Nonpersistence of Breathers for the Perturbed - ETH E

Diss. ETH No. 9954
Nonpersistence
of Breathers for the
Perturbed Sine Gordon
Equation
A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
ZURICH
for the
degree
of
Doctor of Mathematics
presented by
JOCHEN DENZLER
born 03
Dipl. Math. ETH
Mosbach/Baden
April 1963 in D
citizen of Germany
accepted
-
on
Prof. Dr.
the recommendation of
Jiirgen Moser, examiner
III, co-examiner
Prof. Dr. Oscar E. Lanford
1992
Abstracts
English
Abstract
This thesis discusses the
persistence
m
w
=
sine Gordon
equation
cosh
on
perturbation by
uu
smu
0,
=
analytic function A
an
-
m2
,
0 <
< 1
m
the real line
uxx + sinu
-
Vl
u>
,
mx
utt-uxx +
under
many of the breather solutions
one or
sin uit
4 arctan
u>
to the
of
=
eA(u)
x
of
u
alone:
0(e2),
+
G IR
A(0)
=
0
.
Chapter
2 introduces the main methods used and proves the basic result:
for any
perturbation
persist,
specified type,
and this result follows
speaking,
•
of the
this is
There is
a
only
already from
true with the
•
of
u
There is another
tence is
order
•
(x,t)
a
in the
one
At most
finitely
perturbations
dimensional space of
a
solution for all
many breathers
equations in
e.
can
Strictly
is obtained
by rescal-
one.
result of the second order in
equations have
Essentially,
many breathers
perturbations for which all breathers
with these
unperturbed
finitely
modifications:
two dimensional space of trivial
and
most
the first order
following
persist. The perturbed equation
ing
at
persist
m.
e
perturbations for
of the equation,
which
This is discussed in
in any interval
^
nonpersis¬
whereas the first
chapter
]0, p]
5.
that is inside
A(4 arctan z), hence none persist
analyticity of the function z
appropriate neighbourhood of 0. However, accumulation of persistent
breathers at the boundary of the domain of analyticity cannot be ruled out by
the domain of
in
our
Chapter
>—>
an
arguments.
4
or non-persistence of single breathers under
question beyond the scope of first order perturbation
explains why persistence
general perturbations
is
a
9
10
—
—
ABSTRACTS
theory. Although
in this
yet understood
are
geometric
Chapters
1 and 6
physical
explicit formulas,
consequences of
A first
completely.
intuitive
approach
of
m
<
are
independent
replace explicit
l/v2
chapter
attempt
an
offers
(In spite of
the review cannot
this attempt,
Chapter 6 offers an elementary introduction
unperturbed sine Gordon equation.
Deutsche
to
some
an
by
is not
more
introduction to
contents of the
to
following
make available essential
information also to mathematicians that do not
background
calculations
3.
Chapter 1
light on the
arguments that shed
deeper meaning
whose
interest.
It also reviews related work in
systems.
to
arguments is described in
and heuristic
chapters.
Die
It is assumed that 0 <
m.
argument.
key results
The
(non-)persistence is proved, perturbations are
persistence conditions are satisfied. They
on
infinite dimensional space for each fixed
an
span
definite result
no
for which all first order
given explicitly,
specialize
pretend
to
in
be
methods used for
dynamical
complete.)
studying
the
Zusammenfassung
vorliegende
Dissertation diskutiert die Persistenz einer oder vieler der Breather-
Losungen
m
u
=
Sinus-Gordon-Gleichung
w«
unter
Storung
durch eine
uu
In
Kapitel
folgt
bereits
eben
Gesagte
Es
gibt
•
—
urx + sin
—
=
0
x
,
analytische Funktion A, die
u
=
eA(u)
hauptsachlich
+
ml
,
0 <
nur
den
mit
nur von
A(0)
es
Gleichungen
Ordnung
folgenden Modifikationen:
erster
=
Gleichungen
diskutiert.
von
0
.
eingefiihrt
und das
irgendeiner Storung
erhalten, und dieses Resultat
e.
