Problème 2 Fichier

ANALYSE ET SYNTHESE DES ASSERVISSEMENTS
L’ultime motivation de cet examen est une évaluation des connaissances sur l’analyse et la
synthèse des systèmes asservis échantillonnés que l’on peut représenter comme le montre
la figure 1 où SYS et REG représentent le système et le régulateur, {u(t)} et {uσ (t)}
désignent respectivement les séquences de sortie du régulateur et d’entrée du système,
{yσ (t)} et {y(t)} désignent respectivement les séquences de sortie et de sortie mesurée du
système, {vu (t)}, {vy (t)} et {η(t)} désignent respectivement les perturbations de charge
qui affectent le fonctionnement du système en entrée et en sortie et le bruit de mesure
inéluctable et {y ∗(t)} est la séquence de référence.
vy (t)
vu (t)
y ∗(t)
-
u(t)
REG
?
- +i
uσ (t)
-
?
-+i
SYS
yσ (t)
-
y(t)
?
+i
η(t)
Figure 1: Asservissement
On adoptera des hyppthèses communément rencontrées dans les problèmes de commande
par calculateur; en l’occurrence
H1. Le système est parfaitement décrit par sa fonction de transfert
G(z −1 ) =
z −d−1 B(z −1 )
A(z −1 )
et que ses zéros sont tous différents de un mais ne sont pas nécessairement situés
dans le domaine de stabilité.
H2. Les perturbations de charge aussi bien en entrée qu’en sortie sont du type échelon.
H3. Le bruit de mesure est caractérisé par une séquence de variables aléatoires de
moyenne nulle et de variances finies.
H4. Le régulateur est décrit par
REG









Rd (q −1 )u(t) + Rn (q −1 )y(t) = Rp (q −1 )y ∗ (t + d + 1)
q −d−1 B ∗ (q −1 )
y (t) = G (q )u (t) avec G (q ) =
A∗ (q −1 )
∗
∗
−1
∗
∗
−1
où G ∗ (z −1 ) est la fonction de transfert du modèle générateur de la séquence de
référence à partir de la séquence de référence des points de consigne {u∗ (t)}.
1
Rappelons que les spécifications suivantes constituent une base élémentaire pour la conception d’un asservissement conformément à l’ingénierie des systèmes développée tout au
long des deux dernières décennies.
S1. Une poursuite admissible caractérisée par un mode d’amortissement unitaire et de
pulsation propre ωp .
S2. Un rejet asymptotique parfait des perturbations caractérisé par un mode dominant
d’amortissement unitaire et de pulsation propre ωr .
S3. Une insensibilité aux bruits de mesure inéluctables.
Pour ce faire, on suggère de procéder d’une manière progressive en tenant compte des
hypothèses H1→H4 et des spécifications S1→S3.
1◦ ) Préciser comment choisir la période d’échantillonnage et comment définir le domaine
de spécification des performances sous-jacent dans la plan complexe en z.
2◦ ) Préciser les configurations des pôles et des zéros dans le cas particulier où la fonction
de transfert du système est donnée par
G(z −1 ) =
z −5 (1 − 2z −1 )
1 − 1.8z −1 + 0.81z −2
3◦ ) Montrer que les modèles générateurs des perturbations d’entrée-sortie peuvent être
respectivement décrits par
C(q −1 )
vu (t) =
vu δ(t)
D(q −1 )
et
C(q −1 )
vy (t) =
vy δ(t)
D(q −1 )
On précisera les expressions des polynômes D(q −1 ) et C(q −1 ) à partir de la nature
des perturbations considérées et on justifiera que les polynômes B(q −1 ) et D(q −1 )
sont premiers entre eux, i.e. pgcd (B(q −1 ), D(q −1)) = 1.
4◦ ) Montrer que les équations d’entrée-sortie du système asservi sont respectivement
données par les équations
SAS





















