METHODE DE SONDAGE POUR L`ETUDE DE L`INFLUENCE DE

METHODE DE SONDAGE POUR L ' E T U D E DE L ' I N F L U E N C E
DE NOUVEAUX C R I T E R E S SUR LE T A R I F
,,AUTOMOBILE"
B. DUBOI$ DE MONTREYNAUD
Paris, France
Pour construire un tarif ,,Automobile" il est n6cessaire d'6tudier
la charge des sinistres caus6s par les v6hicules appartenant ~ des
groupes homog~nes divers: il est commode de proc6der ~ un 6chantillonnage.
On peut construire un 6chantillon off figurent des proportions
constantes ou connues de chacun des groupes constituant la population ~ 6tudier.
En pratique l'6chantillonnage, doit, pour avoir une efficacit6
admissible, ~tre particuli~rement important dans les groupes ~ faible
fr6quence pour donner un hombre significatif de sinistres.
Or, comme pour ddterminer la m6thode de s61ection des 6chantilIons on ne connait pas le groupe des v6hicules s61ectionn6s, on
serait contraint de prendre un 6chantillon tr~s important.
En France, le Groupement Technique Accidents fait des 6tudes
sur la totalit6 des v6hicules assur6s par les Compagnies adh6rentes ~t
la statistique commune et qui repr6sentent un tiers du Parc National.
L'inconv6nient de la m~thode actuelle est l'impossibilit6 d'6tudier
rapidement un nouveau crit~re - - car il faut attendre les mouvements sur le portefeuiUe A l'occasion desquels on enregistre le
crit~re A 6tudier; les mouvements, en outre, frappent probablement
moins les v6hicules A faible fr~quence. Le d~lai n6cessaire pour
l'6tude d'un nouveau critSre se compte en ann6es.
I1 peut ~tre souhaitable pour suivre l'6volution 6conomique ou
sociale d'6tudier rapidement dans un d61ai chiffr6 en mois, l'influence de certains crit~res nouveaux, pour 6viter sous la pression
d'~v~nements ext6rieurs d'etre amen6 ~t prendre des d6cisions dites
,,politiques" - - cet euph6misme justifiant, dans le doute, des
r6ductions de tarif explicables uniquement par le fait qu'un concurrent dangereux est peut-~tre s6rieux - - ~ ce moment il est in6vitable de proc6der ~t un sondage.
240
LE TARIF AUTOMOBILE
Plusieurs m6thodes sont th6oriquement possibles. On peut
rejeter d'embl6e la m6thode qui consiste A faire une enqu~te sur des
v6hicules choisis d'apr~s un crit~re bas6 sur le num~ro min~ralogique, cette m6thode 6tant d'un prix prohibitif car elle oblige la
recherche des propri6taires, leur interview, et celle de leurs accidents
auprbs de leurs organismes assureurs successifs; ces derniers 6rant
les seuls pouvant donner des 616ments objectifs tant sur le cofit
des sinistres que sur leur hombre.
I1 est certainement moins on~reux de proc6der tt un ~chantillonnage dans le parc des organismes assureurs d6sireux de faire ces
recherches. On pourra ~tudier le comportement des v~hicules
s61ectionn6s d'apr6s leur num~ro de police, ce qui donnera certainement un 6chantillon repr~sentatif de la population
*tudier.
Cette m6thode, plus 6conomique que la premi6re, n~cessite
n~anmoins l'interview des assur6s; son coflt reste 61ev6.
La m6thode que nous proposons consiste tt prendre comme 616ments constitutifs de l'~chantiUon, l'ensemble des v6hicules sinistr6s
au cours d'une ou plusieurs p6riodes fix6es a priori.
Cette m6thode pr~sente incontestablemcnt un plus faible prix de
revient, car l'interview du conducteur sera facilit6e par le fait qu'il
prendra lui-m~me contact avec son organisme assureur ~ l'occasion
du sinistre. Quant aux 616ments que l'on dolt pulser dans les archives
de la Compagnie relatifs aux sinistres passes, ils n'obligent pas ~ des
recherches suppl6mentaires, puisqu'A l'occasion des sinistres d6clar6s
il est en g~n6ral n6cessaire de se r6f~rer aux ~16ments statistiques
de la police.