Genaugenommen gilt
trivialen
das
Storungen, unter denen
Gleichung aquivalent
von u
und
(x,t).
von Storungen, unter denen die
Gleichungen zweiter Ordung in e folgt, wohingegen
Ordnung fur alle m losbar sind. Dies wird in Kapitel 5
den
erster
in
abhangt:
Fur sie ist die gestorte
einen eindimensionalen Raum
aus
u
verwendeten Methoden
einen zweidimensionalen Raum
gibt
< 1
m
G IR
0(e2),
Art hochstens endlich viele Breather
aus
Nichtpersistenz
die
u
ungestorten vermoge Reskalierung
Ferner
V 1
mx
alle Breather erhalten bleiben.
zur
=
Resultat bewiesen: Im wesentlichen bleiben unter
angegebenen
•
,
auf der reellen Achse
uxr + sin
2 werden die
grundlegende
der
-
cosh
-
,
u
-
uj
der
sin uit
4 arctan
—11
—
ABSTRACTS
•
In
jedem
tion
z
>—
^
Intervall
A(4
]0,p],
G
das innerhalb des
Analytizitatsgebiets
ten, und somit gar keine in einer geeigneten Umgebung
Argumente
^
Werte
In
Kapitel
konnen nicht
sich
4 wird
am
der Funk-
z) liegt, bleiben hochstens endlich viele Breather erhal¬
arctan
von
0.
Aber
unsere
ausschliefien, dafi Breather erhalten bleiben, deren
Rand des
Analytizitatsgebiets
haufen.
das Problem der Persistenz oder
Nichtpersistenz
allgemeinen Storungen aufierhalb der Reichweite von Argumenten erster Ordnung Sorungstheorie liegt. Obwohl keine endgiiltige Aussage iiber
(Nicht-)Persistenz bewiesen wird, werden explizit Storfunktionen angegeben, die
alien Persistenzbedingungen erster Ordnung geniigen. Sie spannen fur jedes feste m
erlautert,
warum
einzelner Breather unter
einen unendlichdimensionalen Raum auf.
Dabei mufi 0 <
l/\/2
<
m
vorausgesetzt
werden.
Die entscheidenden Resultate
noch nicht
vollstandig
folgen
aus
expliziten Formeln, deren tiefere Bedeutung
Ziel, explizite Rech-
verstanden ist. Ein erster Ansatz mit dem
nungen durch intuitivere
geometrische Argumente
zu
ersetzen, wird in Kapitel 3
beschrieben.
Kapitel
Die
1
in
Einfuhrung
und 6 sind von eigenstandigem Interesse.
Kapitel 1 bietet eine
physikalische und heuristische Argumente, die den Inhalt der fol-
genden Kapitel beleuchten. Dort wird auch ein Uberblick iiber verwandte Arbeiten gegeben, als Versuch, wesentliche Hintergrundinformationen auch fur diejenigen
Mathematiker bereitzustellen, die nicht auf dynamische Systeme spezialisiert sind.
(Trotzdem wird nicht behauptet, dieser Uberblick sei vollstandig.) Kapitel 6 bietet
eine elementare Einfuhrung in einige Methoden zur Untersuchung der ungestorten
Sinus-Gordon-Gleichung.
PyccKan
aHHOTan^KLH
B .HHccepTaiiHH
o6cy>KflaeTCii ycTOHHHBocib
o^Horo hjih MHorux
peiueHHH
«6pH3ep»
m
u
=
u>
ypaBHemm
sin art
CHHyc-FopflOH
w«
cosh
Ha
—
utt
Bo
BTopoii
poB
-
=
\]\
aeMCTBHTejitHoH
uxx + sin
uxx + sinu
=
u
=
0
»
—
ml
„
,
0
< rn < 1
sA(u)
rjiaBe bbo,iuitc.h rjiaBHbie
+
ocm
x
,
(|)yHKiiHefi
pe3yjibxaT, yTBep«^aiomHH,
MoaceT
uj
,
mx
npn B03MymeHHH aHaJiHTHMecKoM
hobhoh
r
4 arctan
G IR
e^HHCTBeHHOH
0(e2),
A(0)
ynoTpe6jifleMbie
mto He
6ojiee
nepeMeHHoM
=
0
u
.
