1 Flux d`un champ vectoriel `a travers une surface 2 Surface orientable

Mth1102 - Hiver 2010 - Fiche de travail 11
Veuillez lire et compléter ce document avant le cours du 30 mars.
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Flux d’un champ vectoriel à travers une surface
Exemple
Soit F~ (x, y, z) = x~i + 2y~j − z~k le champ de vélocités d’un fluide en mouvement dans R3 (en rouge sur la figure)
et S la portion du paraboloı̈de d’équation z = x2 + y 2 située sous le plan z = 1. Quel est le flux de F~ à travers
S, c’est-à-dire le débit du fluide à travers S par unité d’aire ?
Intuitivement, la composante de F~ normale à S représente “ce qui passe à travers” la surface. Si ~n est un vecteur
normal unitaire à S alors cette composante est F~ · ~n. Le débit par unité de surface est alors F~ · ~n dS, où dS
représente un petit élément de surface (comme à la fiche 6). L’intégrale (“somme”) de tous ces petits éléments
de débit sur toute la surface donne le flux de F~ à travers S :
ZZ
flux =
F~ · ~n dS.
(1)
S
Nous devons maintenant déterminer comment calculer cette intégrale.
2
Surface orientable
Soit S une surface paramétrée par ~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k, avec (u, v) ∈ D. En un point donné
~r(u0 , v0 ), si l’on fixe u = u0 , on obtient une courbe paramétrée sur la surface, ayant pour vecteur tangent
~ru (u0 , v0 ). De même, on obtient un autre vecteur tangent ~rv (u0 , v0 ) en fixant l’autre paramètre. Si ces deux
vecteurs sont linéairement indépendants alors ils engendrent le plan tangent à la surface au point donné et
~n =
~ru (u0 , v0 ) × ~rv (u0 , v0 )
|| ~ru (u0 , v0 ) × ~rv (u0 , v0 ) ||
est un vecteur normal unitaire à S.
Définition. Une surface S est
1. lisse si en chaque point de S le vecteur tangent unitaire existe et est non nul.
2. orientable s’il est possible de choisir un vecteur normal ~n en chaque point de S de telle sorte que ~n
varie continûment.
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(2)
Une surface lisse n’a pas de “coins” ou d’arêtes. Le plupart des surfaces que nous rencontrons sont orientables
mais il existe néanmoins des surfaces non orientables (comme le ruban de Möbius).
Notons qu’une surface orientable possède deux orientations distinctes : en effet, si ~n est un vecteur normal alors
le vecteur opposé −~n est aussi un vecteur normal. Le choix de l’un ou l’autre est ce qu’on appelle le choix d’une
orientation pour S. Le choix standard (orientation positive) pour une surface fermée est l’orientation telle que le
vecteur normal pointe toujours vers l’extérieur de la surface. Pour les surfaces non fermées, le choix dépend de
la situation, comme nous le verrons en classe.
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Formule de calcul pour le flux
Pour calculer le flux donné par l’intégrale (1), on doit exprimer l’intégrand explicitement en fonction des paramètres u et v. Pour ce faire, on utilise les formules (2) et dS = || ~ru × ~rv || dA (fiche 6) :
F~ · ~n dS
~ru × ~rv
|| ~ru × ~rv || dA
|| ~ru × ~rv ||
=
F~ (~r(u, v)) ·
=
F~ (~r(u, v)) · (~ru × ~rv ) dA.
Ainsi,
flux =
ZZ
F~ (~r(u, v)) · (~ru × ~rv ) dA.
D
Exemple (suite)
Utilisons cette formule pour calculer le flux de l’exemple. Le paraboloı̈de est paramétré par
~r(u, v) = u~i + v~j + (u2 + v 2 )~k, (u, v) ∈ D,
où D est la projection de S dans le plan, soit le disque disque de rayon 1 centré à l’origine. De plus, on calcule
~ru
= ~i + 2u~k,
~rv
= ~j + 2v~k,
~ru × ~rv
F~ (~r(u, v)) · (~ru × ~rv ) =
donc
flux =
ZZ
= −2u~i − 2v~j + ~k,
=
(u~i + 2v~j − (u2 + v 2 )~k) · (−2u~i − 2v~j + ~k) = −3u2 − 5v 2 ,
−(3u2 + 5v 2 ) dA =
= −2π.
D
Indice : pour intégrer, passez en coordonnées polaires et utilisez les identités cos2 (θ) =
1−cos(2θ)
. Comment interprétez-vous le signe négatif dans la valeur calculée ?
2
4
1+cos(2θ)
2
et sin2 (θ) =
Exercices
×~
rv
1. Dans l’exemple, vérifiez, en le dessinant pour quelques points de S, que le vecteur normal ~n = || ~~rruu ×~
rv ||
pointe “vers l’intérieur” du paraboloı̈de. De quelle façon la valeur du flux changera-t-elle si on utilise plutôt
un vecteur normal pointant vers “l’extérieur” de S (ceci correspond à l’autre orientation de S) ?
2. Calculez le flux du champ vectoriel de l’exemple à travers la portion du plan z = 1 située à l’intérieur du
paraboloı̈de z = x2 + y 2 , orientée de façon à ce que le vecteur normal pointe vers le haut.
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