DM 9 pour le 07/04/2012 1. Fonction caractéristique

DM 9 pour le 07/04/2012
1. Fonction caractéristique d’une partie
Soit E un ensemble, et A une partie de E.
On note 1A la fonction caractéristique de A, définie par
1A : E
x
−→ {0,
1}
0 si x ∈
/A
7−→
1 si x ∈ A
L’ensemble des applications de E dans {0, 1} est noté {0, 1}E .
a) On prend dans cette question E = R.
Quel est l’ensemble de continuité de 1[0,1] ?
b) Dans toute la suite, E est un ensemble fini.
Exprimer le cardinal de {0, 1}E en fonction du cardinal de E.
c) Montrer que l’application Φ : P(E) −→ {0, 1}E est bijective.
A
7−→ 1A
d) À partir des questions b) et c), retrouver un résultat vu en cours.
e) Montrer que pour tous A, B ∈ P(E), 1A∩B = 1A × 1B .
f) Exprimer 1∁E A en fonction de 1A puis 1A∪B en fonction de 1A et 1B .
Les réponses ne doivent utiliser que les opérations +, − et × entre fonctions, et les
constantes.
P
g) Montrer que ∀A ∈ P(E), card(A) =
1A (x)
x∈E
h) Démontrer à l’aide des questions précédentes la formule donnant card(A ∪ B), A et
B étant des parties quelconques de E.
Correction
a) 1[0,1] vaut 1 sur [0, 1] et 0 ailleurs. Elle est donc continue partout sauf en 0 et 1.
Son ensemble de continuité est R \ {0, 1} .
b) Pour fabriquer une application de E dans {0, 1} il faut choisir pour chaque élément
de E une image égale à 0 ou 1. Il faut donc faire (card E) choix avec à chaque fois
2 possibilités.
Le nombre total de possibilités est donc 2card E , donc card {0, 1}E = 2card E .
On pouvait dire aussi que choisir une application de E dans {0, 1} revient à choisir
une (card E)-liste de {0, 1} qui est de cardinal 2, soit 2card E possibilités.
c) Injectivité : soit A, B ∈ P(E) tels que Φ(A) = Φ(B), c’est-à-dire 1A = 1B . Montrons que A = B :
Par définition de 1A , A = {x ∈ E / 1A (x) = 1}.
De même, B = {x ∈ E / 1B (x) = 1}.
Comme 1A = 1B , A = B. Donc Φ est injective.
1
Surjectivité : soit f ∈ {0, 1}E . Montrons qu’il existe A ∈ P(E) telle que f = 1A .
On pose A = {x ∈ E / f (x) = 1}.
A est bien une partie de E, et on a ∀x ∈ A, f (x) = 1 et ∀x ∈ E \ A, f (x) = 0 donc
f = 1A .
Φ est surjective.
d) Φ est bijective, donc son ensemble dedépart et son ensemble d’arrivée sont de même
cardinal : card P(E) = card {0, 1}E = 2card E d’après ce qui précède.
On retrouve card P(E) = 2card E .
e) Comme 1A et 1B ne prennent que les valeurs 0 et 1, leur produit ne prend que les
valeurs 0 et 1.
De plus, on a pour tout x ∈ E :
1A (x)1B (x) = 1 ⇔ 1A (x) = 1 et 1B (x) = 1 ⇔ x ∈ A et x ∈ B ⇔ x ∈
A ∩ B.
Dans le cas contraire (x ∈
/ A ∩ B) on a 1A (x)1B (x) = 0
On a bien montré que 1A × 1B = 1A∩B .
f) Complémentaire : Soit x ∈ E.
Si x ∈ A, alors x ∈
/ ∁E A donc 1∁E A (x) = 0 et 1A (x) = 1.
Si x ∈
/ A, alors x ∈ ∁E A donc 1∁E A (x) = 1 et 1A (x) = 0.
Dans tous les cas on a 1∁E A (x) = 1 − 1A (x), donc 1∁E A = 1 − 1A .
Union :
On passe au complémentaire :
1A∪B = 1 − 1∁E (A∪B) d’après ce qui précède.
Or ∁E (A ∪ B) = (∁E A) ∩ (∁E B) donc d’après la question précédente :
1∁E (A∪B) = 1∁E A 1∁E B = (1 − 1A )(1 − 1B ) = 1 − 1A − 1B + 1A 1B .
