Reconstruction de formes `a partir de nuages de points - GIPSA-Lab

Reconstruction de formes à partir de nuages de points
Contact :
Dominique Attali
Gipsa-lab, Grenoble
Tél : 04 76 82 62 66
Mél : [email protected]
http ://www.lis.inpg.fr/pages perso/attali/
Description :
Nous nous intéressons à la reconstruction de formes à partir de nuages de points. Un exemple
typique est la reconstruction de surfaces à partir de points 3D mesurés sur la frontière d’objets
physiques à l’aide d’appareils de numérisation. Une approche classique pour reconstruire une forme
consiste dans un premier temps à calculer la triangulation de Delaunay des points de données, puis
dans un deuxième temps à sélectionner un sous-ensemble approchant cette forme [1, 2, 6]. Ainsi,
la reconstruction de surfaces passe par le calcul d’une structure intermédiaire ayant la dimension
de l’espace ambiant (la triangulation de Delaunay) avant d’en extraire un sous-ensemble ayant la
dimension intrinsèque des données (voir Fig. 1).
Le désir de s’affranchir de l’espace ambiant a motivé l’introduction des triangulations témoin
par de Silva et Carlsson [4]. L’idée est de distinguer deux types de points de données, les jalons
(ou landmarks en anglais), utilisés comme sommets et les points témoin (ou witnesses en anglais),
utilisés pour décider quels triangles ajouter à la triangulation. L’intuition derrière cette construction est qu’un nuage de points suffisamment dense donne une bonne idée de l’espace occupé par
les données et qu’un petit nombre de jalons parmi ces points témoin suffit alors à donner une
reconstruction satisfaisante. De Silva a montré que la triangulation témoin coı̈ncide avec la triangulation de Delaunay si tous les points de l’espace sont autorisés à être témoins [3]. Cependant,
l’imperfection des mesures peut créer des trous dans les formes reconstruites [5, 7]. Se posent alors
un certain nombre de questions : comment reboucher ces trous tout en limitant la taille des triangulations reconstruites ? Comment rendre la méthode insensible aux outliers résultant de fausses
mesures ? Existe-t-il d’autres approches permettant de reconstuire sans calculer la triangulation
de Delaunay dans sa totalité ? Le stage pourra commencer par une étude bibliographique ainsi
que l’implémentation des triangulations témoins.
(a)
(b)
(c)
Fig. 1 – (a) Nuage de points ; (b) arêtes de la triangulation de Delaunay et triangles utilisés pour
reconstruire une surface ; (c) surface reconstruite.
Références
[1] N. Amenta and M. Bern. Surface reconstruction by Voronoi filtering. Discrete Comput. Geom. 22 (1999),
481–504.
[2] H. Edelsbrunner. Surface reconstruction by wrapping finite point sets in space. In B. Aronov, S. Basu,
J. Pach, and M. Sharir, editors, Discrete and Computational Geometry — The Goodman-Pollack Festschrift,
pages 379–404. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[3] V. de Silva. A weak definition of Delaunay triangulation. Manuscript, 2003.
[4] V. de Silva and G. Carlsson. Topological estimation using witness complexes. In “Proc. Sympos. Point-Based
Graphics, 2004”, 157–166.
[5] L. J. Guibas and S. Y. Oudot. Reconstruction using witness complexes. In “Proc. 18th Ann. ACM-SIAM
Sympos. Discrete Alg., 2007”, to appear.
[6] P. Niyogi, S. Smale and S. Weinberger. Finding the homology of submanifolds with high confidence from
random samples. Discrete Comput. Geom., to appear.
[7] S. Y. Oudot. On the topology of the restricted Delaunay triangulation and witness complexes in higher
dimensions. Manuscript, Dept. Comput. Sci., Stanford Univ., California, 2007.