n c o c h e e t d e n s ité s u p e rfic ie lle d e c o u ra n t
3.2. L a l o n g u e u r f i n i e
1 0 0
)
sp ires ou b ob ine. L' ensemb le d e ces sp ires
est ap p elé enroulement.
Les p arties non
activ es d es b ob ines sont ap p elées " tê tes d e
4
1 1 0
F ig u re
3
é le c triq u e
:
e x tré m ité s
d 'u n e
m a c h in e
4. L a m a c h i n e r é e l l e
1 1 5
L a
m a c h in e
ré e lle
se
p ré s e n te
a lo rs
le s q u e lle s
so n t
s o u s la fo rm e d e d e u x c y lin d re s c o a x ia u x
m u n is
d 'e n c o c h e s
d a n s
lo g é s d e s c o n d u c te u rs . L e fe r e s t u tilis é
1 2 0
p o u r
sa
b o n n e
c o n d u c tiv ité
d u
flu x
m a g n é tiq u e e t le c u iv re e s t u tilis é p o u r s a
b o n n e c o n d u c tiv ité é le c triq u e . L a fig u re 4
m o n tre u n e s c h é m a tis a tio n q u i c o m m e n c e
1 2 5
à s e ra p p ro c h e r d e la ré a lité .
1 3 0
F i g u r e 4 : S h é m a t i s a t i o n d i s c r è t e d 'u n e
m a c h in e é le c triq u e .
4.1. C h a m p m a g n é t i q u e p r o d u i t p a r u n e n r o u l e m e n t
C o n s id é ro n s le c irc u it m a g n é tiq u e d ’u n e m a c h in e b ip o la ire , a y a n t, p o u r fix e r le s id é e s , 1 8
e n c o c h e s a u s ta to r e t u n ro to r lis s e . L ’e n tre fe r ee s t s u p p o s é trè s fa ib le d e v a n t le p a s p o la ire
( l o n g u e u r d 'u n p ô l e m a g n é t i q u e ) :
-
<< π,
Ré ta n t le ra y o n m o y e n d e l’e n tre fe r ; l’o u v e rtu re
d ’e n c o c h e , d u m ê m e o rd re d e g ra n d e u r q u e l’e n tre fe r, e s t fa ib le d e v a n t le p a s d e n ta ire d e te lle
s o rte q u e c e s o u v e rtu re s n e p e rtu rb e n t p a s lo c a le m e n t le c h a m p .
5
1 3 5
4.1.1. C a s d ’ u n e s p i r e u n i q u e
Ex a m i n o n s t o u t d ’ a b o r d l e c a s d ’ u n e s e u l e s p i r e l o g é e d a n s d e u x e n c o c h e s d i a m é t r a l e m e n t
o p p o s é e s , s o i t d a n s n o t r e c a s l e s e n c o c h e s 1 e t 1 0 p a r e x e m p l e . P a r c o u r u e p a r u n c o u r a n t I,
e lle c ré e u n c h a m p m a g n é tiq u e q u i s e d é v e lo p p e :
1 4 0
• e n m a je u re p a rtie ,d a n s le c irc u it m a g n é tiq u e e n tra v e rs a n t l’e n tre fe r,e t q u i c o n s titu e
le flu x u tile ;
• a c c e s s o ire m e n t,d a n s le s e n c o c h e s ,o ù s e tro u v e n t le s c o n d u c te u rs re c tilig n e s d ’a lle r e t
d e re to u r d u
1 4 5
c o u ra n t, a in s i q u e d a n s l’a ir, d e p a rt e t d ’a u tre d u
fe r a u to u r d e s
c o n n e x io n s fro n ta le s a p p e lé e s tê te s d e b o b in e ; c e s tra je ts a é rie n s c o rre s p o n d e n t a u x
flu x d e fu ite .
