MSY06 : Théorie de l`Information TD n 4 : Codes en bloc Exercice 1

MSY06 : Théorie de l’Information
TD n◦ 4 : Codes en bloc
Exercice 1
On considère le code en bloc défini par la matrice génératrice suivante écrite sous forme systématique :
0 1 1 1 0
G=
.
1 1 0 0 1
1. Construire les mots du code. Quelle est la capacité de correction de ce code ?
2. Construire la matrice de contrôle de ce code. Vérifier sa capacité de correction.
3. Le mot reçu y = (11011) appartient-il au code ? Le corriger le cas échéant.
4. Quelle serait la forme de H si on avait :
1 0 1 1 1
G=
0 1 1 1 0
Exercice 2
1. Peut-on construire un code de Hamming avec 11 bits de données et 4 bits de contrôle
d’erreur ? Si oui, en donner un exemple.
2. Quelle est la distance de Hamming de ce code ?
3. On se livre au jeu pervers suivant :
La responsable de l’UE choisit au hasard 15 étudiants, les empêche de communiquer (en
les bâillonnant par exemple) et les affuble d’un chapeau noir ou blanc. Les étudiants sont
ensuite réunis et peuvent voir la couleur des chapeaux des autres, mais pas la leur. La
responsable demande à chacun de deviner la couleur de son propre chapeau ou de décider
qu’il ne peut pas le faire. Si tous ceux (ou celles) qui répondent, le font correctement,
l’ensemble des étudiants auront 0.0001 point de plus en moyenne sur la note du CC2. On
considère un étudiant qui se range aux côtés des 14 autres et qui code un chapeau noir en
”0” et un chapeau blanc en ”1”. Il considère donc 2 mots possibles selon que son propre
couvre-chef est noir ou blanc.
(a) Est-il possible que les deux mots appartiennent au code de Hamming défini en 1. ?
(b) Est-il possible qu’un seul mot appartienne au code de Hamming ?
(c) Est-il possible qu’aucun des mots n’appartienne au code de Hamming ?
4. Chaque étudiant suit alors le méthode suivante :
– si un des deux mots qu’il considère appartient au code de Hamming, il écrit que la
couleur de son chapeau est différente de celle qu’il a considérée dans le mot. P.ex., si le
mot correspond à un chapeau noir, il écrira « blanc », et vice-versa.
– si aucun des deux mots n’appartient au code de Hamming, il n’écrit rien.
Montrer que si le mot réel n’appartient pas au code de Hamming, un seul étudiant décrit
la couleur de son chapeau et que cette couleur est la bonne.
5. Montrer que si le mot réel appartient bien au code de Hamming, tous ceux qui répondent
ont tort.
Exercice 3
Soit le code linéaire sur F3 suivant , dont une matrice génératrice est définie par :
2 1 0 1 2
G=
0 2 1 1 1
1. Construire les mots du code.
2. Coder le mot d’information i = (1 2).
3. Considérons maintenant la matrice :
G0 =
1 0 2 1 0
.
0 1 2 2 2
Montrer que cette matrice est également une matrice génératrice du code. Coder le même
mot d’information.
Exercice 4
On considère le code généré par la matrice

0 1
1 1
G=
1 1
0 0
G suivante :
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0

0
1
.
0
0
1. Montrer que les mots-code possèdent un nombre pair de ”1”.
2. En déduire que le code est au moins détecteur de 1 erreur.
3. Montrer que les mots (0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0) et
(0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0) sont des mots-code.
4. En déduire que (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1) est aussi un mot-code.
5. En déduire que la matrice

1

1
G0 = 
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0

1
1

0
0
est génératrice du même code que le code initial
6. En déduire que ce même code peut être généré

1 0 0 0

0 1 0 0
G00 = 
0 0 1 0
0 0 0 1
par la matrice :

1 1 1 0
1 1 0 1
.
1 0 1 1
0 1 1 1
Quel est l’intérêt d’utiliser cette matrice ?
7. Donner une matrice H de contrôle de ce code .
8. Déduire à partir de H que le code est détecteur de 2 erreurs.
9. Est-il correcteur de 1 erreur ?
10. En déduire la distance de Hamming de ce code.