Le développement de l`outil statistique

Transcription

Atelier A 4
Le développement de l’outil
statistique
Marsh
Marsh
Les Rencontres AMRAE - NANTES - 25 janvier 2007 - Atelier 4
11
Intervenant
Fabien GRAEFF
Responsable Financement des risques et solutions captives
E mail : [email protected]
Modérateur
Loïc CAHIERRE
Responsable du service des assurances
E mail : [email protected]
Inserer le logo de l’entreprise
Titre/ fonction
Prénom NOM
Marsh
Marsh
E mail
22
Développement des outils statistiques
De quoi parle t-on ? Outils, techniques statistiques ou encore modélisation des
risques ?
Parle-t-on des outils d’un point de vue de l’utilisateur ?
– Table financière
– Table de mortalité
– Table de nombres aléatoires
– Informatique
– Software
– …
Parle-t-on des outils statistiques d’un point de vue scientifique ?
Parle-t-on de la modélisation des risques – c’est-à-dire de l’application ?
Marsh
3
Développement des outils statistiques
En fait les trois sont intimement liés dans le cadre d’un processus actuariel
de modélisation des risques
– Dans le cadre d’un processus d’évaluation des risques, les techniques
statistiques sont indispensables
– Les outils techniques, et notamment informatiques, permettent :
de faciliter les calculs,
d’augmenter la rapidité des calculs,
d’augmenter la précision,
d’ouvrir de nouveaux horizons de recherche, en particulier par
simulation
Marsh
4
Plan
Description du processus de modélisation
Développement des outils en Assurance Vie
Assurance Non vie
– Assurance Non Vie - Données
– Assurance Non Vie - Modèles déterministes
– Assurance Non Vie - Modèles stochastiques
– Processus de Monte-Carlo
– Stress testing
– Autre méthode de simulations
Conclusion
Marsh
5
Processus de modélisation
Modèle / Processus
Résultats :
- Pricing
Données
- Optimisation des rétentions
- Analyse des corrélations
- Analyse des volatilités
- Projections
-…
Travail en amont et en aval : quelles données pour quels résultats ?
Marsh
6
Calcul long et fastidieux car risque long => source d’erreur et non
maniable
Édition de tables de référence : nombre de commutations, tables
financières ou encore tables de nombres aléatoires …
=> calculs simplifiés et approchés (âge moyen ou actuariel, sexe…)
Processus d’approximation afin d’introduire de la flexibilité par rapport
aux éléments économiques exogènes
L’avènement de l’outil informatique et sa puissance calculatoire
a changé la donne
Marsh
7
L’avènement de l’outil informatique et sa puissance calculatoire a
changé la donne
Mise en place d’algorithmes de calcul puissant et surtout flexible
⇒
Implémentation des hypothèses et paramètres
⇒
Changement des horizons
⇒
Changement des taux d’intérêt techniques
⇒
Changement d’âge et/ ou du sexe
⇒
Changement de la situation familiale et patrimoniale
Création de produits hybrides complexes
L’outil conditionne les résultats recherchés
Marsh
8
Exemples d’application en Assurance Vie
Calcul facilité de capitaux Décès variables
Calcul facilité de rentes
Création de produits hybrides : ex Garanties Planchers
Marsh
9
Assurance Non Vie
Approche différente : plus de projections financières à long terme sur
une base de table de mortalité mais une approche statistique basée
sur une introspection de l’historique de sinistralité
Plusieurs modèles issus en deux grandes familles :
1. Déterministes
2. Stochastiques
Travail au préalable des données – La phase de traitement peut
être longue et fastidieuse
Marsh
10
Assurance Non Vie – Données
(1/5)
Afin de déterminer des projections il convient dans un premier temps
d’actualiser les sinistres => recherche d’un historique « as if »
Deux types d’actualisation:
– Actualisation Verticale
Prise en compte d’un accroissement
Effet
inflationniste
des valeurs indemnitaires
=> Impact sur le coût unitaire des sinistres
Marsh
11
(2/5)
Afin de déterminer des projections, il convient dans un premier temps
d’actualiser les sinistres
– Actualisation Horizontale
Prise en compte d’une modification du
périmètre, des valeurs exposées,
ou encore de l’activité exposée
(CA, volume de production …)
Effet périmètre
=> Impact sur la fréquence
Attention aux fusions/acquisitions, Spin off …
Marsh
12
(3/5)
Prise en compte des tendances ?