L e c h a m p p rin c ip a l q u i s e d é v e lo p p e a u to u r d e l’e n tre fe r p ré s e n te la m ê m e ré p a rtitio n s p a tia le
d a n s n ’im p o rte q u e lle c o u p e d u c ir c u it m a g n é tiq u e p a r u n p la n p e rp e n d ic u la ir e à l’ a x e ,to u t a u
m o in s h o rs d e s p a rtie s p ro c h e s d e s e x tré m ité s . L e s lig n e s d ’in d u c tio n tra v e rs e n t l’e n tre fe r
1 5 0
ra d ia le m e n t lo rs q u e le fe r n ’e s t p a s s a tu ré ,é ta n t e n te n d u ,e n o u tre ,q u e le s e ffe ts p e rtu rb a te u rs
d e s o u v e rtu re s d ’e n c o c h e n e s o n t p a s p ris e n
c o m p te . L a c o u rb e
B( θ ) d e l ’ i n d u c t i o n
c o r r e s p o n d a n t e e s t a l o r s d e f o r m e p r a t i q u e m e n t r e c t a n g u l a i r e ( f i g u r e 3) e t , e n
t h é o r è m e d ’ A m p è r e ,d ’ a m p l i t u d e : B=
µ. I
v e rtu
d u
2e
132547698;:
0
1 5 5
π
/
π
θ
F ig u re 5 – D e n s ité d e c o u ra n t e t In d u c tio n d a n s l’e n tre fe r
P a r ra is o n d e s y m é trie ,B e s t n u l a u n iv e a u d e s e n c o c h e s c o n te n a n t la s p ire u n iq u e p a rc o u ru e
p a r l e c o u r a n t I. C o n s i d é r o n s m a i n t e n a n t u n e s p i r e , d e p a s d i a m é t r a l , p o r t é e p a r l e r o t o r e t
s itu é e à s a p é r ip h é r ie ,d é c a lé e e n o u tr e d ’ u n a n g le a r b itr a ir e αp a r r a p p o r t à la s p ir e s ta to r iq u e .
El l e e n c e r c l e u n f l u x , c r é é p a r l e c o u r a n t I, q u i a p o u r v a l e u r :
6
∫ B( θ )RLdθ
α +π
Φ=
α
1 6 0
o ù Le s t la lo n g u e u r a x ia le d u f e r .
C e flu x e s t u n e fo n c tio n tria n g u la ire d e la p o s itio n re la tiv e α d u
ro to r p a r ra p p o rt a u
s t a t o r . I l e n v a b i e n s û r d e m ê m e p o u r l ’ i n d u c t a n c e m u t u e l l e M<>= e n t r e l e s d e u x s p i r e s . C e t t e
in d u c ta n c e m u tu e lle , im a g e d u c o u p la g e m a g n é tiq u e s ta to r/ro to r, n ’e s t d o n c p a s u n e fo n c tio n
1 6 5
s in u s o ïd a le d e la p o s itio n
a n g u la ire a lo rs q u e c ’e s t c e q u e l’o n
c h e rc h e g é n é ra le m e n t à
o b t e n i r . P o u r q u ’ i l e n s o i t a i n s i , i l f a u d r a i t q u e l a c o u r b e B( θ ) s o i t e l l e - m ê m e s i n u s o ï d a l e .
4.1.2. 1.2 C a s d ’ u n e n r o u l e m e n t r é p a r t i
P o u r o b t e n i r u n e c o u r b e B( θ ) d e l ’ i n d u c t i o n d ’ e n t r e f e r p l u s p r o c h e d e s a s i n u s o ï d e
fo n d a m e n ta le q u e la c o u rb e re c ta n g u la ire p ré c é d e n te , o n d o it re m p la c e r la s p ire u n iq u e p a r u n
1 70
e n ro u le m e n t ré p a rti fo rm é d e p lu s ie u rs s p ire s e n s é rie lo g é e s d a n s d e s e n c o c h e s c o n s é c u tiv e s .
