La méthode d`al-Khuwarizmi
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La méthode d`al-Khuwarizmi
La méthode d'al-Khuwarizmi 1- Le mathématicien arabe al-Khuwarizmi (IXème siècle) cherchait la longueur x telle que l'aire du rectangle AEFD ci-dessous soit égale à 21. a) Vérifier que -7 est solution de l'équation x² = -4x + 21 b) Voici les courbes d'équations y = x² et y = -4x + 21 à l'écran d'une calculatrice. Sachant que la fenêtre graphique montre des valeurs de x dans l'intervalle [-8 ; +8], proposer une résolution graphique de cette équation. Valider par le calcul les solutions proposées. c) Pour résoudre son problème al-Khuwarizmi a eu l'idée de découper BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions (x et 2) et de former le grand carré ci-contre. Recopier et compléter l'égalité : x² + 4x = (x + 2)² - ….. d) En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre de solutions du problème d'al-Khuwarizmi. di) 2- En utilisant l'égalité de la question 1.c) résoudre algébriquement les équations : a) x² = -4x + 3 ; b) x² + 4x = -1 ; c) x² + 4x = -5 La méthode d'al-Khuwarizmi 1- Le mathématicien arabe al-Khuwarizmi (IXème siècle) cherchait la longueur x telle que l'aire du rectangle AEFD ci-dessous soit égale à 21. a) Vérifier que -7 est solution de l'équation x² = -4x + 21 Pour x = -7, x² = (-7)² = 49 et -4x + 21 = -4 ×(-7) + 21 = 28 + 21 = 49, on a donc bien x² = -4x + 21. b) Voici les courbes d'équations y = x² et y = -4x + 21 à l'écran d'une calculatrice. Sachant que la fenêtre graphique montre des valeurs de x dans l'intervalle [-8 ; +8], proposer une résolution graphique de cette équation. Les courbes ont deux points communs qui sont les points d'abscisse -7 et 3 ; l'équation semble donc avoir deux solutions, -7 et 3. Valider par le calcul les solutions proposées. La solution -7 a été vérifiée au a). Pour x = 3, x² = 9 et -4x + 21 = -12 + 21 = 9, on a donc bien x² = -4x + 21 c) Pour résoudre son problème al-Khuwarizmi a eu l'idée de découper BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions (x et 2) et de former le grand carré ci-contre. Recopier et compléter l'égalité : x² + 4x = (x + 2)² - ….. x² + 4x = (x + 2)² – 4, car (x + 2)² = x² + 4x + 4 d) En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre de solutions du problème d'alKhuwarizmi. Le problème d'al-Khuwarizmi revient à résoudre l'équation x² + 4x = 21 Cette équation est équivalente à x² = -4x + 21, ce qui explique la résolution graphique. Algébriquement, x² + 4x = 21 est équivalent à (x + 2)² – 4 = 21, soit (x + 2)² = 25. Il y a deux solutions : - soit x + 2 = 5, donc x = 3 - soit x + 2 = -5, donc x = -7 On retrouve les deux solutions obtenues graphiquement. 2- En utilisant l'égalité de la question 1.c) résoudre algébriquement les équations : a) x² = -4x + 3 ; b) x² + 4x = -1 ; c) x² + 4x = -5 a) x² = -4x + 3 ⇔ x² + 4x = 3 ⇔ (x + 2)² – 4 = 3 ⇔ (x + 2)² = 7 Il y a deux solutions : √ 7 donc x = - 2 + √ 7 soit x + 2 = - √ 7 donc x = -2 - √ 7 soit x + 2 = b) x² + 4x = -1 ⇔ (x + 2)² – 4 = -1 ⇔ (x + 2)² = 3 Il y a deux solutions : soit x + 2 = √ 3 donc x = -2 + √ 3 soit x + 2 = - √ 3 donc x = -2 - √3 c) x² + 4x = -5 ⇔ (x + 2)² – 4 = -5 ⇔ (x + 2)² = -1 Il n'y a pas de solution car un carré est toujours positif.