Chapitre IV : Champ magnétique tournant 1. Production d`un champ

Spéciale PSI - Cours "Conversion de puissance"
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Conversion électromécanique
Chapitre IV : Champ magnétique tournant
Objectifs :
• Réalisation de champs magnétiques tournants
• Description de l’interaction d’un moment magnétique et d’un tel champ
• Fonctionnement d’une machine synchrone : moteur synchrone et alternateur
• Notions sur les machines asynchrones
1. Production d’un champ magnétique tournant
1.1. Dé nition
Un champ magnétique tournant est un champ magnétique B , de norme constante Bo , tournant spatialement à la vitesse
angulaire o par rapport au référentiel du laboratoire. Avec un choix judicieux du repère on a :
Bo cos(
Bo sin(
0
B
o t)
o t)
Pour mettre en évidence ce champ nous utiliserons une petite aiguille aimantée montée sur un pivot. Ce champ peut être
obtenu de di%érentes façons :
1.2. Rotation d’un aimant
Une méthode utilisable est la mise en rotation à la vitesse
o
d’un aimant ou d’un électro-aimant.
1.3. Utilisation de deux bobines
On peut aussi utiliser deux bobines placées en quadrature spatiale (axes orthogonaux, par exemple u x et u y ) et les faire
parcourir par deux courants en quadrature temporelle :
i1 (t) = Im cos(
o t)
et i2 (t) = Im sin(
o t)
Si les deux bobines sont identiques, le champ ainsi crée au point O est de la forme :
B = Bo [cos(
o t)
u x + sin(
o t) u y ]
Conversion de puissance. Chapitre IV : Champ magnétique tournant
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Exercice n 01 : Production d’un champ tournant
1) Deux solénoïdes S1 et S2 identiques de longueur D = 30 cm à N = 600 spires circulaires, de rayon r = 4 cm, sont associés en
série comme indiqué sur la 1gure 1. Calculer, en fonction du courant i, le champ magnétique B créé par ces deux solénoïdes sachant
que la distance qui les sépare est 2d = 8 cm.
2) Deux paires de solénoïdes identiques S1 , S2 et S1 , S2 sont associées comme indiqué sur la 1gure 2. Le générateur a une résistance
interne négligeable et une f.e.m. sinusoïdale u(t) de valeur e3cace U = 110 V et de fréquence f = 50 Hz. Chaque solénoïde a une
inductance propre L = 50.10 3 H et une résistance R = 5 . Déterminer
2.1) la valeur des résistances R0 pour que le courant i(t) soit en retard de /4 sur la tension u(t) ;
2.2.) la valeur C de la capacité pour que les courants i (t) soient en avance de /4 sur la tension u(t).
3) Déterminer les caractéristiques du champ magnétique Bt créé par les deux paires de solénoïdes en O.
2. Les machines synchrones
2.1. Rappel : moment magnétique
Il est possible de créer un dipôle magnétique permanent de moment dipolaire M, soit :
• à l’aide d’un aimant permanent (exemple des petits alternateurs permettant l’éclairage des bicyclettes),
• en faisant passer un courant d’intensité Ie constante dans un bobinage. Dans ce second cas, le moment dipolaire
magnétique M est proportionnel à Ie (pour une spire de surface S on a M = Ie S ).
Un champ magnétique quasi-uniforme B exerce sur un dipôle magnétique,
de moment dipolaire M, un couple = M B.
Remarques :
1) Le système {dipôle magnétique permanent + un champ magnétique tournant} est une machine synchrone.
2) Lorsque l’aimant est remplacé par un circuit mobile sans source, d’inductance L, on parle de machine asynchrone.
Exercice n 02 : Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
On se propose de mesurer la norme de la composante horizontale BH du champ magnétique terrestre en un lieu. À Paris BH est
de l’ordre de 2.10 5 T. Pour cela on dispose d’une petite aiguille aimantée montée sur pivot, donc mobile autour d’un axe vertical
sans frottements. Ce petit aimant est placé au centre O d’une bobine plate comportant N spires circulaires de rayon R chacune (on
néglige la section des 1ls) contenue dans un plan vertical et alimentée par un courant continu d’intensité I réglable.
Les rotations éventuelles de l’aiguille sont mesurables sur un cercle gradué, la graduation 0 correspondant à la position : l’aiguille est
dans le plan de la bobine.
