ÉTUDE STATIQUE D`UN TIRE–BOUCHON

ÉTUDE STATIQUE D’UN TIRE–BOUCHON
Année Universitaire 2009-2010
OBJECTIF
Le fichier TIRE BOUCHON.pdf donne la démarche de résolution du problème. La figure est
donné sur ce document. On donne ci-après quelques éléments de correction concernant les
calculs des efforts sur le tire–bouchon.
A ÉTUDE STATIQUE DU TIRE–BOUCHON
On s’intéresse à l’aspect statique du mécanisme représenté en projection orthogonale sur la
figure 1. Le tire–bouchon réel est proposé en photo sur la figure 2.
F IG . 2: Photo du tire–
bouchon breveté
F IG . 1. Modélisation du tire–bouchon
On admet que les liaisons en A, B, C, D, E, F, G, H et I sont des liaisons pivot d’axe ~z. La base
GMP1 - Statique du solide - Semestre 1 - 2009/2010
(~x, ~y , ~z) est orthonormée directe, et le problème est supposé plan (ce qui est une hypothèse simplificatrice, car le tire–bouchon n’est pas complètement symétrique vis-à-vis du plan (O, ~x, ~y )
par exemple).
On suppose que le tire–bouchon est en phase d’utilisation classique ; le couvercle 9 est alors
en liaison rotule de centre supposé J avec le goulot de la bouteille, qui constituera dans notre
étude le "bâti" fixe. La vis 7 est en liaison encastrement en K avec le bouchon supposé lié complétement à la bouteille. Dès lors, l’analyse du tire–bouchon isolé donne les actions mécaniques
extérieures suivantes :
– action de l’utilisateur, localisée en M, réduite à une résultante des forces F~ = F · ~y ,
verticale, positive, de norme F = 600N (imposée par le cahier des charges, la sécurité
étant incluse dans cette valeur) ;
– réaction du goulot sur le couvercle, caractérisée par un torseur exprimé en J, représentatif
d’une liaison rotule de centre J, dont les composantes non nulles sont inconnues au départ
de l’étude ;
– réaction du bouchon sur la vis, caractérisée par une unique force verticale, négative,
~ = −G · ~y , avec G > 0 et G effort inconnu.
notée G
L’action de la pesanteur est négligée devant les efforts mis en jeu (poids du mécanisme à préciser à la fin de l’étude).
On repère la position du mécanisme à l’aide du paramètre indépendant α qui varie de 20 à 70˚.
L’objectif est de déterminer l’évolution de l’effort transmis au bouchon en fonction de l’ouverture du tire–bouchon, pour un effort constant F de traction, afin de vérifier l’utilité d’un tel
système.
A1 Analyse géométrique
L’équation de fermeture géométrique sur la figure OACE permet d’écrire la relation suivante :
5 + 62 · cosα
66
De même, l’équation de fermeture géométrique sur la figure EFHJ fournit la relation :
cosβ =
cosγ =
43 · cosβ − 21
21
(1)
(2)
A2 Analyse statique
Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3. L’isolement du tire–bouchon dans
son ensemble indique que celui–ci est soumis à trois glisseurs. Pour deux des glisseurs (actions
en M et en K, verticales), les directions des résultantes sont connues et parallèles, par conséquent
~ = R · ~y , avec
le troisième glisseur admet un vecteur résultante purement vertical en J, noté R
l’équation d’équilibre en projection sur l’axe ~y :
F −G+R= 0
(3)
Ensuite, l’équilibre d’une biellette indique qu’elle est soumise à deux résultantes coplanaires.
L’équilibre est possible si les efforts sont égaux, opposés et portés par le même support, soit :
~ 87→2 = C
~ 37→2
A
(4)
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Par ailleurs, en isolant l’ensemble levier, il vient :
~ 27→8 + B
~ 17→8 = ~0
F~ + A
(5)
ce qui indique que les normes des résultantes en A et B sont identiques (ce qui se déduit aussi
par symétrie) ; on peut alors définir l’effort normal sur la poutre constituée par la biellette 2
selon :
~ 87→2 k =
N2 = kA
F
2 · sinα
(6)
L’effort normal est positif car la poutre est sollicitée en traction. En outre, avec le vecteur directeur de la biellette 2 selon la direction CA :
−→
CA
~n = −→
kCAk
(7)
on obtient :
~ 87→2 = N2 · ~n
A
~ 37→2 = −N2 · ~n
C
(8)
(9)
De la même façon, l’étude de l’équilibre du couvercle 9 puis d’une chape (par exemple 5)
conduit aux relations :
−→
IG
(10)
~n = −→
kIGk
~ 37→5 = N5 · m
G
~
(11)
I~97→5 = −N5 · m
~
(12)
avec l’effort normal négatif sur la "poutre" 5, la chape étant sollicitée en compression, défini
par :
N5 = −
R
2 · sinγ
(13)
L’effort en E sur chaque levier n’est pas à définir (effort interne), il pourrait se déduire lors
de l’étude des éléments de réduction du torseur de cohésion sur chaque levier (voir dds, S1
novembre–décembre).
Une étude de l’équilibre de la vis et des deux leviers (ou mieux : d’un seul levier) conduit
finalement à la relation suivante (si, si : il faut écrire la bonne équation de moment :)) pour
l’effort G sur la vis et la réaction R du goulot :
66 cosβ + cotanα · sinβ
G = 1+
·F
(14)
·
43 cosβ + cotanγ · sinβ
66 cosβ + cotanα · sinβ
·
·F
(15)
R=
43 cosβ + cotanγ · sinβ
Les résultats principaux sont schématisés sur la figure 3.
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Pour ceux qui sont courageux : la relation (ou loi) entrée–sortie du mécanisme ainsi constitué
peut–être déterminée à l’aide d’une étude cinématique. En effet, si on suppose qu’aucune perte
n’existe entre l’entrée (action de l’utilisateur en M) et la sortie (action de la vis sur le bouchon
en K), alors la puissance fournie Pe en entrée doit égaler la puissance utile en sortie Ps , soit :
~M .F~ = VM .F
Pe = V
~K .G
~ = −VK .G
Ps = V
(16)
(17)
car la vitesse du point M (vitesse absolue) est purement verticale et ascendante donc VM > 0,
alors que celle de K est descendante donc VK < 0. Par conséquent, le rapport des efforts est
inversement proportionnel au rapport des vitesses (ou des déplacements) des points M et K,
soit :
G
VM
=−
F
VK
(18)
Autrement dit, si le point M a une amplitude de déplacement plus élevée que le point K, alors la
démultiplication de l’effort est assurée. Ainsi, on peut quantifier cette démultiplication à l’aide
d’une analyse en cinématique graphique : on trace le vecteur vitesse (de longueur au choix) pour
le point M (donnée d’entrée), et on en déduit celui de K (en quelques minutes) ... Ou encore :
on réalise un assemblage sous Solidworks des pièces, même dessinées très rapidement (ce qui
compte étant uniquement les cotes AC, CE, EG et GI) et on regarde le rapport des déplacements
entre les points M et E (plus simple)...
Bonnes vacances (rien que pour ceux qui ont lu jusqu’au bout).
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N2 · ~
n
biellette 2
A
α
C
−N2 · ~
n
N2 · ~
n
C
β
E
−N5 · m
~
levier 3
G
β+γ
G
N5 · m
~
I
chape 5
−N5 · m
~
F IG . 3: Analyse des efforts sur les pièces principales du tire–bouchon (hypothèses N2 > 0 et
N5 < 0)
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