I1 est bien ~vident toutefois que l'6chantiUon ainsi constitu6
ne sera pas repr6sentatif de la population des v6hicules, les cat6golies ~ forte fr6quence 6rant en trop forte proportion par rapport
aux cat6gories ~. faible fr6quence; mais l'erreur est si grossi6re qu'il
est facile d'y rem6dier.
R E M A R Q U E : Nous appellerons groupe homog~ne un groupe
de v6hicules tel que t o u s l e s v~hicules qui le constituent ont la
m~me probabilit6 de sinistre; par d6finition les sinistres se r6partiront sur les v6hicules suivant la Loi de Poisson.
LE TARIF AUTOMOBILE
241
NOTATION
f
= Fr~quence
= R a p p o r t du n o m b r e de sinistres a u n o m b r e de v~hicules x
ann~es
= E s p ~ r a n c e m a t h ~ m a t i q u e du n o m b r e de sinistres p o u r u n
v~hicule x a n n i e
n = A c c r o i s s e m e n t a n n u e l du n o m b r e de v~hicules d ' u n g r o u p e
homog~ne.
/V = N o m b r e de v~hicules d ' u n g r o u p e h o m o g ~ n e
N ' = N o m b r e de v~hicules x ann~es.
S = N o m b r e de sinistres
at = N o m b r e de v6hicules sinistr~s p e n d a n t le t e m p s t
atn = N o m b r e de v~hicules s u b i s s a n t n sinistres p e n d a n t le t e m p s t
t
= Temps
t, = I n t e r v a l l e de t e m p s s ~ p a r a n t d e u x sinistres cons6cutifs
s u r v e n u s au v6hicule i
T = Dur6e de l'6chantillonnage
0 = Dur6e de la G a r a n t i e
"r = Anciennet6 des plus anciens v6hicules du groupe.
Consid6rons un g r o u p e homog~ne de N v6hicules A u n i n s t a n t
d o n n e t = o e t de fr~quence annuelle f.
C o m m e n t se distribue la loi de s u r v e n a n c e du p r e m i e r sinistre de
c h a q u e v~hicule ?
A c h a q u e i n s t a n t t, le n o m b r e de v6hicules a y a n t subi n sinistres
depuis l'origine t = o est:
-s
tt
~ t n = N n.l e'/*
et en faisant n = o nous a v o n s le n o m b r e de v~hicules n o n sinistr~s
soit:
%0
=
g
e "It
L ' e x p r e s s i o n a t = N - - ~t0 = N (I - - e4t) nous d o n n e ~t c h a q u e
i n s t a n t t le n o m b r e de v~hicules qui ne sont plus d a n s la cat~gorie
des n o n sinistr~s c'est-~t-dire qui ont subi a u m o i n s leur p r e m i e r
sinistre.
I1 a p p a r a i t que la difference
at+at ~
at
=
da t
=
N f e "It d t
x6
242
LE T A R I F AUTOMOBILE
est 6gale au nombre de v~hicules subissant leur premier sinistre
entre les temps t et t + dt.
Nous en d6duisons que la loi de r6partition des premiers sinistres
apr~s un temps t est:
d~t _ N f e4t
dt
Nous examinons maintenant le temps moyen 6could entre l'origine
des temps et le premier sinistre.
Le temps moyen est par d6finition la valeur d'une fraction oh nous
mettons au num~rateur le total des temps 6coul~s pour chaque
premier sinistre entre l'origine des temps et le moment de survenance du premier sinistre, et au d6nominateur le nombre de v6hicules
sinistr~s.
