1 Méthodes des matrices constituantes

Calcul de l’exponentielle
Compléments aux tds
On considére le calcul d’une exponentielle de matrice A ∈ Rn×n , noté eA . Soit λi la iieme
valeur propre de A de multiplicité ni .
1
Méthodes des matrices constituantes
On considère une fonction
½
f:
R → C
,
x 7→ f (x)
telle que f (A) est bien défini.
On montre qu’ils existent des matrices Zij ∈ Rn×n telles que
f (A) =
r
P
Ã
f (λi )Zi,1 +
i=1
nP
i −1
j=1
!
dj f
dλj
(λi )Zi,j+1
Les matrices Zij sont appelées composantes ou matrices constituantes de A et sont indépendantes
de la fonction f choisie. Pour calculer f (A), il suffit donc de calculer les matrices Zij et ensuite
appliquer la formule.
Exemple 1 Soit
·
A=
1 −2
2 −3
¸
,
calculons eAt .
La première étape est de de calculer ses valeurs propres solutions de det(λI −A) = (λ+1)2 .
Nous obtenons alors une valeur propre λ1 = −1 de multiplicité 2. L’utilisation de la formule
nous donne :
df
f (A) = f (λ1 )Z11 +
(λi )Z12
dλ
Choisissons f (x) = 1, nos obtenons alors f (A) = I et
·
¸
1 0
Z11 = I =
0 1
df
Choisissons f (x) = x − λ1 , nous avons f (λ1 ) = 0, dλ
(λ1 ) = 1 et donc
·
¸
2 −2
A − λ1 I = Z12 =
2 −2
1
Choisissons maintenant f (x) = ext , sa dérivée vaut
df
dx
f (A) = f (λ1 )Z11
·
= e
·
=
+ te−t Z1 2
1 0
0 1
¸
·
+ te
e−t (1 + 2t)
−2te−t
2te−t
e−t (1 − 2t)
Exemple 2 Soit
df
(λi )Z12
dλ
+
eAt = e−t Z1 1
−t
= text on obtient:
−t
2 −2
2 −2
¸
¸


−2 −1
1
1 ,
A =  0 −3
−1
1 −3
calculons eAt . Le polynôme caractéristique s’écrit
¯
¯
¯ λ+2
¯
¯
1
−1
¯
¯
¯ λ + 3 −1
λ + 3 −1 ¯¯ = (λ+2) ¯¯
det(A−λI) = ¯¯ 0
−1 λ + 3
¯ 1
−1
λ ¯
¯ ¯
¯
¯ ¯ 1
¯
−1
2
¯+¯
¯
¯ ¯ λ + 3 −1 ¯ = (λ+2)(λ+3)
Nous obtenons ainsi une valeur propre λ1 = −2 de multiplicité 1 et une valeur propre
λ2 = −3 de multiplicité 2.
f (A) = f (λ1 )Z11 + f (λ2 )Z21 +
df
(λ2 )Z22
dλ
Choisissons comme fonction f (x) = 1, on obtient :
Z11 + Z21 = I
Choisissons comme fonction f (x) = x − λ2 , on obtient :
A − λ2 I = (λ1 − λ2 )Z11 + Z22
Choisissons comme fonction f (x) = (x − λ2 )2 , on obtient :
(A − λ2 )2 = (λ1 − λ2 )2 Z11
On obtient finalement


0 0 0
(A − λ2 )
=  −1 1 0 
=
(λ1 − λ2 )2
−1 1 0
2
Z11
2

Z21

1
0 0
0 0 
= I − Z11 =  1
1 −1 1


1 −1 1
Z22 =  1 −1 1 
0
0 0
Finalement, on obtient
eAt = e−2t Z11 + e−3t Z21 + te−3t Z22
c’est à dire

eAt
2

e−3t (1 + t)
−te−3t
te−3t
=  −e−2t + e−3t (1 + t) e−2t − te−3t te−3t 
−e−2t + e−3t
e−2t − e−3t e−3t
Calcul direct de eAt
La matrice de transition pour un système de la forme :
½
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
est la matrice φ(t) = eAt . Dans le domaine de Laplace, celle-ci s’écrit Φ(p) = (pI − A)−1 .
La procédure pour le calcul de la matrice de transition peut donc être résumer de la manière
suivante :
• Calculer pI − A.
• Calculer (pI − A)−1 =
1
Co(A)T
det(pI−A)
• Calcul de la transformée de Laplace inverse de (pI − A)−1 .
·
¸
1 −2
,
Exemple 3 Soit la matrice A =
2 −3
Calculons (pI − A)−1 .
¯
¯ p−1
2
det (pI − A) = ¯¯
−2 p + 3
et donc
−1
(pI − A)
¯
¯
¯ = (p − 1)(p + 3) + 4 = p2 + 2p + 1 = (p + 1)2
¯
1
=
(p + 1)2
Finalement :
"
Φ(p) =
p+3
(p+1)2
2
(p+1)2
3
·
p + 3 −2
2
p−1
2
− (p+1)
2
p−1
(p+1)2
#
¸
Calculons la transformée inverse
Un simple décomposition en éléments simples nous permet d’écrire :
"
#
2
1
2
+
−
2
2
(p+1)
Φ(p) = (p+1) 2 (p+1)
1
2
− (p+1)
2
2
(p+1)
(p+1)
La transformée de Laplace inverse de Φ(p) nous donne alors :
· −t
¸
e + 2te−t
−2te−t
At
e = φ(t) =
,
2te−t
e−t − 2te−t
résultat identique au résultat obtenu par la méthode des matrices constituantes.
3
Utilisation de la formule matricielle de Sylvester
La formule de Sylvester, issue du théorème de Cayley-Hamilton stipule que l’exponentielle
de matrice peut s’exprimer comme une combinaison liinéaire des puissances de A. Plus
spécifiquement, nous avons la formule suivante :
P
eAt = nj=0 αj (t)Aj
Notons f la fonction scalaire f (x) = ext −
Pn
j=0
αj (t)xj , on vérifie que
f (A) = 0
D’autre part, si λi est une valeur propre de A de multiplicité ni alors nous avons aussi :
³
´
dk
f (λ)
dλk
³
λ=λi
=
dk λt
e
dλk
−
Pn
j=0
αj (t)λ
j
´
λ=λi
, ∀k ∈ {0, 1, . . . , ni − 1}
Cette dernière série d’équations nous permet alors de déterminer facilement les fonctions
αi (t).
·
¸
1 −2
Exemple 4 Soit la matrice suivante A =
. L’unique valeur propre est de multi2 −3
plicité 2 et vaut λ1 = −1.
En utilisant la formule précédente, on obtient :
f (−1) = e−t − α0 (t) + α1 (t) = 0
et
¡
¢
d
f (λ) λ=−1
dλ
= te−t − α1 (t) = 0 On en déduit donc
α0 (t) = (t + 1)e−t , α1 (t) = te−t
et finalement
eAt = (1 + t)e−t I + te−t A
4