S u p p o s o n s , e n e ffe t, q u e c e t e n ro u le m e n t ré p a rti s o it c o n s titu é p a r e x e m p le d e 6 s p ire s d e p a s
d ia m é tra l, p la c é e s d a n s 6 e n c o c h e s c o n s é c u tiv e s p a r p a s p o la ire . P o u r c o n s e rv e r le m ê m e
n o m b re to ta l d ’a m p è re s -to u rs p a r p ô le , c h a q u e s p ire , e n s é rie a v e c le s a u tre s , e s t p a rc o u ru e
p a r u n c o u r a n t d ’ i n t e n s i t é I/ 6 . L e s c h é m a d u b o b i n a g e a i n s i r é a l i s é e s t r e p r é s e n t é d é v e l o p p é
s u r l a f i g u r e 5 . L a c o u r b e B( θ ) p r é s e n t e u n e f o r m e e n e s c a l i e r , a v e c d e s m a r c h e s d e h a u t e u r
1 75
µ ? I / 6e e t d e l a r g e u r é g a l e a u p a s
d ’ e n c o c h a g e , s o i t i c i . 2π / 18 . C e t t e c o u r b e
B( θ ) e n
e s c a lie r e s t v is ib le m e n t p lu s p ro c h e d e s o n te rm e fo n d a m e n ta l q u e la c o u rb e re c ta n g u la ire
a n té rie u re (fig u re 4 ), m a is il p a ra ît é g a le m e n t c la ir q u e c e te rm e fo n d a m e n ta l e s t p lu s fa ib le .
7
B3CED7F9G;H
θ
π
A
@
π
F ig u re 5 – E n ro u le m e n t ré p a rti, s a d e n s ité d e c o u ra n t é q u iv a le n te e t s o n
1 80
in d u c tio n ré s u lta n te
L e ta u x d ’h a rm o n iq u e s p e u t ê tre m a îtris é , d a n s u n e c e rta in e m e s u re , e n u tilis a n t p lu s
o u m o in s d ’e n c o c h e s p a r p ô le , in flu a n t a in s i s u r le n o m b re e t la h a u te u r d e s m a rc h e s . O n p e u t
s u rto u t in flu e r n o ta b le m e n t s u r le ta u x d ’h a rm o n iq u e s e n fa is a n t v a rie r la la rg e u r d e s p a lie rs
1 85
in fé rie u r e t s u p é rie u r d e l’o n d e , c e q u e l’o n o b tie n t a is é m e n t e n jo u a n t s u r l’é ta le m e n t s p a tia l
d u b o b in a g e (n o m b re d ’e n c o c h e s b o b in é e s p a r p ô le ). O n m o n tre q u e le ta u x g lo b a l e s t le p lu s
fa ib le lo rs q u e le s e n c o c h e s a c tiv e s s o n t g ro u p é e s s u r u n a rc v o is in d e 2 /3 d u p a s p o la ire , c a s
illu s tré c i-d e s s u s . C e tte p ro p rié té e s t s o u v e n t u tilis é e e n p ra tiq u e .
L e s m a r c h e s d e l a c o u r b e B( θ ) c o r r e s p o n d e n t a u x h a r m o n i q u e s d i t s d e d e n t u r e , l i é s à
1 9 0
la
q u a s i-n é c e s s ité
d e
ré p a rtir
le s
c o n d u c te u rs
d a n s
d e s
e n c o c h e s
p o u r
d e s
ra is o n s
é le c tro te c h n iq u e s , th e rm iq u e s e t m é c a n iq u e s e s s e n tie lle m e n t. P o u r q u e le u r in flu e n c e , e n
g é n é ra l trè s n é fa s te , d is p a ra is s e d e s c o u rb e s d e flu x o u d ’in d u c ta n c e
m u tu e lle , la m e ille u re
s o lu tio n c o n s is te à in c lin e r o u , p lu s e x a c te m e n t, à v rille r le s e n c o c h e s p a r ra p p o rt à l’a x e d e la
m a c h in e d ’u n a n g le p ro c h e d u p a s d e n ta ire . L a c o u rb e d ’in d u c ta n c e m u tu e lle s ta to r/ro to r
p re n d
a lo rs
u n e
fo rm e
tra p é z o ïd a le
p u re . O n
8
p e u t d è s
lo rs , a v e c
u n e
a p p ro x im a tio n
1 95
ra is o n n a b le , q u ’o n s e ra d u re s te à m ê m e d e c h iffre r, c o n fo n d re la c o u rb e a v e c s o n te rm e
fo n d a m e n ta l.
