E´DITORIAL Ce numéro de la Revue d`histoire des mathématiques s

ÉDITORIAL
Ce numéro de la Revue d’histoire des mathématiques s’ouvre sur une analyse de controverses. Cette méthode, qui s’attache à l’étude détaillée
de cas précis, se déploie depuis une trentaine d’années en histoire des
sciences où elle est souvent pensée comme un puissant moyen de renouvellement et comme une façon de dépasser la vieille opposition entre
analyses internaliste et externaliste. En histoire des mathématiques. parsemée pourtant de controverses célèbres, elle n’est que peu utilisée pour
associer l’étude des contenus à celle de toutes les facettes de la fabrication
des savoirs, qu’elles soient sociales, philosophiques ou politiques. Frédéric Brechenmacher, dans le premier article que nous publions dans ce
fascicule, se livre à une telle analyse. Le cas qu’il examine concerne une
controverse relativement peu connue qui a jailli, dans sa formulation, de
la rencontre, en 1874, de deux théorèmes considérés aujourd’hui comme
identiques : le théorème de Jordan (1870) de la décomposition matricielle et le théorème des diviseurs élémentaires de Weierstrass (1868).
Brechenmacher suit méticuleusement les deux principaux acteurs de la
controverse, Camille Jordan et Leopold Kronecker, ainsi que les énoncés
qu’ils sont amenés à formuler publiquement ou non. Le premier heurt est
public et oppose, selon Brechenmacher, deux manières de réorganiser la
théorie des formes bilinéaires. Ce heurt est suivi d’un échange épistolaire
dont le but est de ramener la querelle à une explication privée. Bien que
ce but ne soit pas atteint, cet épisode permet à Jordan de comprendre
les effets de réseau entre Weierstrass et Kronecker, tous deux berlinois,
et de se familiariser avec les pratiques locales de ce réseau, relatives à
l’étude des faisceaux (« Schaaren ») de formes bilinéaires. De fait, Brechenmacher réussit à montrer subtilement que les deux protagonistes
partagent une pratique, issue de la résolution du problème des petites
oscillations des systèmes mécaniques (Lagrange 1766), mais insérée par
chacun d’eux dans des cadres théoriques différents et investie de valeurs
épistémologiques différentes. Alors que Jordan revendique la simplicité,
Kronecker la ridiculise en insistant pour sa part sur l’effectivité. C’est une
perspective historique, bien qu’elle se ferme différemment pour chacun
des deux auteurs, qui leur permet de reconnaı̂tre la nature algébrique de
leurs méthodes qui seront englobées dans les années 1930 dans l’algèbre
linéaire.
Le deuxième article publié dans ce fascicule témoigne lui aussi et à
sa manière de l’impact de positions épistémologiques différentes moins
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sur l’acceptation et la reconnaissance de pratiques mathématiques, que
sur leur transmission. Cinzia Cerroni y étudie la réception des célèbres
Grundlagen der Geometrie(1899) de David Hilbert et l’influence des travaux
de Max Dehn, étudiant de ce dernier à Goettingen, sur les géomètres
italiens. Hilbert, dans ses Grundlagen et dans son cours de 1902, s’intéresse
aux relations de dépendance entre axiomes de la géométrie et est à l’origine d’une démarche partagée par Dehn : Pour démontrer qu’un axiome
est indépendant des autres, on exhibe une géométrie satisfaisant tous les
axiomes excepté celui dont on veut montrer l’indépendance. Cette démarche débouche sur la construction de géométries non archimédiennes,
dans lesquelles l’axiome d’Archimède n’est pas valide, et dans lesquelles il
existe une infinité de parallèles à une droite donnée passant par un point
situé hors de cette droite. Ces géométries sont dites non legendriennes
(si la somme des angles internes d’un triangle dépasse deux droits), semieuclidiennes (si cette somme est égale à deux droits) et hyperboliques (si
elle est inférieure à deux droits). Dehn est à l’origine d’un programme de
recherche fondé sur la démarche ci-dessus et a créé une école, alors que
Giuseppe Veronese, qui a pourtant été le premier à tenter la construction
d’un modèle de géométrie non archimédienne, n’a pas été suivi, même
pas en Italie. Cerroni montre que pour Federigo Enriques et son élève Roberto Bonola, le problème des fondements appartient aux mathématiques
élémentaires, alors que pour Hilbert et Dehn ce problème fait partie de
la recherche fondamentale hautement valorisée. C’est cette appréciation
qui a permis à Dehn de formuler un programme de recherche, alors que
les Italiens ont été absents du débat international.