Or, quand t tend vers l'infini le hombre de v6hicules sinistr6s
tend vers N le temps moyen cherch~ est donc:
I
f N f l e4~ dt
0
-- f
i
x e -'~ d x =
0
j
i~
0
--
x d e -~
0
~o
-
i E
f
--
x e "~
+
e -~ d x
0
0
I
®
I
Nous pouvons donc affirmer que dans un groupe ferm~ de v~hicules homog~nes c'est-5:dire o~ t o u s l e s v6hicules ont la m~me
esp~rance math~matique de f sinistres par an, le temps moyen
s'~coulant entre une origine arbitraire et le premier sinistre ~
I
survenir sur chacun des v~hicules est de 7"
I1 est ~ noter que par raison de sym~trie, le temps moyen ~couM
depuis le dernier sinistre d'un groupe homog~ne ferm~ est ~galement
I
~gal ~ f"
LE TARIF
AUTOMOBILE
243
Courbe de Distribution des premiers sinistres
N%
I00
75
S, = N ( I - - e t 9
50
25
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
0,5
x
x,5
2
2.5
3
4
5
6
7
:
:
:
/
:
:
7
7
?
?
Fig.
I
I00
nant en fonction
net6 • des plus
cules d ' u n groupe,
ge du parc reconaffectant chaque
v~lficule sinistr~ d'un temps
75
/
~gal
5°
/
a) ~ l'intervalle ecoul~ depttis
le sinistre precedent, s'il y a
lieu
/
z5
!
b) ~t deux fois le temps de
garantie p o u r les v~hieules
subissant leur premier sinistre
I
i
I
i
i
I
I
I
0,2
o,3z
0,50
0.80
x,25
2
3,2
5
7
-7-
-7-
-7-
-7-
7
7-
?
Fig. 2
N . B . - - On en d~duira que l'intervalle moyen entre le dernier
sinistre survenu av an t le temps t = to et le premier sinistre ~ venir
apr~s
2
le m~me
temps est bien de 7 mais il ne faut pas en conclure
J
244
LE TARIF AUTOMOBILE
que l'intervalle moyen 6cou16 entre deux sinistres du m~me v6hicule
2
I
est j mais bien encore ff.
En effet, pour 6tudier la loi de r6partition des intervaUes s6parant
deux sinistres cons6cutifs nous devons consid~rer le sous-groupe des
v~hicules sinistr~s le marne j our to.
Le sous-groupe reste homog~ne et sa probabilit6 de sinistres
ultdrieurs restant inchang~e, sa fr~quence de sinistres pour le
temps t > to restef.
Nous nous trouvons dans les conditions de l'exemple pr~c6dent,
le temps moyen s'~coulant pour chacun de ses vdhicules entre le
x
sinistre du jour t 0. et le sinistre suivant reste bien ] .
T
!
B
I
I
I
Nombrede
~
(
~
v~hieules
duGroupe
Courbe
de survenance des
premiers sinistres
~tpartir du temps
t=o
Eourbe
de survenance des
derniers sinistres
avant le temps
t=T
1
Temps moyen
d'intervalle
avec le sinistre
I
pr~c6dent =
A
]
L,
r,
i
0
)
Temps de
l'~chantillonnage
=T
)
Fig. 3
Le paradoxe vient du fait que nous ne parlons que de premiers
sinistres et que le temps moyen s6parant deux sinistres est la moyenne des temps s6parant des sinistres n e t n - I quelque soit n.
On peut vdrifier le raisonnement pr~cddent par la justification
graphique suivante:
Nous portons en abscisse le temps et en ordonn~e les v~hicules
245
LE TARIF AUTOMOBILE
du groupe homog~ne. Un nombre de v~hicules x ann~es est repr&
sent6 par une aire.
La surface hachur6e repr~sente le total des temps 6coul6s entre
chaque sinistre de l'6chanti.llon et le sinistre pr&6dent;
Pour calculer son aire retournons la figure:
I
2v (i-e-I,)
y
,)
T
X
Fig. 4
L'equation de la courbe est
y=
N ( I - - e "It)
T
l'aire est A =
f
N (i - - e-IX) dx + ] N (I - - e"IT)
Q
T
a = NT +
7 e-Ix a # + 7 (~ - - e-In)
o
A = NT + 7
A=
e-Ix. + 7 (~ - -
~-~')
NT
aire pr&is~ment ~gale au rectangle O A B C repr~sentant le nombre
de v~hicules x ann&s couverts pendant le temps du sondage.