1) Méthode de la boussole des tangentes
Sachant que l’on peut choisir le plan de la bobine, proposer un protocole de mesure de la composante BH du champ magnétique
terrestre. L’expérience a été réalisée avec BH contenue dans le plan de la bobine. Lorsque l’intensité passe d’une valeur nulle à la
valeur I l’aiguille tourne d’un angle . En déduire BH . Données : N = 5 ; R = 12 cm ; I = 0, 381 A ; = 20 .
2) Méthode des oscillations
On utilise le même matériel que précédemment mais cette fois la position de référence (ou d’équilibre) de l’aiguille est perpendiculaire
à la bobine. On désigne par Bc la norme du champ magnétique créé par ce circuit. On suppose I tel que Bc < BH . Montrer que
la position d’équilibre de l’aiguille aimantée n’est pas modi1ée par l’existence d’un tel courant I dans la bobine. Montrer que la
période des petites oscillations de l’aiguille, préalablement écartée de sa position d’équilibre, dépend du sens du courant dans le
circuit. Désignant par T et par T ’ les périodes des oscillations quasi sinusoïdales observées pour les deux sens (à préciser), établir que
BH = T 2 + T 2 / T 2 T 2 Bc .
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2.2. F.e.m. induite : fonctionnement en alternateur
Lorsque le moment magnétique tourne (entraîné par un dispositif annexe par exemple), il induit dans chacun des
bobinages une force électromotrice périodique du temps.
Cette évolution temporelle n’est pas rigoureusement sinusoïdale mais on peut s’e%orcer de concevoir le bobinage pour s’en
approcher au mieux.
Dans un tel cas la décomposition en série de Fourier de la f.e.m. induite fait apparaître un fondamental d’amplitude beaucoup
plus importante que celles des harmoniques. Dans la suite, on ne s’intéressera donc qu’au fondamental de cette f.e.m. induite
dans chacun des bobinages 1 et 2 : soient e1 (t) et e2 (t) ces signaux.
Si 1 (t) est le @ux à travers le bobinage 1 du champ B M créé par le moment magnétique M on a e1 = ddt1 .
Si on suppose le champ B M uniforme sur tout le bobinage on a 1 = n1 B M . S donc 1 = n1 BM S cos( t) avec vitesse
de rotation du moment magnétique. D’où
e1 =
d 1
= n1 BM S
dt
sin( t)
pour e2 il su3t de déphaser de /2.
Si ces bobines sont fermées sur des circuits extérieurs identiques, un système de courants diphasés équilibrés s’établit dans
ces circuits. Les bobines alimentées par ces courants créent à leur tour un champ tournant B (t) dans la machine.
Ce champ engendre, sur le rotor, un couple résistant = MB sin( ) < 0 (avec = (M, B ) angle entre le moment magnétique
M(t) du rotor et le champ tournant B (t) appelé angle interne) qui tend à s’opposer à sa rotation.
Dans un alternateur le décalage entre le moment magnétique M(t) et le champ B (t) est négatif :
le moment magnétique du rotor se trouve en avance sur le champ tournant qu’il crée.
Dans un alternateur, le rotor est l’inducteur et les bobines du stator constituent l’induit :
l’inducteur est mobile et l’induit est xe.
Exercice n 03 : Modèle élémentaire d’alternateur
Modélisons un alternateur par un système de deux spires (stator) et un aimant assimilé à un dipôle magnétique M de norme
constante (rotor) tournant à vitesse angulaire 0 constante.
Quand l’angle de M avec l’axe des spires est nul, le @ux magnétique à travers une des spires est en valeur absolue 0 .
1) Quel est ce @ux quand le dipôle fait un angle = 0 t avec l’axe des spires ? (Indication : décomposer M en deux dipôles, l’un
sur l’axe, l’autre perpendiculaire à l’axe.) En déduire la f.e.m. apparaissant aux bornes du circuit.
2) On ajoute deux nouvelles spires. Déterminer les f.e.m. aux bornes des deux circuits.
2.3. Couple électromagnétique : fonctionnement en moteur synchrone
On suppose maintenant que :
• le champ tournant B est imposé et que B
• le moment magnétique M est tel que M
Bo cos(
Bo sin(
0
Mo cos( t
Mo sin( t
0
o t)
o t)
o)
o)
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Avec ces notations si o > 0 alors M(0) est en retard sur B (0).
