Étude statique du tire–bouchon

Méthodologie – GMP1
Étude statique – Tire-bouchon
Étude statique du tire–bouchon
On s’intéresse à l’aspect statique du mécanisme représenté en projection orthogonale
sur la figure 1. Le tire–bouchon réel est proposé en photo sur la figure 2.
Figure 2 – Photo du
tire–bouchon breveté
Figure 1 – Modélisation du tire–bouchon
On admet que les liaisons en A, B, C, D, E, F, G, H et I sont des liaisons pivot d’axe
~z. La base (~x, ~y , ~z) est orthonormée directe, et le problème est supposé plan (ce qui est
une hypothèse simplificatrice, car le tire–bouchon n’est pas complètement symétrique
vis-à-vis du plan (O, ~x, ~y ) par exemple).
On suppose que le tire–bouchon est en phase d’utilisation classique ; le couvercle 9 est
alors en liaison rotule de centre supposé J avec le goulot de la bouteille, qui constituera
dans notre étude le ”bâti” fixe. La vis 7 est en liaison encastrement en K avec le bouchon
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supposé lié complétement à la bouteille. Dès lors, l’analyse du tire–bouchon isolé donne
les actions mécaniques extérieures suivantes :
– action de l’utilisateur, localisée en M, réduite à une résultante des forces F~ =
F · ~y , verticale, positive, de norme F = 600N (imposée par le cahier des charges,
la sécurité étant incluse dans cette valeur) ;
– réaction du goulot sur le couvercle, caractérisée par un torseur exprimé en J,
représentatif d’une liaison rotule de centre J, dont les composantes non nulles sont
inconnues au départ de l’étude ;
– réaction du bouchon sur la vis, caractérisée par une unique force verticale,
~ = −G · ~y , avec G > 0 et G effort inconnu.
négative, notée G
L’action de la pesanteur est négligée devant les efforts mis en jeu (poids du mécanisme
à préciser à la fin de l’étude).
On repère la position du mécanisme à l’aide du paramètre indépendant α qui varie de
20 à 70 degrés. L’objectif est de déterminer l’évolution de l’effort transmis au bouchon
en fonction de l’ouverture du tire–bouchon, pour un effort constant F de traction, afin
de vérifier l’utilité d’un tel système.
Analyse géométrique
L’équation de fermeture géométrique sur la figure OACE permet d’écrire la relation
−→ −→ −−→ −−→
suivante (On part de la relation OA + AC + CE + EO = ~0 que l’on projete sur l’axe ~x) :
cosβ =
5 + 62 · cosα
66
(1)
De même, l’équation de fermeture géométrique sur la figure EFHJ fournit la relation :
cosγ =
43 · cosβ − 21
21
(2)
Analyse statique
Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3. L’isolement du tire–bouchon
dans son ensemble indique que celui–ci est soumis à trois glisseurs, réduits à des forces.
Pour deux des glisseurs (actions en M et en K, verticales), les directions des résultantes
sont connues et parallèles, par conséquent le troisième glisseur admet un vecteur résul~ = R · ~y , avec l’équation d’équilibre en projection
tante purement vertical en J, noté R
sur l’axe ~y :
F −G+R = 0
(3)
Ensuite, l’équilibre d’une biellette indique qu’elle est soumise à deux résultantes coplanaires.
L’équilibre est possible si les efforts sont égaux, opposés et portés par le même support,
soit :
~ 87→2 = C
~ 37→2
A
(4)
2
Par ailleurs, en isolant l’ensemble levier, il vient :
~ 27→8 + B
~ 17→8 = ~0
F~ + A
(5)
ce qui indique que les normes des résultantes en A et B sont identiques (ce qui se déduit
aussi par symétrie) ; on peut alors définir l’effort normal sur la poutre constituée par
la biellette 2 selon :
F
~ 87→2 k =
N2 = kA
(6)
2 · sinα
L’effort normal est positif car la poutre est sollicitée en traction. En outre, avec le
vecteur directeur de la biellette 2 selon la direction CA :
−→
CA
(7)
~n = −→
kCAk
on obtient :
~ 87→2 = N2 · ~n
A
~ 37→2 = −N2 · ~n
C
(8)
(9)
De la même façon, l’étude de l’équilibre du couvercle 9 puis d’une chape (par exemple
5) conduit aux relations :
−→
IG
(10)
~n = −→
kIGk
~ 37→5 = N5 · m
G
~
(11)
I~97→5 = −N5 · m
~
(12)
avec l’effort normal négatif sur la ”poutre” 5, la chape étant sollicitée en compression,
défini par :
N5 = −
R
2 · sinγ
(13)
L’effort en E sur chaque levier n’est pas à définir (effort interne), il pourrait se déduire
lors de l’étude des éléments de réduction du torseur de cohésion sur chaque levier.
Une étude de l’équilibre de la vis et des deux leviers (ou mieux : d’un seul levier) conduit
finalement à la relation suivante (si, si : il faut écrire la bonne équation de moment :) à
tester) pour l’effort G sur la vis et la réaction R du goulot :
66 cosβ + cotanα · sinβ
·
·F
(14)
G= 1+
43 cosβ + cotanγ · sinβ
66 cosβ + cotanα · sinβ
·
·F
(15)
R=
43 cosβ + cotanγ · sinβ
Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3.
3
Pour ceux qui sont courageux : la relation (ou loi) entrée–sortie du mécanisme ainsi
constitué peut–être déterminée à l’aide d’une étude cinématique. En effet, si on suppose
qu’aucune perte n’existe entre l’entrée (action de l’utilisateur en M) et la sortie (action
de la vis sur le bouchon en K), alors la puissance fournie Pe en entrée doit égaler la
puissance utile en sortie Ps (vous connaissez cette relation sous la forme du travail d’une
force, ici c’est la puissance qui est considérée, soit un travail divisé par une variation de
temps), soit :
~M .F~ = VM .F
Pe = V
~K .G
~ = −VK .G
Ps = V
(16)
(17)
car la vitesse du point M (vitesse absolue) est purement verticale et ascendante donc
VM > 0, alors que celle de K est descendante donc VK < 0. Par conséquent, le rapport
des efforts est inversement proportionnel au rapport des vitesses (ou des
déplacements) des points M et K, soit :
VM
G
=−
F
VK
(18)
Autrement dit, si le point M a une amplitude de déplacement plus élevée que le point
K, alors la démultiplication de l’effort est assurée. Ainsi, on peut quantifier cette démultiplication à l’aide d’une analyse en cinématique graphique : on trace le vecteur vitesse
(de longueur au choix) pour le point M (donnée d’entrée), et on en déduit celui de K (en
quelques minutes) ... Ou encore : on réalise un assemblage sous Solidworks des pièces,
même dessinées très rapidement (ce qui compte étant uniquement les cotes AC, CE, EG
et GI) et on regarde le rapport des déplacements entre les points M et E (plus simple)...
Bravo à ceux qui ont lu et travaillé le document jusqu’au bout.
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N2 · ~
n
biellette 2
A
α
C
−N2 · ~
n
N2 · ~
n
C
β
−N5 · m
~
E
levier 3
G
β+γ
G
N5 · m
~
I
chape 5
−N5 · m
~
Figure 3 – Analyse des efforts sur les pièces principales du tire–bouchon (hypothèses
N2 > 0 et N5 < 0)
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