Finalement : 1A∪B = 1A + 1B − 1A 1B .
g) Comme 1A (x) ne prend que les valeurs 0 et 1,
P
1A (x) est égal au nombre de 1
x∈E
dans la somme, c’est-à-dire au nombre de x ∈ E tels que x ∈ A : c’est le cardinal de
A.
P
h) card(A ∪ B) =
1A∪B (x)
x∈E
P
1A (x) + 1B (x) − 1A 1B (x)
=
| {z }
x∈E
1A∩B
P
P
P
=
1A (x) +
1B (x) −
1A∩B (x)
x∈E
x∈E
x∈E
Donc card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
2. On dispose de trois dés (à six faces) notés A, B, C.
• Les dés A et C sont bien équilibrés : leurs faces sont équiprobables.
• Le dé A est normal : ses faces sont numérotées 1 à 6.
• Le dé B a aussi ses faces numérotées 1 à 6, mais elles ne sont pas équiprobables : les
faces paires sont équiprobables entre elles, ainsi que les faces impaires, et les faces paires
sont deux fois plus probables que les faces impaires.
2
• Le dé C a quatre faces numérotées “1” et deux faces numérotées “6”.
a) On prend le dé B et on le lance. Calculer pour tout i ∈ [[1, 6]] la probabilité de
l’événement Ei : “on obtient le chiffre i.”
b) On lance les trois dés en même temps. Quelle est la probabilité de l’événement D :
“on obtient trois chiffres identiques” ?
c) On prend un dé au hasard, et on le lance.
Calculer pour tout i ∈ [[1, 6]] la probabilité de Ei (défini comme au a).
d) On suppose qu’on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé choisi soit le C ?
e) On relance le même dé et on obtient un 1. Quelle est la probabilité que le dé choisi
soit le C ?
Correction
a) On a P(E1 ) = P(E3 ) = P(E5 ) = k et P(E2 ) = P(E4 ) = P(E6 ) = 2k, k étant une
constante à déterminer. Comme la somme de ces six probabilités doit être égale à 1,
1
on a 9k = 1, donc k = .
9
2
1
P(E1 ) = P(E3 ) = P(E5 ) = et P(E2 ) = P(E4 ) = P(E6 ) = .
9
9
b) Les seules possibilités pour avoir trois fois le même chiffre sont trois 1 ou trois 6.
D est la réunion (disjointe) de F : “On obtient trois 1” et G : “On obtient trois 6”.
2
1 1 4
Les probabilités d’obtenir 1 avec les dés A, B, C sont respectivement , , = .
6 9 6
3
1 1 2
Comme les résultats des trois dés sont indépendants, on a P(F ) = × × .
6 9 3
1 2 1
De même, P(G) = × × .
6 9 3
2
P(D) = P(F ) + P(G) =
81
c) Notons A (resp. B, C) l’événement “On a choisi le dé A (resp. B, C)”.
1
A, B, C sont de probabilité et forment un système complet d’événements.
3
On applique la formule des probabilités totales :
1 1 1 4
17
P(E1 ) = P(E1 /A)P(A) + P(E1 /B)P(B) + P(E1 /C)P(C) =
=
+ +
3 6 9 6
54
7
1 1 2
=
+
P(E2 ) =
3 6 9
54
5
1 1 1
=
+
P(E3 ) =
3 6 9
54
7
P(E4 ) = P(E2 ) =
54
5
P(E5 ) = P(E3 ) =
54
3
13
1 1 2 2
=
+ +
P(E6 ) =
3 6 9 6
54
On vérifie sans difficulté que la somme fait bien 1.
d) On veut calculer P(C/E6 ), et pour cela on utilise la formule de Bayes :
2 1
×
6
P(E6 /C)P(C)
= 6 3
P(C/E6 ) =
P(C/E6 ) =
13
P(E6 )
13
54
e) Notons H l’événement “On obtient 6 au premier lancer et 1 au deuxième”. On
P(H/C)P(C)
cherche P(C/H) =
P(H)
1 2
2
P(H/C) = × = .
3 3
9
Pour trouver P(H), utilisons la formule des probabilités totales avec comme système
complet d’événements (A, B, C) :
1 1 1 2 1 1 2
=
× + × + ×
P(H) = P(H/A)P(A)+P(H/B)P(B)+P(H/C)P(C) =
3 6 6 9 9 3 3
89
972
72
P(H/C) =
89
4