O n
a
a in s i c o n s titu é
c e
q u e
n o u s
a p p e lle ro n s
p o u r
la
s u ite
«convenablement réparti» . I l e s t é v i d e m m e n t p o s s i b l e d e f a i r e m i e u x
2 0 0
u n
e n ro u le m e n t
e n c o re q u e d a n s
l’e x e m p le d e la fig u re 5 , e n p a rtic u lie r e n lo g e a n t, d a n s le s d iffé re n te s e n c o c h e s , d e s n o m b re s
d e c o n d u c te u rs d iffé re n ts e t ju d ic ie u s e m e n t c h o is is , o u e n a d o p ta n t d e s p a s d e b o b in a g e
d iffé re n ts .
4.2. C h a m p p r o d u i t p a r u n b o b i n a g e t r i p h a s é
2 0 5
4 .2 .1 .
G énéralités
A u c o u rs d u p a ra g ra p h e p ré c é d e n t, n o u s n o u s s o m m e s lim ité s a u c a s d e b o b in a g e s
m o n o p h a s é s . N o u s tra ite ro n s ic i le c a s d e s b o b in a g e s p o ly p h a s é s e t p lu s p a rtic u liè re m e n t
trip h a s é s . L a fig u re 6 re p ré s e n te trè s s c h é m a tiq u e m e n t u n m o te u r a s y n c h ro n e à ro to r b o b in é .
D a n s c e ty p e d e m o te u r, c h a q u e a rm a tu re , s ta to r e t ro to r, p o rte u n b o b in a g e trip h a s é , ic i p a r
2 1 0
e x e m p le b ip o la ire , ré p a rtis re s p e c tiv e m e n t d a n s 1 8 e n c o c h e s a u s ta to r e t 1 2 a u ro to r. C e s
e n ro u le m e n ts s o n t d u m ê m e ty p e , à b o b in e s id e n tiq u e s , im b riq u é d e u x é ta g e s , ré p a rtis s u r 2 /3
d u p a s p o la ire . C h a q u e e n c o c h e c o n tie n t a in s i d e u x fa is c e a u x s u p e rp o s é s a p p a rte n a n t c h a c u n
à d e u x p h a s e s d iffé re n te s .
2 1 5
F ig u re 6 – M o te u r a s y n c h ro n e à ro to r b o b in é : s c h é m a e n c o u p e
U n bobinag e triph as é e s t e n f a i t c o n s t i t u é d e l a j u x t a p o s i t i o n d e t r o i s b o b i n a g e s m o n o p h a s é s
id e n tiq u e s , d é c a lé s a n g u la ire m e n t le s u n s p a r ra p p o rt a u x a u tre s d ’u n a n g le d e
9
2π
ra d ia n s
3
é le c triq u e s , s o it
2 2 0
2 2 5
2π
ra d ia n s g é o m é triq u e s p o u r u n
3
c h a m p
b ip o la ire ,
π
3
p o u r u n
c h a m p
té tra p o la ire , e t a in s i d e s u ite .
4.2.2. T h é o r è m e d u c h a m
S u p p o s o n s , d a n s u n p re m ie
a lim e n té p a r d e s c o u ra n ts trip h a s é s
i J = I I cos(θ J )
2π
iL = I I cos(θ J −
)
3
4π
iK = I I cos(θ J −
)
3
θM é t a n t p o u r l ’ i n s t a n t u n p a r a m è t r e
p to u r n a n t
r t e m p s , q u e l e s t a t o r , m u n i d 'u n b o b i n a g e t r i p h a s é , e s t s e u l
é q u ilib ré s . C e s c o u ra n ts s o n t p a r d é fin itio n te ls q u e :
a rb itra ire .
E n p r e n a n t l ’ o r i g i n e d e s a n g l e s , m e s u r é s l e l o n g d e l ’ e n t r e f e r , s u r l ’ a x e d e l a p h a s e 1, c h a c u n e
d e s p h a s e s d u s t a t o r p r o d u i t u n e i n d u c t i o n d o n t l e p r e m i e r h a r m o n i q u e d 'e s p a c e p e u t s ’ é c r i r e :
BO = BN cos(θ )
2π
)
3
4π
B' ' O = BN cos(θ −
)
3
B' O = BN cos(θ −
2 3 0
avec BQ = K R I P , p u i s q u e l es p h as es s o n t t o u t es i d en t i q u es .