25 000 000
20 000 000
y = 2E+07x -0,5008
15 000 000
Série1
Puissance (Série1)
10 000 000
5 000 000
0
5
10
15
Amélioration de la prévention ?!
Amélioration des techniques (réduction de l’exposition marginale au
risque)
Marsh
13
Assurance Non Vie - Données
(4/5)
Cas des sinistres à développement long
Évolution au cours du temps de l’évaluation totale des sinistres
⇒ Information partielle : Connaissance limitée de la charge
finale des sinistres
Nécessité d’évaluer la charge « ultime » des sinistres
=> calcul des IBNR
Marsh
14
(5/5)
Données disponibles = déroulé de sinistres dans le
temps (triangles)
Sinistres cumulés (Total Sinistres)
exercice / vu en
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Projections
N
2 832 180
755 841
937 983
4 371 932
6 548 073
3 408 638
N+1
N+2
N+3
N+4
N+5
N+6
1 132 606
942 654
798 895
798 183
1 023 729
1 308 477
3 275 573
3 184 002
3 287 045
3 450 656
3 320 990
1 267 042
1 311 316
1 142 861
1 503 528
7 255 905
5 407 651
5 866 043
7 251 746
7 837 539
6 808 650
Passage de N
vers N+1
N+1=> N+2
N+1
5 706 567
N+2
6 302 726
5 282 534
N+5=> N+6
N+3
8 017 638
6 447 556
5 403 921
N+4
N+5
6 453 418
8 820 455
7 093 158
5 945 023
1 537 457
6 599 046
9 019 498
7 253 223
6 079 179
N+6
4 244 715
1 965 097
8 434 555
11 528 250
9 270 690
7 770 089
IBNR = sinistres ultimes – sinistres évalués
Marsh
15
Assurance Non Vie – Analyse déterministe
Principe de base : Une analyse statique
Partant d’un état initial => État final unique
Aucun aléa dans le processus en aval
Travail en amont sur les éléments à intégrer au
modèle
Résultat = f( Pj, Xi)
Pj = paramètres
Xi = variables
(exemple: f(.) = moyenne = Σ xi / N )
Marsh
16
Assurance Non Vie - Modèles déterministes
1.- Tranchage : Principes d’une analyse statique
Une fois les données sinistres « as if », nous pouvons opérer
sur les tranches travaillantes une analyse statique
Principe : Répartition de la charge entre des bornes fixées a
priori
⇒
Le principe est de considérer que ces tranches sont homogènes
en termes d’exposition au risque
Exemple : zone de risque attritionnel (fréquence) vs. zone de
risque catastrophique (sévérité)
⇒
A contrario, on considère que le risque n’est pas homogène sur
toutes les lignes entre elles
Marsh
17
Illustration : Tranchage
(1/5)
Historique de la sinistralité
Sinistres
Forte volatilité
volatilité
moyenne
Faible
volatilité
Année 1
Marsh
Année 2
Année 3
Année 4
Occurrences
18
Illustration : Structuration, cas type
(2/5)
Analyse statique de la charge par tranche
Quelle est la charge par tranche ? Et quelle est sa volatilité ?
Bornes inf
(en Euro)
0
25 000
50 000
100 000
150 000
200 000
500 000
1 000 000
5 000 000
Bornes sup
(en Euro)
25 000
50 000
100 000
150 000
200 000
500 000
1 000 000
5 000 000
Infini
Total
2 000
321 840
275 000
434 710
284 255
134 554
311 372
500 000
4 000 000
2 538 442
8 800 173
2 001
275 000
255 379
314 052
178 334
102 156
369 304
363 138
0
0
1 857 362
2 002
340 000
311 775
543 257
393 940
268 016
900 089
150 390
0
0
2 907 467
2 003
382 804
277 727
403 174
245 066
150 000
775 000
653 063
850 035
0
3 736 869
2 004
Total
En %
168 076 1 487 720
8,35%
132 597 1 252 478
7,03%
169 404 1 864 596
10,46%
50 000
1 151 595
6,46%
0
654 726
3,67%
0
2 355 765
13,22%
0
1 666 591
9,35%
0
4 850 035
27,21%
0
2 538 442
14,24%
520 077 17 821 948 100,00%
CV
27,58%
27,53%
37,60%
55,40%
73,59%
77,56%
78,73%
178,69%
223,61%
=> La rétention optimale par sinistre sera entre 100.000 et
1MEuros.