Le champ magnétique B exerce sur le moment dipolaire M un couple
=
M
B = Mo Bo [cos( t
= Mo Bo sin((
o
)t+
o ). sin( o t)
o ). u z
sin( t
o ). cos( o t)] . u z
= Mo Bo sin( ). u z
Il y a deux cas possibles :
• si o = , ce couple a un moment de valeur moyenne nulle et il fournit un travail moyen nul.
Un aimant (moment magnétique M), lancé à une vitesse di,érente de celle o du champ tournant, ne
peut pas maintenir cette vitesse de rotation à cause de l’action des frottements.
• si o = , le décalage angulaire de l’aimant par rapport au champ tournant est constant = o :
Lorsqu’un aimant est lancé à la vitesse o du champ tournant (vitesse de synchronisme), l’action du
champ tournant sur l’aimant se traduit par un couple de moment :
= Mo Bo sin( o ). Ce couple est
< o < 0. L’aimant tourne donc en permanence
moteur lorsque 0 < o < et il est résistant lorsque
à la vitesse o : e,et de synchronisme.
Lorsque la machine fonctionne en moteur synchrone alimenté électriquement et entraînant une charge mécanique passive
imposant un couple résistant r , la vitesse de rotation étant constante (e%et de synchronisme), le théorème du moment
cinétique donne + r = 0 soit r =
= Mo Bo sin( o ) donc o > 0 c’est à dire :
Dans un moteur synchrone, en régime de fonctionnement stable, le décalage o entre le moment
magnétique M(t) et le champ B (t) est positif : le moment magnétique du rotor se trouve en retard
sur le champ tournant imposé.
2.4. Récapitulatif
• Dans un alternateur le décalage entre le moment magnétique M(t) et le champ B (t) est négatif : le
moment magnétique du rotor se trouve en avance sur le champ tournant qu’il crée.
• Dans un moteur synchrone, en régime de fonctionnement stable, le décalage
o
entre le moment mag-
nétique M(t) et le champ B (t) est positif : le moment magnétique du rotor se trouve en retard sur le
champ tournant imposé.
On peut récapituler ces résultats sur le graphe suivant:
La valeur absolue du couple est donc limitée à m = Mo .Bo ; si la charge mécanique ou le système d’entraînement
exercent un couple supérieur, en valeur absolue, à cette valeur, le fonctionnement à vitesse constante égale à la vitesse de
synchronisme n’est pas possible. On observe alors un phénomène quali1é de décrochage : dans le cas d’un fonctionnement
en moteur, la vitesse de la machine synchrone n’étant plus égale à celle du champ tournant, le couple moyen s’annule si bien
que la machine s’arrête.
Remarque : Le démarrage d’un moteur synchrone n’est donc pas possible en imposant directement le champ magnétique
tournant à vitesse constante. On doit donc lancer le moteur à l’aide d’un dispositif annexe (moteur à courant continu par
exemple) et connecter le moteur synchrone lorsque sa vitesse est voisine de celle du champ. Une autre possibilité est d’agir
sur la vitesse angulaire du champ tournant (donc sur la fréquence des signaux d’alimentation) : on fait démarrer la machine
avec un champ tournant très lentement, puis on augmente progressivement la vitesse.
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Exercice n 04 : Étude simpli1ée du moteur synchrone (EIA 1998)
1) Principe de fonctionnement : le rotor cylindrique du moteur comporte une bobine (ou enroulement rotorique) d’axe
r
perpen-
diculaire à l’axe de rotation Cz . Elle est alimentée par un courant continu I qui produit un moment magnétique Mr dirigé suivant
l’axe r de la bobine. Rappeler la dé1nition du moment magnétique d’un circuit et son unité SI.
2) Couple au démarrage : le stator cylindrique dans lequel tourne le rotor comporte plusieurs enroulements alimentés en courant
triphasé sinusoïdal, produisant ensemble un champ magnétique Bs , uniforme vis à vis de Mr , et tournant perpendiculairement à l’axe
Cz du rotor à une vitesse angulaire constante = ez . Au démarrage, le rotor est immobile ( = 0). Déterminer le moment e (t)
du couple électromagnétique reçu à un instant quelconque t par le rotor de la part du champ tournant, l’angle initial
Mr , Bs étant
supposé nul. Déterminer sa valeur moyenne sur une période. Conclusion ?