yσ (t) = Trs (q −1 ) y ∗ (t + d + 1)
+Tpes (q −1 ) vu (t) + Tpss (q −1 ) vy (t) + Tbs (q −1 ) η(t)
uσ (t) = Tre (q −1 ) y ∗ (t + d + 1)
+Tpee (q −1 ) vu (t) + Tpse (q −1 ) vy (t) + Tbe (q −1 ) η(t)
2
où les Tij (z −1 ) pour (i, j) ∈ [r, pe, ps, b] × [s, r] désignent les différentes fonctions de
transfert du système asservis on précisera les expressions.
5◦ ) Etudier la stabilité du système asservi et preciser la classe des régulateurs réalisant
les performances dynamiques requises.
6◦ ) Donner les dynamiques de poursuite et de régulation du système asservi et préciser
les invariats par rétroaction.
7◦ ) Donner les propriétés requises pour une compensation parfaite des perturbations de
charge et préciser la structure du régulateur qui permet de la réaliser.
8◦ ) Peut-on réaliser une poursuite parfaite indépendamment de la nature de la séquence
de référence? Sinon quel est le type de poursuite admissible?
9◦ ) Donner la propriété requise pour réaliser une insensibilité aux bruits de mesure inéluctables
10◦ ) Proposer un régulateur permettant de réaliser toutes les spécifications S1, S2 et S3
d’un asservissement indépendamment de la nature de la séquence de référence.
3
CORRECTION
1◦ ) Le système asservi aura donc une bande passante caractérisée par une pulsation
maximale qui n’est autre que la pulsation propre des modes dominants de la dynamique de régulation, soit ωr . On peut alors choisir la période d’échantillonnage
comme suit
ωr Te < π
π π
ωr Te ∈
,
10 3
−→
Le domaine de stabilité et de performances est particulièrement défini à partir des
performances requises en matière de régulation et de la période d’échantillonnage,
en l’occurrence
n
Dsp = z ∈ C / ℑ (z) = 0 et Re (z) ∈ [e−ωr Te , e−µωr Te ] avec µ > 2
o
2◦ ) La fonction de transfert du système peut se récrire comme suit
G(z) =
z4
(z 2
z−2
− 1.8z + 0.81)
Les configurations des pôles et des zéros sont alors respectivement données par
CZ (SYS) = {2} et CP (SYS) = {0, 0, 0, 0, 0.9, 0.9}
3◦ ) Compte tenu de la nature échelon des perturbations de charge, on aura
1 − q −1 vu (t) = vu δ(t) et
1 − q −1 vy (t) = vy δ(t)
où vu et vy désignent les amplitudes inconnues des perturbations. On retrouve ainsi
les modèles générateurs des perturbations avec D(q −1 ) = 1 − q −1 et C(q −1 ) = 1.
Et comme le système n’admet aucun zéro en un, en vertu de l’hypothèse H1, on a
B(1) 6= 0 et donc 1 − q −1 ne divise pas B(q −1 ), soit pgcd (B(q −1 ), D(q −1 )) = 1.
4◦ ) Compte tenu de l’hypothèse H1 et des modèles générateurs des perturbations donnés ci-dessus, on peut en déduire aisément que le comportement d’entrée-sortie du
système est décrit par
SYS