E n t en an t co m p t e d es ex p r es s i o n s d es co u r an t s , o n a en co r e :
BT = K T I S cos(θ ) cos(θ T )
2π
2π
B' T = K T I S cos(θ −
) cos(θ T −
)
3
3
4π
4π
B' ' T = KT I S cos(θ −
) cos(θ T −
)
3
3
E n
2 3 5
ef f ect u an t
l a t r an s f o r m at i o n
t r i g o n o m é t r i q u es cl as s i q u es , et en
d es
ex p r es s i o n s
ci - d es s u s
à
l ’ ai d e d es
f o r m u l es
s o m m an t l es t r o i s i n d u ct i o n s p r o d u i t es p ar l es t r o i s
b o b i n ag es , l ’ i n d u ct i o n r é s u l t an t e a f i n al em en t p o u r ex p r es s i o n :
3
B = BV + B' V + B' ' V = K V I U cos(θ − θ V ))
2
soit encore : B = BXZYE[ cos(θ − θ \ ))
avec :
B]_^9` =
3
K\ I W
2
C ette rel a tion m ontre q u e l e f l u x ré su l ta nt est ré p a rti d a ns l ’ entref er d e m a niè re sinu soï d a l e
a v ec u ne v a l eu r crê te d e l ’ ind u ction ind é p end a nte d u p a ra m è tre θ a et 3 / 2 f ois p l u s g ra nd e q u e
10
2 4 0
c e l l e q u i s e r a i t p r o d u i t e p a r u n e s e u l e p h a s e . E n p o s a n t θb = ωb t ,
o ù ωc e s t l a p u l s a t i o n d e s
c o u r a n t s s t a t o r e t t l e t e m p s : B = BeZfEg cos(θ − ω d t ))
2 4 5
O n e n d é
h
h
dθ
=ω
dt
l’a x e d ’u n
C e
d u it q u e le flu x , ré p a rti s in u s o ïd a le m e n t, to u rn e e n b lo c à la v ite s s e a n g u la ire :
s
rad/ s d a n s l e s e n s p o s i t i f e t q u e l ’ i n d u c t i o n c o r r e s p o n d a n t e e s t m a x i m a l e d a n s
e p h a s e lo rs q u e le c o u ra n t y e s t m a x im a l.
p ro p rié té s fo n d a m e n ta le s d e s b o b in a g e s
trip h a s é s
c o n v e n a b le m e n t ré p a rtis
c o n s titu e n t c e q u e l’o n a p p e lle le th é o rè m e d u c h a m p to u rn a n t, é ta b li s im u lta n é m e n t e t s a n s
d o u te in d é p e n d a m m e n t p a r G a lile o F e rra ris e t N ik o la T e s la il y a p lu s d ’u n s iè c le .
4.3. Force magnétomotrice
250
La force magnétomotrice (FMM) d ’ u n b o b i n ag e e s t d é f i n i e c o m m e l a s o m m e c u m u l é e d e s
am p è r e s - t o u r s r e n c o n t r é s l o r s q u e l ’ o n s e d é p l ac e l e l o n g d e l ’ e n t r e f e r .
À
c h aq u e
p as s ag e
au
d ro it
d ’u n e
e n c o c h e ,
la F M M
e st
d o n c
au g m e n t é e
al g é b r i q u e m e n t d e l a v al e u r d u c o u r an t t o t al p r é s e n t d an s l ad i t e e n c o c h e . C ’ e s t é v i d e m m e n t
255
u n e f o n c t i o n p é r i o d i q u e . L’ i n t é r ê t d e l a n o t i o n d e F M M
q u i s o n t b ie n
e n te n d u
l e s s o u r c e s d e c h am p
m ag n é t i q u e . S i l e c i r c u i t n ’ e s t p as s at u r é ,
l ’ i n d u c t i o n l u i s e r a d i r e c t e m e n t p r o p o r t i o n n e l l e . D an s l e c as c o n t r ai r e , q u i e s t l e c as g é n é r al , i l
f au d r a l a m u l t i p l i e r p ar l a p e r m é an c e
l’ in d u c tio n .E n d é f in itiv e laF M M
260
e s t d ’ ê t r e g o u v e r n é e p ar l e s c o u r an t s
4 .4 .
i
d u
c irc u it c o m p le t (e n tre fe r e t fe r) p o u r o b te n ir
e s t u n m o y e n r i g o u r e u x d ’ é t u d e d e s m ac h i n e s .