3) Condition de fonctionnement en moteur : on suppose que le rotor tourne à une vitesse angulaire constante di%érente de .
3.1) Quelle est la valeur moyenne du moment du couple électromagnétique e sur une durée su3samment longue (à préciser)?
3.2) En déduire la condition sur permettant au moteur de produire un couple e%ectivement moteur en moyenne pour entraîner
la cuve. Exprimer alors l’angle
= Mr , Bs en fonction de
et des caractéristiques du système. Justi1er le nom donné à ce moteur.
autorisant un fonctionnement stable du moteur ?
3.3) Quelle est la valeur limite de
4) Démarrage : on alimente les bobinages statoriques par un courant triphasé sinusoïdal d’intensité e3cace constante, produit par
un onduleur assisté, de fréquence réglable avec une très grande précision entre 0 et 50 Hz. Expliquez qualitativement pourquoi il est
possible de démarrer le moteur en faisant croître très lentement la fréquence de réglage selon une rampe linéaire (t) = 0 t/! de
l’instant t = 0 à l’instant t = ! , avec !
2 / 0 . A quelle vitesse tourne alors le rotor au cours du temps ?
2.5. Bilan de puissance
La conservation de la puissance lors de la conversion électromécanique ayant été établie, dans le cas général, pour un porteur de
charge, il n’est pas nécessaire de la démontrer ici. Toutefois, on peut, dans chacun des fonctionnements moteur ou générateur,
insister sur le fait que la puissance algébrique reçue par la machine sous forme électrique est opposée à la puissance mécanique
reçue, aux pertes près.
• Fonctionnement en moteur synchrone :
le mouvement du rotor induit dans les bobinages une force contre-électromotrice ; la puissance absorbée par la source
de tension correspond à la puissance mécanique convertie.
• Fonctionnement en générateur (alternateur) :
si une charge électrique est connectée à chacun des bobinages, un courant circule qui entraîne l’apparition d’un couple
résistant sur M. La puissance mécanique que doit fournir le dispositif d’entraînement pour maintenir une vitesse
constante malgré ce couple est convertie en puissance électrique fournie à la charge.
Exercice n 05 : Facteur de puissance d’un moteur synchrone monophasé
Un moteur synchrone monophasé possède un stator de résistance R négligeable et d’inductance L. Son stator est alimenté par un
courant de valeur e3cace I et de fréquence 0 , sous une tension e3cace U . La f.e.m. du moteur de valeur e3cace E est déphasée de
par rapport à la tension U . On note par # le déphasage du courant I par rapport à la tension d’alimentation U .
1) Construire le diagramme de Fresnel reliant les valeurs e3caces complexes U , I et E .
2) Donner l’expression de la puissance électrique reçue par le moteur et démontrer qu’elle peut s’écrire P = LUE0 sin . En déduire
l’expression du couple électromagnétique en supposant les pertes négligeables.
3) Montrer que si le moteur fonctionne à couple constant, il est possible, en agissant sur le courant d’excitation Ie alimentant le
rotor, de 1xer la valeur du facteur de puissance cos # à la valeur désirée.
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3. Complément : les machines asynchrones
3.1. Principe des machines asynchrones
Dans le cas des machines asynchrones, le moment magnétique permanent M est remplacé par un circuit mobile sans source.
Etudions le cas particulier d’un circuit plan sans source, de vecteur surface S , de résistance R et d’inductance L. Supposons
que ce circuit puisse tourner autour du même axe (O, ez ) que le champ tournant B(t). Notons par 0 la vitesse de rotation
du champ B(t) et par celle du circuit.
D’après la loi de Lenz, les e,ets des phénomènes d’induction s’opposent à leur cause ; la spire a donc
tendance à tourner à la même vitesse que le champ magnétique car :
• Si
<
0,
le couple électromagnétique a tendance à accélérer la spire. Le couple est moteur.
• Si
=
0,
il n’y a aucun couple exercé sur la spire : il y a synchronisme
• Si
>
0,
le couple électromagnétique a tendance à freiner la spire. Le couple est résistant.
