BTS Cours - Fonctions F1

Cours
FONCTIONS USUELLES
Fonctions affines, polynômes
F1
I – FONCTIONS AFFINES – Fonctions affines par morceaux
1°) Fonction affine
Déf
a et b sont deux réels donnés.
La fonction f définie sur R par f (x) = ax + b est appelée ……………………………………
La représentation graphique d’une telle fonction est …………………………………………
• Le réel a est …………………………………………………………………………………
• Le réel b est …………………………………………………………………………………
Cas particuliers :
Si b = 0, la fonction est dite ………………
Si a = 0, la fonction est dite …………………
Droite passant par l’origine
Droite parallèle a l’axe des abscisses
Proportionnalité des accroissements :
Une fonction f est une fonction affine si et seulement si
pour tous réels distincts x1 et x2 , on a :
f ( x 2 ) − f ( x1 )
=a
x 2 − x1
Ce qui revient à dire que l'accroissement ∆y de l'image est proportionnel à l'accroissement ∆x
de la variable et que le coefficient de proportionnalité est a.
Dérivabilité :
Une fonction affine est dérivable sur R et
f ’(x) = ………………
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Sens de variation d’une fonction affine :
Soit f une fonction affine définie par f ( x ) = a x + b
Si a < 0 alors f est décroissante
Si a > 0 alors f est croissante
Si a = 0 alors f est constante
Exemple :
Représenter la fonction f
définie par f (x) = − 3 x + 2
Signe d’une fonction affine :
Cas où a > 0 :
Cas où a < 0 :
−
−∞
x
Signe de a x+b
−
b
a
0
+∞
+
x
Signe de a x+b
−∞
−
+
b
a
0
+∞
−
Exemple :
Déterminer le signe des fonctions f et g définies par f (x) = − 3 x + 2 et g(x) = 2 x − 5.
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2°) Fonction en escalier
Déf
Une fonction en escalier est une
fonction constante par intervalles
Exemple :
Représenter la fonction f définie
 f ( x) = 1 si − 3 ≤ x < −1
 f ( x) = −1 si − 1 < x < 2

par  f (2) = 1

 f ( x) = 2 si 2 < x ≤ 3
3°) Fonction affine par morceaux
Déf
Une fonction affine par morceaux est telle que, sur chaque intervalle,
f (x) est de la forme f (x) = a x + b
Exemple 1 :
Représenter la fonction f définie par :
 f ( x) = − x + 1 sur [−2;0[

 f ( x) = 2 x + 1 sur [0;1[
 f ( x) = 1 sur [1; 2]

