Partiel 2010 - La Mécanique à l`Université de Caen

Examen Partiel :
UNIVERSITÉ DE CAEN
UFR des Sciences
Master Mathématiques et Applications,
Date : 24/11/2010
Ingénierie Mathématiques et Mécanique (M1)
Dynamique des Fluides Réels
Examen partiel- Durée : 3 heurs
Documents et calculatrices non autorisés. Éteindre tout appareil de phone mobile.
Chaque candidat doit, en début d’épreuve, porter son nom dans le coin de la copie qu’il
cachera par collage après avoir été pointé. Il devra en outre, porter son numéro de
place sur chacune de ses copies, intercalaires ou pièces annexées.
Exercice 1
On considère un jet d’eau (de diamètre Dj ) dévié par un déflecteur fixé sur un réservoir,
lui-même monté sur un chariot dont les roux sont sans frottement, comme illustré sur la
figure si-contre.
(1) Calculer
la
force
F
nécessaire
pour maintenir l’ensemble chariotréservoir en équilibre statique.
(2) On suppose maintenant que le chariot est en mouvement à vitesse constante, V . Déterminer V pour que
la puissance P, fournie au déflecteur
soit maximale. Calculer alors l’effort
exercé par le jet sur le l’ensemble
chariot-réservoir.
Exercice 2
On considère l’écoulement d’un fluide visqueux pesant dans l’espacement entre deux
plaques infinies parallèles, provoqué, à la fois, par le mouvement de la plaque supérieure ainsi
qu’un gradient constant de pression comme illustré sur la figure; on se donne la contrainte
de cisaillement τp appliquée par la plaque supérieure au fluide.
(1) Quelles sont les hypothèses que l’on peut appliquer à ce problème? Justifier clairement toute hypothèse que vous utiliserez.
(2) Donner les équations de mouvement et les conditions aux limites appropriées à cet
écoulement.
(3) Déterminer la solution et en donner la relation entre τp et la vitesse de la plaque
supérieure.
(4) Déterminer le débit volumique Q
1
2
(5) Quelle est la valeur de τp qui provoque un débit nul? Tracer schématiquement le
profile de vitesse correspondant et discuter votre résultat.
y
τp
−
→
g
α
H
x
On utilisera les définitions de tenseur de contraintes suivantes :
∂u
∂u ∂v
σxx = −p + 2µ
σxy = µ
+
∂x
∂y
∂x
∂w ∂u
∂v
σzx = µ
+
σyy = −p + 2µ
∂y
∂x
∂z
∂w
∂v ∂w
σzz = −p + 2µ
σyz = µ
+
∂z
∂z
∂y
Exercice 3
On considère une tour de filtration cylindrique verticale, d’hauteur ℓ et de section S
remplie de sable fin dont la perméabilité est notée par k. La solution à filtrer imprègne
complètement le sable; sa viscosité dynamique est noté par µ et sa masse volumique par ρ.
On note la pression au sommet par pℓ et à la base par p0 .
La loi de Darcy pour l’écoulement dans un milieux poreux est donnée par l’une des trois
expressions suivantes :
−
→
µ
a) V = − ∇p∗
k
−
→
k
b) V = − ∇p∗
µ
−
→
k
c) V = + ∇p∗
µ
Quelle expression parmi ces trois est la vraie à votre avis?
Dans cette expression est-ce-que p∗ = p, la pression du fluide, ou p∗ = p + gz? z est
compté verticalement ascendant.
3
(1) Le cas pℓ > p0 : Quel est le débit de la tour si la solution est injecté au sommet
sous la pression pℓ et recueillie à la base à la pression atmosphérique p0 = patm ?
(2) Le cas p0 > pℓ : Si l’injection s’effectue à la base de la tour, le sommet étant à la
pression atmosphérique pℓ = patm , quel serait la pression nécessaire à la base pour
obtenir le même débit?
(3) On envisage d’injecter la solution par une conduite coaxiale perforée, de diamètre
d, ouverte à la base, fermée au sommet et de même hauteur que la tour. Le fluide
est recueillie le long des parois latérales de la tour, parois convenablement perforées
et soumises à la pression atmosphérique, patm .
En supposant que l’écoulement purement radial dans chaque section droite de
la tour, calculer le débit dans le cas où l’injection s’effectue par la pression à la
base inférieure de la conduite, notée par pi .
Exercice 4
L’analyse des équations de l’écoulement à faible nombre de Reynolds autour d’un objet,
supposé très petit, en mouvement dans un fluide visqueux montre que les termes d’inertie
sont trop petits devant les termes de viscosité et de pression; la densité disparait alors de
l’équation de mouvement. On appelle un tel écoulement écoulement rampant:
→
∇·−
v = 0,
−
→
µ∆ v = ∇p.
Il parait alors (d’après ces équations de mouvement) que les seuls paramètres importants
restant dans le problème sont la vitesse U et l’échelle de longueur de l’objet, ainsi que la
viscosité dynamique µ du fluide.
(1) En utilisant l’analyse dimensionnelle, déterminer l’expression donnant la force de
traı̂née à laquelle une sphère, de diamètre D, est subie. Est-ce que le résultat
obtenu a de sens physique ? Pourquoi ?
(2) Si on considère maintenant un long cylindre, de diamètre d, très petit devant sa
longueur, en mouvement dans un fluide visqueux à faible nombre de Reynolds, on
pourrait supposer que l’écoulement est rampant et bidimensionnel. Essayons donc
de chercher la force de traı̂née, F2D , par unité de longueur, en utilisant le théorème
de Buckingham, par exemple.
(a) Déterminer l’expression de F2D = f (U, µ, D). Que pensez vous de votre
résultat ? A-t-il du sens physique? Si non, expliquer pourquoi.
(b) Refaire l’analyse en prenant, cette fois-ci, la densité ρ en compte et déterminer
l’expression correspondant.
4
Exercice 5
Question du cours : lubrification
Le problème canonique de lubrification se présente sous la forme d’un écoulement unidirectionnel d’un fluide visqueux incompressible entre deux plaque planes, l’une est immobile
et l’autre en mouvement avec la vitesse uniforme U , comme illustré sur la figure ci-dessous.
On admet que tan α = (h1 − h2 )/ℓ ≪ 1 et que l’équation de mouvement vérifie
dp
d2 u
=µ 2
dx
dy
où µ est la viscosité dynamique.
y
ℓ
p2
p1 h1
h(x)
h2
α
x
O
U
(1) Déterminer la solution u en fonction de h(x) (l’espacement locale entre les deux
plaques), U , y, µ et le gradient de pression dp/dx.
(2) Soit Q le débit volumique par unité de largeur. Montrer que
1
h3 dp
Q = Uh −
.
2
12µ dx
(3) Trouver une expression qui donne la répartition des pressions le long du coin.
(4) Déterminer la force de pression exercée par l’écoulement sur la plaque supérieur.