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Modèles en temps continu
pour la Finance
David Lefèvre
ENSTA ParisTech/Laboratoire de Mathématiques Appliquées
23 avril 2014
David Lefèvre
MAE12
Evaluation et couverture pour les options européennes de
la forme H = h(ST1 )
Proposition :
Considérons une option régulière H ∈ H telle que : H = h(ST1 ), où
h est une fonction borélienne à valeurs positives.
Alors il existe une fonction v : [0, T ] × R∗+ → R telle que le prix
de non-arbitrage (ou prix d’arbitrage), πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de
l’option H vérifie :
i
h
∀t ∈ [0, T ], πt (H) = EQ e −r (T −t) h(ST1 )Ft .
Preuve :
σ2
Pour tout t ∈ [0, T ], on a : St1 = S01 e (r − 2 )t+σWt , où (Wt )0≤t≤T
est un mouvement Brownien réel sur (Ω, F, Q), Q est la mesure
martingale équivalente et quel que soit t ∈ [0, T ], Ft = FtB = FtW .
On en déduit que :
∀t ∈ [0, T ],
ST1 = St1 e (r −
David Lefèvre
σ2
)(T −t)+σ(WT −Wt )
2
MAE12
.
Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 )
Preuve : (suite)
Par ailleurs, la formule d’évaluation risque-neutre donne :
i
h
∀t ∈ [0, T ], πt (H) = EQ e −r (T −t) h(ST1 )Ft
2
Q
−r (T −t)
1 (r − σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt ) )Ft .
=E e
h(St e
Lemme : (Rappel)
Etant données X et Y deux variables aléatoires définies sur un
espace de probabilité (Ω, F, Q) et à valeurs réelles.
Soit G une sous-tribu de F et Φ une application mesurable à
valeurs positives ou bornée.
Alors, si X est G - mesurable et Y est indépendante de G, on a :
i
h
EQ Φ(X , Y )G = φ(X ),
avec φ(x) = EQ [Φ(x, Y )], pour tout x ∈ R.
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MAE12
Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 )
Preuve : (suite)
Nous utilisons le lemme précédent avec G = Ft , X = St1 qui est
Ft - mesurable et Y = WT − Wt qui est bien indépendante de Ft .
On en déduit qu’il existe une fonction v : [0, T ] × R∗+ → R telle
que le prix de non-arbitrage, πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de l’option H
vérifie :
∀t ∈ [0, T ], πt (H) = v (t, St1 ),
avec la fonction v définie par :
2
Q
−r (T −t)
(r − σ2 )(T −t)+σ(WT −Wt )
∗
∀t ∈ [0, T ]×R+ , v (t, x) = E e
h(x e
) .
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MAE12
Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 )
Proposition :
Si l’on suppose que v ∈ C 1,2 ([0, T ] × R∗+ ), alors il existe une
stratégie Q - admissible (φt )0≤t≤T = ((φ0t , φ1t ))0≤t≤T qui duplique
l’option européenne H = h(ST1 ) telle que, pour tout
t ∈ [0, T ], Vt (φ) = v (t, St1 ) et :
φ1t =
∂v
(t, St1 ),
∂x
φ0t = e −r t v (t, St1 ) − φ1t S˜1 t .
De plus, le prix de non-arbitrage, πt (H), 0 ≤ t ≤ T , de l’option H
est solution de l’équation aux dérivées partielles suivantes :
∂v
∂v
1 2 2 ∂2v
σ x
(t, x) + r x
(t, x) +
(t, x) − r v (t, x) = 0,
2
2
∂x
∂x
∂t
(t, x) ∈ [0, T [×R∗+
v (T , x) = h(x), x ∈ R∗+ .
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MAE12
Cas des options européennes de la forme H = h(ST1 )
Proposition : (suite)
Réciproquement, si l’équation aux dérivées partielles précédente
admet une solution v ∗ (dont la dérivée partielle
∂v ∗
∗
∂x (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × R+ est bornée), alors
v ∗ (t, St1 ), 0 ≤ t ≤ T , est le prix de non-arbitrage à l’instant
t ∈ [0, T ] de l’option de flux terminal h(ST1 ).
Preuve :
La preuve repose sur le résultat suivant vu dans le cours MA207 :
Si (Xt )0≤t≤T est une martingale sur (Ω, F, (Ft )0≤t≤T , Q) et dont
la décomposition en processus d’Itô s’écrit :
Z t
Z t
Xt = X0 +
Ks ds +
Hs dWs , 0 ≤ t ≤ T , Q − p.s. ,
0
0
alors, nécessairement, Kt = 0,
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0 ≤ t ≤ T , Q − p.s. .