D ens ité d e cou rant p rod u ite p ar l es b ob inages
C o n s i d é r o n s u n e m ac h i n e é l e c t r i q u e ay an t 18 e n c o c h e s b o b i n é e s d e s o r t e s q u e l e s c o u r an t s
d an s l e s e n c o c h e s s o i e n t r é p ar t i s c o m m e i n d i q u é d an s l e t ab l e au c i - d e s s o u s . La t r o i s i è m e
l i g n e e s t d é d u i t e e n p o s an t θ j = 0 e t Ik = 1.
E n c o c h e
B o b i n ag e
C o u r an t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-i l
im
im
im
-in
-in
-in
-1 -1 -1
-
-
-
0 .
0 .
0 .
0 .
0 .
0 .
il
il
il
-im
-im
-im
in
in
in
1
1
1 0 .
0 .
0 .
-
-
-
5 0 .
0 .
0 .
5
5
5
5
5
-i l
11 12 13 14 15 16 17 18
-i l
5
5
5
5
r an d e u r c ar ac t é r i s an t l a p e r m é ab i l i t é d ' u n c i r c u i t m ag n é t i q u e au p as s ag e d u f l u x
i G
m ag n é t i q u e
11
5
5
prqtsvutwyx
π
o
θ
2π
265
F ig u r e 7: D e n s ité d e c o u r a n t é q u iv a le n te d u b o b in a g e s im p le c o u c h e
L 'a l l u r e d e l a d e n s i t é d e c o u r a n t c o m m e n c e à s e r a p p r o c h e r d 'u n e s i n u s o ï d e . I l e s t c l a i r e q u e
le s h a rm o n iq u e s d e ra n g s u p é rie u r e x is te n t e t o n t u n p o id s c o n s id é ra b le . Il e s t p o s s ib le d e
ré d u ire le s h a rm o n iq u e s e n c h o is is s a n t d e s b o b in a g e s a d a p té s . S i d a n s u n e m ê m e e n c o c h e , o n
p e u t l o g e r d e s c o n d u c t e u r s d e d e u x p h a s e s d i f f é r e n t e s d e s o r t e q u e l 'o n p e u t a v o i r d i f f é r e n t s
270
p a l i e r s , o n p e u t s e r a p p r o c h e r d 'u n e d i s t r i b u t i o n s i n u s o ï d a l e . C o n s i d é r o n s l e b o b i n a g e i n d i q u é
d a n s l e t a b l e a u c i - d e s s o u s . L e t a u x d 'h a r m o n i q u e s e s t n e t t e m e n t r é d u i t p a r r a p p o r t a u p r e m i e r
c a s.
E n c o c h e
B o b in a g e
C o u ra n t
1
2
2i z 2i z
3
iz i{
2
2 1.
4
-
5
-
2i{ 2i{
1
1
5
6
i| - 2i| 2i|
9
i| -
10
i{
iz
-
0.
7
8
-1 -1
1.
-
11 12 13 14 15 16 17 18
-
i{ - 2i{ 2i{
i{ -
2i z 2i z
iz
i|
-2 -2
-
-1 -1
0
-
-
2i| 2i|
1
i|
1 1.
1.
