Poids `a minuit et `a midi

Poids à minuit et à midi
2015-09-14 22 :14 :09
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Poids à minuit et à midi
M1
r
j
T
R
S
M2
i
Figure 1 –
Repère (S,~i, ~j) centré sur le Soleil et supposé galiléen.
Repère (T,~i, ~j) centré sur la Terre.
La Terre tourne autour du Soleil sur une cercle de rayon R avec une pulsation Ω et a pour rayon r.
La masse m est posée sur la Terre et fixe par rapport à elle, elle décrit un cercle de rayon r avec une pulsation ω. Le
repère (T,~i, ~j) n’est pas galiléen mais il ne tourne pas donc il n’y a pas d’accélération de Coriolis.
~ 1 et R
~ 2 les réactions du sol sur la masse m et on pose |R
~ 1 | = R1 , |R
~ 2 | = R2 .
On appelle R
−→
Relation fondamentale de la dynamique pour la masse m dans le repère (T,~i, ~j) lié à la Terre, projetée sur l’axe ST :
F~
Quand la masse est en M1
−
Quand la masse est en M2
Mais on a :
Donc :
GmMT
GmMS
−
+ R1
r2
(R + r)2
GmMS
GmMT
−
− R2
2
r
(R − r)2
R1 − R2
m
=
m(γ~r + γ~e )
=
−mω 2 r − mΩ2 (R + r)
=
mω 2 r − mΩ2 (R − r)
=
GMS
GMS
+
− 2Ω2 R
(R + r)2
(R − r)2
GMT MS
= M T Ω2 R
R2
R2 + r 2
GMS
GMS
1
GMS
R1 − R2
+
− 2 2 = 2GMS
− 2
=
m
(R + r)2
(R − r)2
R
(R2 − r2 )2
R
En posant u = r/R on a :
2GMS
R1 − R2
=
m
R2
1 + u2
−1
(1 − u2 )2
2GMS 2 3 − u2
R1 − R2
u
=
m
R2
(1 − u2 )2
Jusqu’ici on n’a pas fait d’approximation. En faisant un développement limité en u à l’ordre le plus bas, qui est
l’ordre 2 :
6GmMS r2
R1 − R2 =
R4
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Poids à minuit et à midi
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Annexe : expression du module de la force de gravitation en kgf
mM
d2
Mt
M rt2
G mM
avec g = G 2 donc fkgf = m
(rt étant le rayon de la Terre).
=
2
g d
rt
Mt d2
En Newtons : fN = G
En kgf : fkgf
2
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