A(q −1 )yσ (t) = B(q −1 )uσ (t − d − 1) + A(q −1 )vy (t)
uσ (t) = u(t) + vu (t)
D(q −1 )vu (t) = vu δ(t)
D(q −1 )vy (t) = vy δ(t)
4
Les équations d’entrée-sortie du système asservi sont obtenues en éliminant respectivement l’entrée et la sortie du système entre les équations du système SYS et
du régulateur REG. L’élimination de l’entrée peut être obtenue en opérant sur
l’équation du système par Rd (q −1 ) tout en utilisant l’équation du régulateur. On
aura alors
A(q −1 )Rd (q −1 )yσ (t) = q −d−1 B(q −1 ) Rd (q −1 )uσ (t) + Rd (q −1 ) A(q −1 )vy (t)
= q −d−1 B(q −1 ) Rd (q −1 ) (u(t) + vu (t)) + A(q −1 )Rd (q −1 )vy (t)
= q −d−1 B(q −1 ) Rp (q −1 )y ∗ (t + d + 1) − Rn (q −1 ) (yσ (t) + η(t))
+q −d−1 B(q −1 )Rd (q −1 )vu (t) + A(q −1 )Rd (q −1 )vy (t)
= B(q −1 )Rp (q −1 )y ∗(t) − q −d−1 B(q −1 )Rn (q −1 )yσ (t)
+q −d−1 B(q −1 )Rd (q −1 )vu (t) + A(q −1 )Rd (q −1 )vy (t)
−q −d−1 B(q −1 )Rn (q −1 )η(t)
soit
Pc (q −1 )yσ (t) = q −d−1 B(q −1 )Rp (q −1 )y ∗(t + d + 1)
+q −d−1 B(q −1 )Rd (q −1 )vu (t) + A(q −1 )Rd (q −1 )vy (t)
−q −d−1 B(q −1 )Rn (q −1 )η(t)
où Pc (q −1 ) désigne le polynôme caractéristique du système asservi donné par
Pc (q −1 ) = A(q −1 )Rd (q −1 ) + q −d−1 B(q −1 )Rn (q −1 )
Quant à l’élimination de la sortie, elle peut être obtenue en opérant sur l’équation
du régulateur par A(q −1 ) tout en utilisant l’équation du système. On aura alors
A(q −1 )Rd (q −1 )uσ (t) = A(q −1 )Rp (q −1 )y ∗(t + d + 1) + A(q −1 )Rd (q −1 )vu (t)
−Rn (q −1 ) A(q −1 )yσ (t) − A(q −1 )Rn (q −1 )η(t)
= A(q −1 )Rp (q −1 )y ∗(t + d + 1) + A(q −1 )Rd (q −1 )vu (t)
−q −d−1 B(q −1 )Rn (q −1 )uσ (t) − A(q −1 )Rn (q −1 )vy (t)
−A(q −1 )Rn (q −1 )η(t)
soit
Pc (q −1 )uσ (t) = A(q −1 )Rp (q −1 )y ∗ (t + d + 1)
+A(q −1 )Rn (q −1 )vu (t) − A(q −1 )Rn (q −1 )vy (t)
−A(q −1 )Rn (q −1 )η(t)
5
Les performances d’entrée-sortie du système asservi peuvent être alors mises sous la
forme SAS en opérant par l’inverse du polynôme caractéristique. Et si l’on pose
∆
usas (t) =
y ∗ (t + d + 1)
vu (t)
vy (t)
η(t)










∆
et ysas (t) =
yσ (t)
uσ (t)
!
alors le système asservi peut être décrit par sa matrice de transfert
SAS
n
Ysas (z) = Gsas xsas (z)Usas (z)
avec




Gsas (s) = 
Trs (z −1 ) Tpes (z −1 ) Tpss (z −1 ) Tbs (z −1 )
Tre (z −1 ) Tpee (z −1 ) Tpse (z −1 ) Tbe (z −1 )





où les Tij (z −1 ) pour (i, j) ∈ [r, pe, ps, b] × [s, r] désignent les différentes fonctions de
transfert du système asservi respectivement donnée par
F T SAS











































