=> Testons les assureurs sur ces deux hypothèses.
Marsh
19
(3/5)
Charge cumulée par année
2000
10 000 000
2001
2002
2003
2004
9 000 000
8 000 000
Zone de
volatilité faible
& moyenne
7 000 000
6 000 000
Zone de forte
volatilité
5 000 000
4 000 000
3 000 000
2 000 000
1 000 000
0
25 000
Marsh
100 000
200 000
500 000
1 000 000
5 000 000
infini
20
Illustration : Tranchage et extrapolation
(4/5)
Probabilités
Probabilité de la
zone extrapolée
Zone
extrapolée
Sinistre Max Exposition Max
Marsh
21
(5/5)
Combien de sinistres seront dans la rétention préconisée, quels frais de
gestion prévoir... ?
Bornes inférieures Bornes supérieures
(en Euros)
(en Euros)
0
25 000
25 000
100 000
100 000
200 000
200 000
500 000
500 000
1 000 000
1 000 000
5 000 000
5 000 000
Infini
Total
2000
4
5
4
1
0
0
1
15
2001
0
7
2
1
1
0
0
11
2002
2
4
4
3
2
0
0
15
2003
8
6
3
1
1
1
0
20
2004
2
3
3
0
0
0
0
8
Total
16
25
16
6
4
1
1
69
En %
23,19%
36,23%
23,19%
8,70%
5,80%
1,45%
1,45%
⇒ L’évolution de la charge est-elle due à une dérive de la fréquence ?
⇒ Implication éventuelle sur un Stop
Marsh
22
Assurance Non Vie - Modèles déterministes (1/2)
2.- Analyse déterministe sur base de scénarii
En complément au tranchage, travail sur des scenarii notamment
lorsqu’il y a peu de sinistres
Marsh
-
Scenario Optimiste
-
Scenario Moyen
-
Scenario Pessimiste
23
Assurance Non Vie - Modèles déterministes (2/2)
Analyse déterministe : Scénarii de sinistralité
Charge
sinistre
Scénario pessimiste
Scénario Médian
Temps
Scénario optimiste
=> Analyse des conséquences prévisionnelles dans
le cadre des différents scénarios
Marsh
24
Assurance Non Vie - Modèles stochastiques (1/3)
Analyse Stochastique :
Partant d’un état initial = > plusieurs réalisations
possibles dont la vraisemblance est mesurée par des
probabilités
=> Introduction d’aléas dans le résultat
charge
Incertitude
temps
Marsh
25
Assurance Non Vie - Modèles stochastiques (2/3)
Analyse Stochastique = introduction d’un aléa dans le résultat
Modélisation à l’aide des lois de probabilité = mesure du risque
Problème, compte tenu du manque de données (nombre d’années
de sinistres), de détermination de la loi du coût annuel
=> Utilisation de processus de simulations
Marsh
26
Assurance Non Vie - Modèles stochastiques
(3/3)
Modéliser le risque
Comment ?
trouver les lois de répartition de la fréquence et de la sévérité des
sinistres
les combiner
=> estimation de la loi de la charge annuelle de sinistres par
simulations
loi de fréquence du risque
Tests
loi non trouvée
Simulations
loi d’intensité du risque
Marsh
27
Simulation de la charge annuelle :
Processus de Monte-Carlo
(1/5)
Simulations de Monte Carlo
Input
Risque étudié
Données actualisées
Ajustement de lois
Loi des
fréquences
Simulation
d’années
de sinistres
Loi du coût
individuel
Possibilités de
stress testing
Détermination des limites
Output
Loi empirique charge
annuelle
Processus itératif
Marsh
IC
Décisions
Arbitrage marchés ?