MAE12
Formules de Black et Scholes
Proposition : Formules de Black et Scholes
Le prix de non-arbitrage à la date t ∈ [0, T [, noté C (St1 , T − t, K ),
d’un call de prix d’exercice K et d’échéance T est donné par :
C (St1 , T − t, K ) = St1 N (d1 (St1 , T − t, K , σ))
− K e −r (T −t) N (d2 (St1 , T − t, K , σ)),
où N désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée
réduite et d1 (x, τ, K , σ) et d2 (x, τ, K , σ) sont définis comme suit :
2
log Kx + r + σ2 τ
√
d1 (x, τ, K , σ) =
σ τ
et :
√
d2 (x, τ, K , σ) = d1 (x, τ, K , σ) − σ τ
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MAE12
Formules de Black et Scholes
Proposition : Formules de Black et Scholes (suite)
La formule de parité call-put s’écrit :
C (St1 , T − t, K ) − P(St1 , T − t, K ) = St1 − K e −r (T −t) , t ∈ [0, T [
Le prix de non-arbitrage à l’instant t ∈ [0, T [, noté
P(St1 , T − t, K ), d’un put de strike K et de maturité T , est donné
par :
P(St1 , T − t, K ) = K e −r (T −t) N (−d2 (St1 , T − t, K , σ))
− St1 N (−d1 (St1 , T − t, K , σ)).
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MAE12
Sensibilités
Les sensibilités du prix d’une option par rapport à ses différents
paramètres sont appelées les “Grecques”
Delta :
Le Delta, noté ∆, est la sensibilité du prix par rapport à la
valeur actuelle du sous-jacent.
Dans le cas d’un call, ∆ =
∂v
1
∂x (t, St )
= N (d1 ).
Le Delta s’interprète comme la quantité d’actif risqué du
portefeuille de couverture de l’option.
Le portefeuille de couverture est théoriquement ajusté à
chaque instant et correspond alors à des transactions faites en
continu et sans frais, adjonction ni retrait d’argent.
En réalité, les transactions sont discrètes et les coûts de
transaction limitent le nombre d’ajustement appelés “hedges”.
Le vendeur prend donc concrètement un risque. Plus il
fait de hedges, plus son portefeuille de couverture est proche
de l’option, mais plus il paye de coûts de transation.
David Lefèvre
MAE12
Sensibilités
Gamma :
Le Gamma, noté Γ, est la sensibilité du Delta par rapport à la
valeur actuelle du sous-jacent.
Dans le cas d’un call, Γ =
∂2v
(t, St1 )
∂x 2
=
0
1
√
N (d1 ).
St1 σ T −t
Le Gamma indique au vendeur de l’option la fréquence à
laquelle la position de couverture doit être modifiée.
Si le Gamma est faible, le Delta varie peu et la couverture en
Delta n’a pas besoin d’être ajustée.
Par contre, si le Gamma est élevé, il faut souvent et
significativement reconsidérer le nombre d’actifs risqués du
portefeuille de couverture.
David Lefèvre
MAE12
Sensibilités
Theta :
Le Theta, noté θ, est la sensibilité du prix par rapport au
temps écoulé t ∈ [0, T ].
Le Theta mesure donc la diminution du prix de l’option au
cours du temps.
Dans le cas d’un call, 1
0
σS
−r (T −t) N (d ).
1
√ t
Θ = ∂v
2
∂t (t, St ) = − 2 T −t N (d1 ) − K r e
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MAE12
Sensibilités
Vega :
Le Vega, noté Vega, est la sensibilité du prix par rapport à la
volatilité.
Le Vega est important car il donne la dépendance du prix en
la volatilité du sous-jacent qui est le paramètre difficile et
primordial à calculer.
Plus le Vega est important, plus le risque d’erreur de
calibration est grand.
√
0
∂v
Dans le cas d’un call, Vega = ∂σ
(t, St1 ) = St1 T − t N (d1 ).
Rho :
Le Rho, noté ρ, est la sensibilité du prix par rapport au taux
d’intérêt r .
Dans le cas d’un call,
1
−r (T −t) (N (d ) − 1).
ρ = ∂v
2
∂r (t, St ) = (T − t) K e
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MAE12