Exemple 2 : Impôt sur le revenu
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3°) Des fonctions puissances …
Déf
f ( x ) = xα
Exemples
Exemples :
Ex 1 : f ( x ) = x 2 fonction carré
Ex 3 : f ( x ) = x
3
fonction cube
Ex 2 : f ( x ) = x −1 =
1
2
Ex 4 : f ( x ) = x =
1
x
fonction inverse
x fonction racine carrée
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II – FONCTIONS POLYNOMES DE DEGRE 2
Déf
Vocabulaire :
a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul.
La fonction f définie sur R par f (x) = a x² + b x + c est appelée
fonction polynôme du second degré.
La représentation graphique d’une telle fonction est :
a x² + b x + c
est appelé
trinôme.
……………………………………………
Cas particulier :
La fonction carrée f ( x) = x 2
a = …………
b = …………
c = …………
Exemples
Exemples :
- La fonction f définie par f (x) = − 4 x² − 3 x + 2. ( forme développée )
a = …………
b = …………
c = …………
- La fonction g définie par g (x) = ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 3 ). ( forme factorisée )
a = …………
b = …………
c = …………
- La fonction h définie par h (x) = 4 ( x + 1 ) ² − 9. ( forme canonique )
a = …………
b = …………
c = …………
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Dérivabilité :
Une fonction polynôme du second degré est dérivable sur R et
f ’(x) = ………………
Sens de variation
Cas où a > 0 :
x
Cas où a < 0 :
−∞
f
−
b
2a
+∞
x
−∞
−
b
2a
+∞
f
Exemple :
Dresser le tableau de variation de la fonction k définie par k (x) = 2 x² − 12 x + 1.
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III – EQUATIONS
1°) Equations du 1er degré
Déf
On appelle équation du premier degré une équation du type :
ax+b =0
où a et b sont deux réels donnés, avec a non nul.
Exemple : Résoudre les équations :
3x−1=0
−2x+3=4x-5
2°) Equations du 2e degré
Déf
On appelle équation du second degré une équation du type :
a x² + b x + c = 0
où a, b et c sont trois réels donnés, avec a non nul.
Résolution de
a x² + b x + c = 0
Vocabulaire :
Les solutions sont
aussi appelées
racines du trinôme
a x² + b x + c.
:
On calcule le discriminant ∆ = b² - 4 a c.
1° cas : ∆ > 0
il y a deux solutions x1 =
2° cas : ∆ = 0
il y a une solution x0 =
3° cas : ∆ < 0
il n' y a pas de solution.
−b+ ∆
−b − ∆
et
x
=
.
2
2a
2a
−b
.
2a
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Exemple 1 : Résoudre les équations :
4 x² + 3 x − 1 = 0
x² − 2 x + 3 = 0
Exemple 2 : Résoudre les équations :
− 4 x² − 3 x + 2 = 0
Factorisation de
(3x–1)(2x+3)=0
a x² + b x + c
4(x+1)²−9=0
:
1° cas : ∆ > 0 : a x² + b x + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 )
2° cas : ∆ = 0 : a x² + b x + c = a ( x − x0 ) ²
3° cas : ∆ > 0 : pas de factorisation dans R.
Exemple : Déterminer la factorisation de f (x) = 2 x² + 5 x − 3.
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Signe de
a x² + b x + c
:
1° cas : ∆ > 0 - supposons x1 < x2
-∞
x
ax²+bx+c
x1
signe de a
signe de – a
signe de a
a>0
2° cas : ∆ = 0
a<0
-∞
x
+∞
x0
signe de a
ax²+bx+c
signe de a
a>0
3° cas : ∆ < 0
a<0
-∞
x
ax²+bx+c
+∞
x2
+∞
signe de a
a>0
a<0
Exemple : Déterminer le signe de f (x) = 2 x² + 5 x − 3.
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IV – CALCULATRICE
Exemple : Déterminer un tableau de valeurs de f (x) = − 4 x² − 3 x + 2.
x
f (x)
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
TI
1. On définit la fonction dans le menu f(x) : Y1 = − 4 X² − 3X + 2
2. On définit les valeurs du tableau dans le menu déf table :
DébTable = − 2 (puisque le tableau débute à la valeur − 2)
PasTable = 0. 5
(puisque dans le tableau on augmente « de 0.5 en 0.5 »)
3. On va consulter le tableau de valeurs dans le menu table.
CASIO
1. On définit la fonction dans le menu Table : Y1 = -4 X² - 3X + 2
2. On définit les valeurs du tableau en utilisant SET ( touche F5 ) :
Start : − 2 (puisque le tableau débute à la valeur − 2)
End : 1
Step : 0. 5
3. TABL ( touche F5 )
TI
PROGRAM : DEGRE2
Prompt A, B, C
EffEcr
B − 4A*C D
Disp "DELTA",D
If D>0
Then
Disp "2 SOLUTIONS:"
(-B − (D))/(2A) U
(-B + (D))/(2A) V
Disp U Frac
Disp V Frac
Else
If D=0
Then
Disp "1 SOLUTION:"
Disp -B/(2A) Frac
Else
Disp "PAS DE SOLUTION"
End
Tests :
x² + x − 2 = 0
2 x² − 4 x +2 = 0
3 x² + x + 2 = 0
Casio PROGRAM : DEGRE2
“A” ? → A
“B” ? → B
“C” ? → C
“DELTA =”
B²-4AC → D
D
If D<0
Then “PAS DE SOLUTION”
Else If D=0
Then “1 SOLUTION”
“X0=”: -B ÷ (2A)
Else “2 SOLUTIONS”
“X1=” : (-B- D ) ÷ (2A)
“X2=” : (-B+ D ) ÷ (2A)
on trouve 2 solutions : 1 et -2
on trouve 1 solution : 1
pas de solution.
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