Quel niveau de prise de risque ?
28
Processus de Monte Carlo
(2/5)
Tirages aléatoires du nombre d’occurrences par année
Année 1
Année 2
Année k
Probabilité
n Tirages aléatoires :
Année 5
Année n-1
Année 1 :
5
Année 2 :
5
Année 3 :
1
Année 4 : 10
Année n
Année 3
Année 5 :
4
Année k :
5
Année 4
Année n-1: 5
Année n :
0
Marsh
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nombre d'occurrences
29
(3/5)
Tirages aléatoires des sinistres de l’année n : 7 sinistres
Charge simulée de l’année n = 1595
Probabilité
94
102
104
80
165
Sinistre
catastrophique
50
Marsh
1000
……………
Sévérité
30
(4/5)
Nous obtenons ainsi n années de sinistralité simulées
Probabilités
cumulées
80%
30Meuros
100Meuros
Sévérité
Classement par ordre croissant des n années de sinistralité simulées
Marsh
31
(5/5)
Ex : Quelle est la probabilité que la charge annuelle retenue par l’assuré soit
inférieure à la moyenne observée ?
Charge annuelle de la
ligne de rétention (X)
153 277
160 900
166 652
170 208
171 772
176 659
181 286
186 229
192 792
201 347
209 029
244 555
Marsh
Probabilité que la part des
sinistres relative à la ligne de
rétention soit inférieure ou
égale à X
10%
20%
30%
37%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
95%
100%
32
Stress testing
Stress testing:
Que se passe-t-il si les paramètres de base sont modifiés ?
σ2
σ1
Marsh
µ1
µ2
33
Assurance Non Vie: Autre méthode de simulations
(1/2)
Simulations par la méthode Bootstrap:
Méthode de ré-échantillonnage qui remplace les méthodes semiparamétriques (Monte-Carlo)
=> simulations non paramétriques
Simulations simple à mettre en œuvre
F(x) est inconnue => on dispose d’un n-échantillon (X1 …Xn) et de sa
réalisation (x1,..., xn)
- Un échantillon Bootstrap est un tirage avec remise de n éléments dans
l’échantillon d’origine (chaque élément ayant la proba 1/n d’être tiré)
= > on détermine l’estimateur recherché
L’usage de cette méthode non-paramétrique est problématique pour la
recherche de valeurs extrêmes = > car méthode par interpolation
Marsh
34
Autre méthode de simulations : exemple
(2/2)
Simulations par la méthode Bootstrap :
on dispose d’un n-échantillon (X1 …Xn) et de sa réalisation
Un échantillon Bootstrap est un tirage avec remise de n éléments
dans l’échantillon d’origine (chaque élément ayant la proba 1/n
d’être tiré)
T tirages = T années de sinistres
n= 5
[ 10; 20; 30; 40; 50 ]
[ 50; 50; 20;50;40]
[10; 10; 10; 30; 50]
Sur T années on obtient : T x n sinistres simulés
Marsh
35
Conclusion: A quoi sert un modèle ?
(1/3)
1.- Comprendre le risque : les facteurs qui l’influencent et mesurer
leurs impacts
2.- Déterminer des zones de rétentions potentielles
Marsh
36
(2/3)
3.- Déterminer les arbitrages et la rentabilité de certains schémas
sélectionnés
Processus itératif de décision
Réaction des marchés
(3)
Analyse
Technique
(1)
Optimisation des
rétentions
Détermination
Des rétentions (2)
Marsh
37
(3/3)
4. Mesurer les risques et le risque que l’on prend
=> approche stochastique (ex: mesurer les résultats de la prévention)
5. « Challenger » les marchés sur une base factuelle
⇒
permet de comprendre et faire comprendre le risque
⇒
permet d’établir des relations pérennes et de confiance
Marsh
38
MERCI DE VOTRE ATTENTION
QUESTIONS / REPONSES
Marsh
39
Marsh
40

Le développement de l`outil statistique

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