3.2. Mise en équations
3.2.1. Expression du moment
On recherche la valeur moyenne du couple électromagnétique exercé sur la spire précédente.
On suppose que = 0 sinon il n’y a aucun couple exercé sur la spire.
On pose (t) = S, B et on choisit l’origine des temps pour avoir (0) = 0 ;
On a alors (t) = (
0
) t et donc le @ux de B à travers le circuit
(t) = B.S = BS cos [ (t)] = BS cos [(
) t]
0
Il apparaît alors une f.e.m. dans le circuit
e (t)
=
d
=
dt
e (t) =
d [BS cos [( 0
dt
) sin [(
0( 0
) t]]
0
) t]
avec
0
= BS
On peut alors associer à e la grandeur complexe :
e = E exp (j ( 0
) t)
E
j( 0
d’où un courant
:
I=
=
Z
R + jL (
en notation réelle
i (t) = im cos [(
:
0
avec E =
) 0
)
0
) t + #] avec
j(
0
)
0
im = |I| =
sin # = sgn (
|
0
0)
|
0
)2
R
R2 +L2 ( 0
R2 +L2 (
0
)2
Le rotor a donc un moment magnétique M = i (t) S (t) et est soumis à un couple dont le moment par rapport à l’axe de
rotation est
z
(t)
=
M (t) B sin [( 0
) t] = im SB cos ( + #) sin ( )
im 0
[sin (2 + #) sin (#)]
z (t) =
2
im 0
sin (#)
( ) = z (t) t =
2
1 R( 0
) 20
( )=
2
2 R2 + L2 ( 0
)
Conversion de puissance. Chapitre IV : Champ magnétique tournant
On peut alors tracer l’allure de
( )/
réf
en fonction de /
0
:
0
7
= 1 mWb ; L = 0, 1 H ; R = 1
;
0
= 100 rad. s
trace du moment du couple en fonction de la vitesse de rotation
2e–06
gamma
1e–06
–800
–600
–400
0
–200
200
400
600
800
w
–1e–06
–2e–06
ZOOM trace du moment du couple en fonction de la vitesse de rotation
2.5e–06
2e–06
1.5e–06
gamma
1e–06
5e–07
0
50
100
150
200
250
300
w
• caractère moteur :
— pour
< 0 le rotor tourne en sens inverse du champ,
— pour 0 <
<
— pour
0
>
0
on a
on a
• le couple maximum est
> 0 : le moteur fonctionne en frein.
> 0, le couple est donc moteur ( > 0).
< 0, le couple est donc résistant ( > 0).
max
• le couple de démarrage est
=
2
0 / (4L)
( = 0) =
et le couple minimum est
min
=
2
0 / (4L)
2
1 R 0 0
2 R2 +L2 20
• Etude de la stabilité :
— Le régime est stable si lorsque
augmente (resp. diminue), le couple moteur diminue (resp. augmente).
— Le domaine stable correspond donc à
d m
d
( ) < 0 c’est à dire
[
max
, ].
1
.
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3.2.2. Glissement d’un moteur asynchrone
Exercice n 06 : Glissement d’un moteur asynchrone
On reprend les notations et les résultats du paragraphe précédent.
Considérons un moteur asynchrone soumis à un couple extérieur résistant de moment
r.
1) Montrer que si r est inférieur à la valeur limite max , il existe deux points de fonctionnement, l’un instable et l’autre stable,
et que dans le cas contraire, le moteur s’arrête.
2) Exprimer la puissance électrique fournie au moteur en fonction de r et 0 . En déduire l’expression du rendement en fonction
)/ .
du glissement dé1ni par g = ( 0
3) Si la vitesse de rotation du moteur est proche de 0 , l’expression du couple moteur peut être linéarisée. Donner son expression
linéarisée en fonction de g, max et de = R/ (L 0 ).
3.3. Récapitulatif
D’après le paragraphe 3.2.1. et 3.2.2., le couple de démarrage est non nul. Un moteur asynchrone peut démarrer en
charge.
En charge, la vitesse d’un moteur asynchrone est inférieure à celle 0 du champ tournant et cette vitesse est d’autant plus
faible que la charge est plus importante. Lorsque cette dernière introduit un couple résistant supérieur à max = 20 / (4L)
(couple de décrochage), le moteur décroche et s’arrête.