MeTo^bi h ,noKa3biBaeT oc-
MeM KOHetiHoe mhcjio
coxpaHHTbCii npn jiioSom B03MymeHHM aaHHoro
Bbiiue
6pn3e-
Tuna, h 9tot
12
—
—
ABSTRACTS
cKa3aHHoe
HeHHe
^ByxiviepHoe npocTpaHCTBo TpHBwajibHbix B03MymeHHH, npH
CymecxByeT
•
ojiHOMepHoe
h
cojep*;nTCJi
He 6oJiee
•
MeM
^
HHTepBajie
z
v-r
A(4
nflxoft
b
KOHeMHoe
]0, p]
G
arctan
z),
h
MMCJia
B MexBepxoK
oxjjejibHoro
Boro
rjiaBe
3aTO
J1BHO
He
jiioSoro oxaejibHoro
OcHOBHbie pe3yjibxaxu
HHe
axoro
He
jik>6om
b
CfiyHKLUiH
b
coxpaHtfioxcji
He
apryMeHXbi
6pn3epaM
no,n-
HCKJiiOHaiox,
HaKanjiHBaioxcji
hjim
HeycxoiiHHBOcxb
nocpeacxBOM xeopiw B03MymeHira nep¬
OKOHMaxejibHbiit pe3yjibxax
Hx
IIpn
m.
axoM
o6ojioMKa
npeanojioraeTCH,
(He-)ycxoMHH-
BCeM
yCJlOBHHM
6ecKOHeMHOMepHa
hto
0 <
m
<
\j\[2.
(j)opMyji, <J>yH,naMeHxajibHoe
nonbixna
noHBXHo.
o
yjOBJieXBOpjlIOX
jiMHeHHan
BbixeKarox M3 jibhmx
He BnojiHe
Koxopux eme
Hairai
(fiyHKUHH, KOXOpble
ycxoHHHBOCTH nepBoro nopaaKa.
jjih
ypaB-
coxpaHHibCH
yexoMHHBoexb
noneMy
aoKa3aH
aaHbl
a
06cy>K,neHMe
aHajIHXHHHOCXH
6pH3epbi
OaHaKo,
Hejib3H BbiHCHHXb
Xoxh
nopfljiKa.
BOCXH,
Koxopbix
£,
aHajiHXHMHOcxH.
H3JiaraeTCii,
6pn3epa
MO»cex
coxpaHiiioiiiHMCii
OTBeMaromwe
—
6pH3epoB
HrocaKHe
noaxoMy
y rpaHHUbi o6jiacxn
m.
no
rjiaBe.
hmcjio
xoaflmeii oKpecTHoexn HyjiJi.
mxo
Bcex
npw
BHyXpeHHOCIM o6jiaCTH
BO
ripn
ypaBHeHHii BToporo nopiun-ca
pa3peuiHMO
nepBoro nopjiUKa
9<f>cf)eKTa
ypaB-
Macinxa6npoBaHHH
B03MyuieHHH,
npocxpaHCXBO
M3
HeycTOHMHBOCTb cneayex
HeHHe
B03MymeHHoe
(x,t).
h
u
9TOM,
HeB03MymeHHOMy nocpe^cTBOM
9KBHBajieHTHO
nepeMCHHbix
npH
6pn3epbi.
Bee
coxpaHjnoxcH
KOTopux
To^Hee roBopa,
no e.
,no6aBJieHbi cjiej,yiomne nonpaBKH:
ecjin
cnpaBCHJiHBO,
CymecTByex
•
ypaBHeHHH nepBoro nopnaKa
H3
pe3yjibTaT cjieayex y*te
3aMeHHxb
6ojiee HHxyHXHBHbiMH reoMexpHMecKHMH apryMeHxaMH
HBHbie
3Hane-
BbiHH3JieHHfl
onucbiBaexcn b
xpexbeK
rjiaBe.
nepBaii
h
niecxaii
npeajiaraex
rjiaBbi
BBeaeHHe b
HMeiox
h
caMoccaxejibHoe
cjjioHHecKHe
BemaKDX coaep>KaHHe cjieayioiriiix rjiaB.
pa6ox,
opweHTHpyHCb
HecKHX
LUecxa.fi
CHCxeMax.
rjiaBa
xpe6jifleMbie
Resume
Dans cette
Ha
MaxeMaxHKOB,
(O^HaKO,
mm
He
KpoMe
He
sxoro mm
nepBaji
aaeM
o63op
cneunajiH3HpyiouxnxcH
6yaxo
yiBep*maeM,
npeajiaraex gjieMeHxapHoe BBeaemie
rjiji H3yneHHH HeB03MymeHHoro
b
bxot
b
oc-
6jih3khx
jHHaMH-
o63op noaoH.)