∆
Trs (z −1 ) =
∆
Tpes (z −1 ) =
∆
Tpss (z −1 ) =
z −d−1 B(z −1 )Rp (z −1 )
Pc (z −1 )
A(z −1 )Rd (z −1 )
Pc (z −1 )
z −d−1 B(z −1 )Rd (z −1 )
Pc (z −1 )
z −d−1 B(z −1 )Rn (z −1 )
Pc (z −1 )
−1
A(z )Rp (z −1 )
∆
Tre (z −1 ) =
Pc (z −1 )
A(z −1 )Rn (z −1 )
∆
Tpse (z −1 ) =
−
Pc (z −1 )
z −d−1 B(z −1 )Rn (z −1 )
∆
Tpee (z −1 ) = −
Pc (z −1 )
A(z −1 )Rn (z −1 )
∆
Tbe (z −1 ) =
−
Pc (z −1 )
∆
Tbs (z −1 ) =
−
5◦ ) Le système asservi peut être décrit par une réalisation d’état
SAS
avec





xsas (t + 1) = Fsas xsas (t) + Gsas usas (t)
ysas (t) = Hsas xsas (t) + Esas usas (t)
6
Gsas (z) = Hsas (zInsas − Fsas )−1 Hsas + Esas
soit
Gsas (z) =
Hsas Adj (zInsas − Fsas ) Gsas + det (zInsas − Fsas ) Esas
det (zInsas − Fsas )
Et comme la matrice de transfert peut se mettre sous la forme
Gsas (s) =
Msas (z −1 )
Pc (z −1 )
où Msas (z −1 ) est une matrice polynomiale à coefficients réels, i.e. Msas (z −1 ) ∈
R2×3 (z), on peut en déduire naturellement que
det (zInsas − Fsas ) = z nsas Pc (z −1 )
Il apparaît alors clairement que les racines du polynôme caractéristique ne sont
autres que les modes du système asservi, soit
n
CM (SAS) = z ∈ C / Pc (z −1 ) = 0
o
On peut ainsi postuler que le système asservi est asymptotiquement stable si et
seulement tous ses modes sont situés dans le domaine de stabilité asymptotique
Dsa = {z ∈ C / |z| < 1}, soit
Pc (z −1 ) ∈ Rsa [z −1 ]
La classe des régulateurs réalisant les performances dynamiques requises est donc
caractérisée par
(
)
Rn (z −1 )
CRSP = Rr (z ) =
/ Pc (z −1 ) ∈ Rsp [z −1 ]
Rd (z −1 )
−1
6◦ ) La dynamiques de poursuite du système asservi est donnée par la fonction de transfert
DP(z −1 ) = z d+1 Trs z −1
G ∗ (z −1 )
alors que les dynamiques de régulation par rapport aux perturbations de charges en
entrée, aux perturbations de charges en sortie et au bruit de mesure sont respectivement données par les composantes de la matrice de transfert
−1
DR(z ) =
"
z −d−1 B(z −1 )Rd (z −1 )
Pc (z −1 )
z −d−1 B(z −1 )Rn (z −1 )
A(z −1 )Rd (z −1 )
−
Pc (z −1 )
Pc (z −1 )
7
#
On distingue trois invariants par rétroaction, notamment le retard et les zéros du
système et les zéros de la fonction de transfert Gv (z −1 ).
7◦ ) La compensation parfaite des perturbations de charge est réalisée par des régulateurs réalisant les performances dynamiques satisfaisant la propriété suivante
CPP
lim Tpes (q −1 ) vu (t) = lim Tpss (q −1 ) vy (t) = 0
t−→∞
t−→∞
soit
CPP
(
q −d−1 B(q −1 )Rd (q −1 )
A(q −1 )Rd (q −1 )
v
(t)
=
lim
vy (t) = 0
u
t−→∞
t−→∞
Pc (q −1 )
Pc (q −1 )
lim
ou d’une manière équivalente
D(q −1) divise B(q −1 )Rd (q −1 )
et
D(q −1 ) divise A(q −1 )Rd (q −1 )
Une telle propriété est réalisée par un régulateur stabilisant et compatible avec les
performances dynamiques avec la contrainte structurelle suivante
Rd (q −1 ) = S(q −1 )Dr (q −1 )
avec
D(q −1)
D(q −1 )
Dr (q ) = ppcm
,
pgcd (D(q −1 ), A(q −1 )) pgcd (D(q −1), B(q −1 ))
−1
!
= D(q −1 )
la dernière égalité est naturellement issue des hypothèses H1 et H2. Ainsi, la compensation parfaite des perturbations de charge peut être réalisé par un régulateur
incorporant une action intégrale puisque D(q −1 ) = 1 − q −1 .
8◦ ) Une poursuite parfaite indépendante de la nature de la séquence de référence est
réalisée par des régulateurs réalisant les performances dynamiques requises satisfaisant la propriété suivante
PP
n
DP(z −1 ) = G ∗ (z −1 ) ∀z ∈ C
ou d’une manière équivalente
PP
n
Pc (z −1 ) = B(z −1 )Rp (z −1 ) ∀z ∈ C
Une telle propriété requiert que tous les zéros du système soient situés dans le domaine de stabilité et de performances. Et comme les zéros du système ne sont pas
nécessairement situés dans le domaine de stabilité, en vertu de l’hypothèse H1, la
poursuite parfaite n’est pas faisable indépendamment de la nature de la séquence
de référence. Quant à la poursuite semi parfaite, elle est réalisée par des régulateurs stabilisants et conformes aux performances dynamiques satisfaisant la propriété suivante
PSP
(
DP(z −1 ) = βB(z −1 )G ∗ (z −1 ) avec β =
8
1
B(1)
soit
PSP
(
Rp (z −1 ) = βPc (z −1 ) avec β =
1
B(1)
Un tel objectif est faisable pour la classe des systèmes considérés puisqu’ils n’admettent
aucun zéro en un: une propriété vitale pour la définition du scalaire β.
9◦ ) Le système asservi est insensible aux bruits de mesure si et seulement si la propriété
suivante est satisfaite
IBM
(
A(z −1 )Rn (z −1 )
est un passe bas
Pc (z −1 )
Le f iltre
puisque la fonction de sensibilité complémentaire d’un système asservi a une propriété de filtrage remarquable, i.e.
Le f iltre
z −d−1 B(z −1 )Rn (z −1 )
est un passe bas
Pc (z −1 )
10◦ ) Compte tenu de la classe des systèmes considérée, on peut réaliser une poursuite
semi parfaite conformément aux spécifications S1, S2 et S3 en adoptant une synthèse modale avec un régulateur donné par
REG
avec