Dans la rubrique « Notes & débats », Sabine Rommevaux propose une
note qui est exemplaire des difficultés rencontrées par les éditeurs de
textes mathématiques médiévaux. Si Brechenmacher a montré, dans le
premier article, comment les formulations qui nous sont contemporaines
effacent les identités multiples d’énoncés mathématiques, la situation est
d’autant plus complexe que les énoncés sont anciens et que leur contexte
culturel est difficile à reconstruire. L’éditeur du xxi e siècle ne voit plus
ce qui a été inexorablement gommé par le temps. L’exemple choisi par
Rommevaux concerne l’édition critique, publiée en 2005 par Hubert Busard, de la version de Campanus des Éléments d’Euclide. Campanus réécrit
au xiii e siècle et commente une des versions des Éléments dues à Robert
de Chester (xii e siècle). Rommevaux montre que le changement d’un
seul mot — simul en similes — dans la définition de la proportionnalité du
Livre V en modifie considérablement le sens et la portée mathématique.
Le choix textuel qu’elle propose, conforme d’ailleurs aux manuscrits les
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plus anciens, lui permet également de changer la compréhension que l’on
peut avoir du commentaire de Campanus. Selon Rommevaux, celui-ci fait
apparaı̂tre dans sa formulation de la définition de la proportionnalité
continue la circularité déjà implicite dans les traductions du xii e siècle.
Bien qu’il constate cette circularité, Campanus ne rejette pas la définition,
comme si la cohérence mathématique lui importait peu — ce qui lui a
valu ultérieurement de nombreuses critiques. Rommevaux justifie son
choix notamment par une cohérence textuelle et doctrinale, alors que les
raisons du choix de Busard, qu’elle tente d’expliciter, seraient plutôt liées
à la recherche de fidélité au texte grec.
La publication de cette note est aussi l’occasion pour la Revue d’histoire
des mathématiques de rendre hommage au travail immense d’édition et de
clarification que Hubert Busard a effectué sur les versions médiévales du
texte euclidien. Décédé le 2 décembre 2007, il ne pourra malheureusement plus répondre à la critique formulée ici par S. Rommevaux et donner
les raisons de son choix éditorial.
La Rédaction en chef
EDITORIAL
This issue of the Revue d’histoire des mathématiques/Journal for the History
of Mathematics opens with an analysis of a mathematical dispute. This methodological approach, one associated with precise case studies, has been
used in the history of science for some thirty years. There, it has often been
viewed as a strong means for reinterpretation and for overcoming the old
opposition between internalist and externalist studies. In the history of mathematics, where there are a number of famous and well-known controversies, this methodology has, however, not often been used to link the study
of mathematical content with other facets involved in the making of mathematical knowledge, be they social, philosophical or political. In the first
paper published in this issue, Frédéric Brechenmacher offers such an analysis. The case he studies concerns a rather poorly known controversy that
ensued following the encounter, to use Brechenmacher’s imagery, in 1874
of two theorems that would today be considered equivalent: Jordan’s theorem (1870) on the decomposition of matrices and Weierstrass’s theorem
(1868) on elementary divisors. Brechenmacher carefully follows the two
principal interlocutors in the quarrel, Camille Jordan and Leopold Kronecker, as well as the statements, both public and private, that they were led
to make. The first blow was struck in public and, according to Brechenmacher, it highlighted two opposing ways of organizing the theory of bilinear
forms. This clash was followed by an epistolary exchange in which Jordan
aimed to lead the quarrel back into a private sphere. Although this aim
was not realized, the episode allowed Jordan not only to understand the
effects of the Berlin network in which Weierstrass and Kronecker participated but also to become more familiar with that network’s local practices,
practices concerned with bundles (“Schaaren”) of bilinear forms. In fact,
Brechenmacher succeeds in showing with great subtlety that the two protagonists actually shared a common practice devised in order to solve the
problem of small oscillations in a mechanical system (Lagrange 1766), but
that they inserted into different theoretical frameworks and invested with
different epistemological values. While Jordan laid claim to simplicity, Kronecker ridiculed it, stressing efficiency instead. It was an historical perspective, even if it had different manifestations for each of the two authors, that
allowed them to recognize the algebraic nature of their methods, methods
that would, in the 1930s, be encompassed in linear algebra.