) / qui est l’écart relatif entre
Le fonctionnement d’un moteur asynchrone est caractérisé par son glissement g = ( 0
la vitesse de rotation 0 du champ tournant et la vitesse de rotation du rotor. Pour 0 < g < 1, la machine fonctionne
e%ectivement en moteur, pour g = 1 elle est à l’arrêt, et pour g > 1 le moteur fonctionne en frein . Au point de fonctionnement
nominal, ce glissement est faible (< 5% en général).
3.4.Structure d’une machine asynchrone
Les machines asynchrones peuvent être :
• polyphasées : les enroulements statoriques sont alimentés par un système de courants polyphasés équilibrés créant un
champ tournant ;
• monophasées : les enroulements sont alimentés par un courant sinusoïdal créant un champ sinusoïdal de direction
1xe.
Le stator d’une machine asynchrone est analogue à celui d’une machine synchrone. Par opposition avec les moteurs à
courant continu et synchrones, le rotor ne nécessite pas d’alimentation. Les courants qui le traversent sont uniquement dus
aux phénomènes d’induction.
Il en existe de deux types :
• Rotor en cage d’écureuil :
Des barres métalliques parallèles sont reliées à deux anneaux conducteurs. Les moteurs à cage sont caractérisés par leur
simplicité de construction, leur facilité d’entretien, leur robustesse et leur faible coût de revient. Ce sont les moteurs
électriques les plus utilisés, mais ils sont de faible puissance (jusqu’à 10 kW).
• Rotor bobiné :
Les conducteurs, logés dans des encoches du rotor, forment un circuit dont les extrémités sont soudées à des bagues
solidaires de l’arbre de rotation. Par l’intermédiaire de balais frottant sur ces bagues, il est possible d’accéder au rotor et
de modi1er, à l’aide d’un rhéostat, la résistance du circuit rotorique (pour obtenir un couple de démarrage maximale).
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4. Exemple d’utilisation : le TGV
Les moteurs alternatifs synchrones et asynchrones ont une vitesse déterminée par la fréquence du courant qui les alimente.
Pour un moteur synchrone, cette vitesse est indépendante du couple résistant et pour un moteur asynchrone elle n’en dépend
que très peu, car le glissement d’un tel moteur est toujours très faible.
Cette caractéristique est une qualité appréciée lorsqu’il s’agit de conserver à la charge mécanique une vitesse constante
malgré les @uctuations du couple résistant. Cependant, cette particularité rend ces moteurs di3cilement utilisables lorsque
la charge mécanique doit être entraînée à des vitesses variables, ce qui est le problème posé, par exemple, par la traction
électrique.
• Une première solution consiste à utiliser des moteurs à courant continu à excitation indépendante ou des moteurs à
collecteur qui en dérivent et tout particulièrement le moteur série. Cette dernière solution est celle retenue pour le
T.G.V. Sud-Est (T.G.V. de première génération).
Lorsque la source de tension est continue (à proximité de Paris et de Lyon), l’alimentation du moteur s’e%ectue alors
par l’intermédiaire de hacheurs.
Sur le reste de la ligne, la source de tension est alternative et le moteur série est alimenté par un ensemble de redresseurs
commandés.
• Une deuxième solution consiste à utiliser des moteurs alternatifs à condition de maîtriser la fréquence du courant
d’alimentation, ce qui est aujourd’hui possible avec les progrès réalisés en électronique de puissance.
Des onduleurs de forte puissance ont ainsi permis d’équiper le T.G.V. TransManche ” Eurostar ” (T.G.V. de troisième
génération) de moteurs asynchrones.
• Pour le T.G.V. Atlantique (T.G.V. de deuxième génération), la solution retenue est celle des moteurs synchrones autopilotés.
Les moteurs synchrones sont alimentés par des convertisseurs statiques délivrant un courant alternatif dont la fréquence
est asservie à la vitesse de rotation du moteur. Un capteur de position angulaire, calé sur le rotor, renseigne un système
de commande sur la position du rotor par rapport au stator et lui permet de générer les ordres d’amorçage des
interrupteurs statiques des convertisseurs. Ainsi, au fur et à mesure de l’avancement du rotor, que la vitesse de ce
dernier soit constante ou variable, le synchronisme nécessaire entre le champ tournant statorique et celui créé par le
rotor est conservé.