S(q −1 )D(q −1 )u(t) + R(q −1 )y(t) = T (q −1 )y ∗(t + d + 1)
y ∗(t) = G ∗ (q −1 ) u∗ (t)


D(q −1 ) = 1 − q −1
A(q −1 )D(q −1 )S(q −1 ) + q −d−1 B(q −1 )R(q −1 ) = M(q −1 )
T (q −1 ) =
1
M(q −1 )
B(1)
où M(q −1 ) et G ∗ (q −1 ) sont spécifiés conformément aux performances requises en
régulation et en poursuite du système asservi, notamment
M(q −1 ) = Md (q −1 )Ma (q −1 )
avec
Md (q −1 ) = 1 − 2e−ωr Te q −1 + e−2ωr Te q −2
−1
Ma (q ) =
np−2
Y 1 − e−µi ωr Te q −1
i=1
9
avec µi ≥ 2
et
G ∗ z −1 =
1 − 2e−ωp Te + e−2ωp Te z −d−1
1 − 2e−ωp Te z −1 + e−2ωp Te z −2
La synthèse du régulateur est alors faite en résolvant, en les polynômes R(q −1 ) et
S(q −1 ), l’équation polynomiale
A(q −1 )D(q −1 )S(q −1 ) + q −d−1 B(q −1 )R(q −1 ) = M(q −1 )
Rappelons que cette équation admet une solution unique si et seulement si A(q −1 )D(q −1 )
et B(q −1 ) sont premiers entre eux et nm ≤ na+nb+d+1 avec nr = na et ns = nb+d.
10