Nous avons raisonn~ jusqu'~ present en supposant que le groupe
homog~ne dont fair p a r t i e l e v~hicule sinistr~ a toujours &~ dans
l'assurance, car dans ce cas le temps moyen entre le sinistre donnant
lieu A l'&hantiUonnage et le sinistre pr&~dent est ~gal ~ l'inverse
de la fr~quence du groupe.
246
LE TARIF
AUTOMOBILE
E n fait u n groupe homog6ne a y a n t une anciennetd limitde on
t r o u v e r a toujours dans u n 6chantillonnage des vdhicules n ' a y a n t
j a m a i s dt6 sinistr6s.
Le probl6me p o u r ces vdhicules est de t r o u v e r la date fictive d u
sinistre virtuel prdcddant la prise de garantie.
Consid~rons dans le temps (en p r e n a n t p o u r origine des t e m p s et
p o u r chaque vdhicule le m o m e n t du sinistre d o r m a n t lieu $ l'dchantiUonnage) la distribution des sinistres prdcddant celui de l'dchantillonnage.
L a loi de s u r v e n a n c e est celle p r d c d d e m m e n t 6tablie:
G
=
N (t--e tt)
bl
d
N
>
-t'
-o
Fig. 5
Considdrons u n v6hicule entrd dans l'assurance au t e m p s - - 0
a) s'il a dtd sinistrd a v a n t l'dchantillonnage, son dernier sinistre
pr6cddant celui d o r m a n t lieu tL l'6chantillonnage se t r o u v e en un
point de la courbe comprise entre - - 0 et o e t il n ' y a pas de difficult6
puisque ce sinistre est ddtermind.
b) s'il n'a pas 6td sinistr6, on doit lui affecter un sinistre virtue1
sur la p a t t i e de courbe situde entre - - 0 et - - oo et p o u r c h a c u n
des sinistres d o n n a n t lieu tL dchantillonnage, c o r r e s p o n d a n t a u x
points de segment a b, on fera correspondre un sinistre prdc~dent
fictif situd sur l'arc fw
On voit darts cette dventualitd qu'il revient au m~me d'affecter
tt chacun de ces sinistres un t e m p s t' tel que l'aire A du rectangle
a b d e soit ~gale ~ l'aire B du quadrilat6re, a b w f
t
247
LE TARIF AUTOMOBILE
or ab ~ N e "f°
donc A ~ t ' N e 4°
-0
et B = 0 N e
" I ° + f N e 4tdt
-oo
B = O N e 4° +
B ~ O N e "I° +
N
e-$O
et si A = B
t'Ne 4°=0Ne
t'=0+]
4° + 7
N
e-fO
I
Or, dans cette expression qui est celle du temps dont il faut
affecter chaque v~hicule subissant son premier sinistre au cours de
I
l'~chantillonnage nous trouvons 7 qui est pr6cis6ment l'inverse
de la fr6quence inconnue du groupe dont est extrait le v6hicule.
Nous avons d~montr6 pr~c6demment que la moyenne des temps
s6parant dans un groupe homog~ne la prise de garantie du premier
sinistre survenu Achaque v6hicule 6tait pr6cis~ment ~gale ~ l'inverse
de la fr~quence du groupe consid6r6.
En premiere approximation, nous remplacerons dans rexpression
i
pr6c~dente S par 0
On peut d6montrer que cette transformation est valable si dans
le parc de v~hicules 6tudi6, l'entr6e dans l'assurance est lin6aire:
soit le sous-groupe N o des v6hicules entr~s dans l'assurance au
temps - - 0
Pendant le temps T du sondage nous s61ectionnerons
N0fT
N o e4° f T
et N o ( i - - e - f ° ) f T
v6hicules dont
qui n'ont pas 6t6 sinistr6s ant~rieurement
qui ont 6t6 sinistr6s ant6rieurement.