5
iz -
5
5
prqtsvutwyx
π
o
θ
2π
F ig u r e 8: D e n s ité d e c o u r a n t é q u iv a le n te d u b o b in a g e d o u b le c o u c h e s
275
L a ré a lis a tio n d e c e ty p e d e d e n s ité d e c o u ra n t e s t p o s s ib le g râ c e à d e s b o b in a g e s d its " à
d o u b le s c o u c h e s " . C e b o b in a g e e s t ré a lis a b le e n c o n c e n triq u e 2p la n s o u , p lu s c o m m u n é m e n t,
e n im b riq u é 2é ta g e s . L a ré p a rtitio n d e s c o n d u c te u rs d a n s le s e n c o c h e s e s t m o in s s im p le q u e
d a n s le c a s p ré c é d e n t e t, p a r c o n s é q u e n t, l’o p é ra tio n d e b o b in a g e e n e s t p lu s c o m p le x e . L e
280
s c h é m a d e ré p a rtitio n e s t p ré s e n té s u r le ta b le a u c i-d e s s u s . O n v o it q u e le s p h a s e s s o n t c e tte
fo is p a rtie lle m e n t im b riq u é e s , c e rta in e s e n c o c h e s c o n te n a n t d e s c o n d u c te u rs a p p a rte n a n t à
d e u x p h a s e s d iffé re n te s . C e la o b lig e d ’a ille u rs , e t c ’e s t u n fa c te u r im p o rta n t e n te rm e s d e
12
fa b ric a tio n , d e p ré v o ir, d a n s c e s e n c o c h e s , u n e is o la tio n e n tre fa is c e a u x q u i ré d u it la p la c e
d is p o n ib le p o u r le c u iv re e t a u g m e n te s ig n ific a tiv e m e n t le s te m p s d e b o b in a g e .
}~ €yƒ‚t„†…ˆ‡Š‰ƒ…ˆ‹Œ„
2 8 5
Ž‡Š‰Œ‚t„†…‘‡’‰ƒ…‹„’“
O n c o n s ta te s a n s a m b ig u ïté q u e c e s o n d e s s o n t p lu s p ro c h e s d ’u n e s in u s o ïd e q u e c e lle s
o b te n u e s a v e c le b o b in a g e p le in p a s , m o n tra n t a in s i u n e d im in u tio n n o ta b le d e l’a m p litu d e d e s
h a rm o n iq u e s d ’e s p a c e . O n m o n tre q u e le p a s 5 /6 m in im is e le s h a rm o n iq u e s 5 e t 7 . O n
2 9 0
re m a rq u e ra é g a le m e n t q u e l’a m p litu d e m a x im a le d e la F M M
e s t p lu s fa ib le , e n ra is o n d e
l’é ta le m e n t p lu s g ra n d d e s c o n d u c te u rs . A in s i, la m in im is a tio n d e s h a rm o n iq u e s s e p a ie p a r
u n e c o m p le x ité a c c ru e d e fa b ric a tio n , à la q u e lle s ’a jo u te u n e d im in u tio n d e l’e ffic a c ité d u
b o b in a g e e n c e q u i c o n c e rn e l’o n d e fo n d a m e n ta le .
2 9 5
A
F ig u re 9 : F o rc e s m a g n é to m o tric e d e s d e u x b o b in a g e s
t i t r e d e c o m p a r a i s o n , l a f i g u r e 9 m o n t r e l 'a l l u r e d e l a F M M
p ro d u ite p a r u n e n ro u le m e n t à
u n e s e u le c o u c h e e t c e lle p ro d u ite p a r u n e n ro u le m e n t à d e u x c o u c h e s d e c o n d u c te u rs . Il e s t
c la ire q u e le s e c o n d e n ro u le m e n t e s t n e tte m e n t p lu s s in u s o ïd a l q u e le p re m ie r.
30 0
4.5. C o u p l e é l e c t r o m a g n é t i q u e d ' u n e m a c h i n e a s y n c h r o n e
L 'é t u d e d e c e s d i f f é r e n t s b o b i n a g e s e t l e u r c o m p l e x i t é p r é s e n t e u n
d 'o b t e n i r
le
c h a m p
a y a n t
u n
se u l
h a rm o n iq u e
d 'e s p a c e
d e
b u t p rin c ip a l : c e lu i
s o rte
q u e
le
c o u p le
é l e c t r o m a g n é t i q u e n e p r é s e n t e p a s d e p e r t u r b a t i o n s . D 'a u t r e p a r t , l e s d i f f é r e n t s h a r m o n i q u e s
13
3 0 5
c r é e n t d e s c o u p l e s p a r a s i t e s q u i s 'a j o u t e n t a l g é b r i q u e m e n t a u c o u p l e p r i n c i p a l , m a i s s u r t o u t
in d u is e n t d e s p e rte s s u p p lé m e n ta ire s d a n s la m a c h in e e t ré d u is e n t d o n c s o n re n d e m e n t.