HeKOXopbie Mexcajbi, yno-
ypaBHeHHH
cHHyc-TopaoH.
on
discute de la
persistance d'une
ou
plusieurs
solutions <breather>
(<crespirateur>)
m
sin
uit
III SHI Ull
u
rjiaBa
frangais
en
these,
3HaMeHHe.
aBpucxHHecKne apryMeHXbi, Koxopbie
h
=
4 arctan
:
wcosh
—
i
,
mx
lo
=
v
1
—
ml
,
0 <
m
< 1
13
—
—
ABSTRACTS
de
l'equation
sinus-Gordon
Utt
quand elle
est soumise
que de
depend
Dans le second
au
est
maximum
-
chapitre,
II existe
tion
un
u
et
Au
il existe
chaque
tion
z
i—
qu'avec
un
ou
m
<
ne
a
ci-dessus,
resultat
ce
precisement,
triviales
perturbations
non
cette
sous
lesquelles
ces
perturbations, Tequa-
perturbee
apres rescalement des
Pour
de
un
perturbations
sous
consequence de
en
lesquelles
l'equation
l'equation du premier ordre a une
cinquieme chapitre.
solution
d'analyticite
consequent,
persiste
argument
d'analyticite
on
sous
une
conservees
l'interieur du domaine
aucune ne
dans
de la fonc¬
dans
certain
un
n'exclut pas que des solutions <breather>
—
ayant
point d'accumulation
un
sur
le
de cette fonction.
il est
explique pourquoi
impossible de decider,
si
e,
en
une
sur
solution <breather>
perturbation generale. Bien qu'on ne donne pas de
on donnera explicitement pour chaque m des
(non-)persistance,
verifient toutes les conditions de
lineaire est de dimension infinie.
persistance
Dans
ces
du
premier
arguments,
on
ordre.
suppose
l/\/2.
entierement
premier
.
donnees
Plus
e.
en
conservees.
pour des valeurs de
comprise.
arguments geometriques plus
Le
0
perturbations
sont pas conservees,
Les resultats-cles decoulent des formules
encore
=
et demontre le resultat
principales
equation du premier ordre
non
perturbations qui
que 0 <
premier
e, tandis que
quatrieme chapitre,
enveloppe
A(0)
ordre
espace de dimension
de 0. Mais notre
resultat definitif de
Leur
0(s2),
nombre fini de solutions <breather> sont
un
conservees
conserve*
ne
les modifications suivantes:
^ G ]0, p]
A(4 arctan z), et par
la base de la seule
est
du
equations
en
bord du domaine
Dans le
+
pour chacune des
intervalle
voisinage
soient
analytique A qui
On discutera de cela dans le
m.
maximum,
chaque
G IR
fonction
une
par
est equivalente a l'equation
{x,t).
du second ordre
•
,r
,
donne les methodes
les solutions <breather>
pour
,
espace de dimension deux de
perturbee
plus,
sA(u)
=
solutions <breather> sont
variables
De
0
nombre fini de solutions <breather> sont conservees, et
un
toutes les
•
on
Essentiellement,
assertion n'est correcte
•
=
perturbation
uxx + sinu
consequence des
une
v
u:
uu
fondamental:
«ra + sin
-
une
a
la droite reelle
sur
et le sixieme
explicites,
On essaie de
dont la
remplacer
signification n'est
explicite par
le calcul
pas
des
intuitifs.
chapitres
ont
une
valeur
introduction dans des
chapitre est presentee une
tiques eclairant le contenu des chapitres
en
eux-memes.
Dans le
arguments physiques
suivants. De
plus,
on
fait
un
premier
et heuris-
tour d'horizon
—
14
—
ABSTRACTS
des travaux portant
supplementaires
specialises
soit
des
questions similaires,
domaine
dans les systemes
complet.) Dans
quelques
sur
sur ce
qui
interesseront
dynamiques. (On
le sixieme
methodes d'etude de
chapitre,
on
ne
donne
donnant ainsi des informations
egalement
pretend
une
les mathematiciens
pas que
ce
non
tour d'horizon
introduction elementaire dans
l'equation sinus-Gordon
non
perturbee.