I
Les premiers seront affect6s du coefficient 0 + y
248
LE TARIF AUTOMOBILE
Les seconds du temps 6cou16 entre tes deux sinistres cons6cutifs,
soit en moyenne:
' No fO e"I° dO ]I[__fOe.lOe_lol° °
I I--fO e4° --e "t°
N o ( i - - e-tO)
/
S
z -- e-~
I - - e-lo
Nous reconstituerons donc pour le sous-groupe N O le parc
(
N~ = N Oe 4 ° f T
~)
0 +
I I--fOef°--ef°
+ No ( I - - e ' f ° ) f T ]
I--e¢ °
N o' = N o T f [e(-I° 0 + ~) + -I(I--fOe'1°--e'1°)]
7
N~=NoT
Supposons N o constant = n d 9
Nous aurons ~ n e-I° f T d 0 premiers sinistres.
0
I
qui reconstitueront avec le coefficient de pond~ration 0 + ~ -
0
0
--
f T
0
e1fO dfO +
ere dfO]
J
0
=iT
0
(I-10e,°-.°l:-Ie I°1:)
2nT
/
I
Nous aurions obtenu le m~me r~sultat en remplacant 0 + .f par 2 0
carfne1°fT
J
20 dO --
T
2n
!
0
ce qui justifie bien
l'hypoth~se
ci-dessus.
249
LE T A R I F A U T O M O B I L E
Nous supposons t o u j o u r s lin~aire, l'entr~e dans l'assurance des
v~hicules mais limitde dans le passe au t e m p s x.
L a premiere expression devient :
No = ~ [-- fO e'l°-- 2e1°ll
N O-- nT
~-(--f,re'1"--2e-l'+2)
L a deuxibme expression approch6e d e v i e n t :
7--
N~
gl0
No
o
2 - - 2g "fx ( I + / ' r )
I -- e-It (I +/at)
o.I
o.16
0.25
o.4o
0.54
o.I
o.15
O.21
0.305
0.45 0.525
20
13
9.5
6.5
I.
1. 5
2. 5
0.66
0.875
0.96
2.3
2.I
tt~
0,
4-5
3.8
L a troisi~me ligne de ce t a b l e a u donne le coefficient d o n t il faut
multiplier le t e m p s d'assurance p o u r les v~hicules subissant leur
p r e m i e r sinistre au cours de l'~chantillonnage.
E n s u p p o s a n t que l'on n~glige c e t t e correction et que l'on se
c o n t e n t e d'affecter ~ c h a q u e v~hicule subissant son premier sinistre
au cours de l'~chantillonnage un t e m p s double de celui de la garantie, et en t e n a n t c o m p t e des v~hicules d~j~ sinistr~s qui ont u n
coefficient correct l'erreur commise sur l'~valuation du parc reconstitu~ est donn~e par le tableau suivant:
250
LE TARIF AUTOMOBILE
[~
0.2
0.32
0.50
0.80
1.25
2
3.2
erreur %
par
d~faut
-74
-62
-48
-34
-21
-9
-2
On voit que, si un groupe de v6hicules a commenc6 son entr6e
dans
l'assurance
depuis
un
nombre
2
d'ann6es sup6rieur ~ t ~
l'erreur que l'on commet sur l'6valuation du parc reconstitu6
suivant la pr6sente m6thode est inf6rieure ~ 9 %.
I1 est ~ noter que les erreurs qui peuvent en d6couler sur la
d6termination des primes ne seront commises que par exc~s.
En tout ~tat de cause, cette m6thode peut ~tre utilis6e en toute
s6curit6 pour l'6tude de l'influence relative de nouveaux crit~res
sur les primes, si l'on n'a pas une confiance suffisante pour l'utiliser
la determination des primes absolues.