P r e n o n s l e c a s d 'u n e m a c h i n e a s y n c h r o n e t r i p h a s é e . L e s t a t o r p r o d u i t u n c h a m p t o u r n a n t à l a
v ite s s e
ω
p
o ù pe s t le n o m b re d e p a ire s d e p ô le s .L e b o b in a g e ro to riq u e , e n c o u rt-c ir c u it, s u b it
u n f l u s v a r i a b l e e t e s t l e s i è g e d e c o u r a n t s i n d u i t s . L 'i n t e r a c t i o n d e c e c o u r a n t a v e c l e c h a m p
d u s t a t o r c r é e u n c o u p l e é l e c t r o m a g n é t i q u e q u i d é p e n d d 'u n c e r t a i n n o m b r e d e p a r a m è t r e s
3 10
n o t a m m e n t l a d i f f é r e n c e r e l a t i v e d e s v i t e s s e s a p p e l é e " g l i s s e m e n t " : g=
L a
fig u re
s u iv a n te
m o n t r e l 'a l l u r e
d u
c o u p le
d 'u n e
ω − pΩ
.
ω
" m a u v a is e " m a c h in e
a s y n c h ro n e
e n
f o n c t i o n d e l a v i t e s s e , l 'i n f l u e n c e d e s h a r m o n i q u e s d 'e s p a c e é t a n t m a r q u é e p o u r l e s f a i b l e s
v i t e s s e s . O n d é s i g n e p a r c o u p l e f o n d a m e n t a l , l e c o u p l e q u 'a u r a i t l a m a c h i n e s i l e s d i f f é r e n t s
3 15
h a r m o n i q u e s d 'e s p a c e s n 'e x i s t a i e n t p a s . C e c a s e s t p u r e m e n t t h é o r i q u e e t c o r r e s p o n d à l 'é t u d e
d u p a r a g r a p h e 1. L e r ô l e d u c o n c e p t e u r d e m a c h i n e e s t d e s e r a p p r o c h e r d e c e t i d é a l a f i n d e
c o n s tr u ir e d e s m a c h in e s p e r f o r m a n te s : p lu s p u is s a n te s , r e n d e m e n t é le v é , m o in s b r u y a n te s ,…
³
˜ƒžÀ´_µŸ²¼9Á; —ÿ
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F i g u r e 10 : C o u p l e d ' u n e m a c h i n e a s y n c h r o n e a v e c d e s p e r t u r b a t i o n s d u e s a u x
d iffé re n ts h a rm o n iq u e s
3 2 0
5. c o n c l u s i o n
D a n s la n a tu re e t à u n e é c h e lle m a c ro s c o p iq u e , le s g ra n d e u rs e t le s p h é n o m è n e s s o n t c o n tin u s .
3 2 5
L e u r m o d é l i s a t i o n à u n p r e m i e r d e g r é l 'e s t a u s s i . L 'é c h e l l e m i c r o s c o p i q u e e s t t o u t e u n e a u t r e
h is to ire …
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C e r t a i n s c r é a t i o n s d e l 'h o m m e , t e l l e s q u e l e s m a c h i n e s é l e c t r i q u e s , n e p e u v e n t e n a u c u n c a s
ê tre ré g u liè re s e t c o n tin u e . L a m o d é lis a tio n d e s m a c h in e s é le c triq u e s , e n te n a n t c o m p te d e la
g é o m é trie e x a c te e s t p o s s ib le g râ c e à d e n o u v e lle s m é th o d e s n u m é riq u e s te lle s q u e le s
3 3 0
é lé m e n ts fin is o u le s d iffé re n c e s fin ie s .
3 3 5
B o b in e s é le m e n ta ire à d o u b le s c o u c h e s
3 4 0
b o b in a g e fin a l a v a n t c o n n e x io n d e s b o b in e s
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