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The second paper, in its own way, also bears witness to the impact that
different epistemological positions may have, although less on the acceptance and recognition of mathematical practices than on their transmission. Cinzia Cerroni considers the reception of David Hilbert’s famous
Grundlagen der Geometrie (1899) and the influence of his Göttingen student
Max Dehn on Italian geometers. In his Grundlagen and in his 1902 lecture,
Hilbert treated the relations between the axioms of geometry and worked
out a procedure, also used by Dehn, to prove the independence of one
axiom from the others, namely, exhibit a geometry that satisfies all of the
axioms, except the one the independence of which is to be demonstrated.
This procedure leads to the construction of non-Archimedean geometries,
in which not only the axiom of Archimedes fails to hold but also there are
infinitely many lines parallel to a given straight line and passing through
a point not on the line. These geometries are called non-Legendrian (if
the sum of the inner angles of a triangle is greater than two right angles),
semi-Euclidean (if the said sum is equal to two right angles) and hyperbolic
(if it is smaller than two right angles). Dehn was at the inception of a research program based on the above procedure and created a school, while
Giuseppe Veronese, who had been the very first to try to construct a nonArchimedean geometry, was unable to gather Italian geometers around
him. Cerroni shows that for Federigo Enriques and his student Roberto
Bonola the problem of the foundations of geometry belonged to elementary mathematics, while for Hilbert and Dehn it was part of a highly valued,
fundamental research program. It was these respective stances that, on the
one hand, allowed Dehn to formulate such a program and, on the other,
resulted in the absence of the Italians from the international debate.
In the section on “Notes & débats,” Sabine Rommevaux treats the difficulties encountered by editors of medieval mathematical texts. If, in the
first paper, Brechenmacher, insists on the fact that contemporary mathematical formulations can hide the multiple identities of mathematical statements, the situation is even more complex in Rommevaux’s example.
There, the statements lie in the remote past, making it even more difficult
to reconstruct their cultural context; the editor of the 21 st century can no
longer observe what time has definitively erased. The example Rommevaux details concerns the critical edition published in 2005 by Hubert Busard of Campanus’s version of Euclid’s Elements. In the 13 th century, Campanus revised and provided commentary on one of the versions of the Elements given by Robert of Chester in the 12 th century. Rommevaux shows
that changing one word — simul to similes — in the definition of proportionality in Book V changes considerably the sense and the importance of the
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definition. Her textual choice conforms to what may be found in the most
ancient manuscripts and allows her most notably to change our understanding of Campanus’s commentary. According to Rommevaux, Campanus
makes visible in his formulation of the definition of continuous proportionality a circularity that was already implicit in the 12 th -century translations.
Although he recognized this circularity, Campanus did not reject the definition. It was as if mathematical coherence was of little importance to him,
an impression that later earned him much criticism. Rommevaux justifies
her editorial choice through textual and doctrinal coherence, while the
reasons for Busard’s choice, on which she speculates, seem to be linked to
his search for a proximity to the Greek version of the Elements.
The publication of this note also provides an occasion for the Revue
d’histoire des mathématiques /Journal for the History of Mathematics to honor the
huge editorial and explanatory work done by Hubert Busard on medieval
versions of the Euclidean text. Deceased on 2 December 2007, he can
unfortunately neither respond to the critique formulated by Rommevaux
nor justify his editorial choice.
The Editors-in-Chief